黑龙江省牡丹江市第三高级中学2022-2023学年高三数学下学期第三次模拟试卷（Word版附答案）

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牡丹江市第三高级中学2023届高三第三次模拟考试高三数学试卷考试时间：120 分钟           分值：150 分一、单选题（共8题）1. 已知集合，且，则a可以为（    ）A. －2 B. －1 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合，结合元素与集合关系判断即可.详解】∵，∴，∴，可知，故A、C、D错误；，故B正确.故选：B2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的几何意义得到，结合复数的运算法则，即可求解.【详解】由题意，复平面内，复数对应的点的坐标是，可得，所以.故答案为：A.3. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（    ）（精确到0.1，参考数据：）A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9【答案】B【解析】【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，得，，则，则给氧时间至少还需要小时故选： B4. 已知，则下列不等式不一定成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】A选项，根据不等式基本性质得到；B选项，利用基本不等式求解；C选项，利用作差法比较大小；D选项，可举出反例.【详解】A选项，因为，所以，不等式两边同时乘以，可得，故A正确；B选项，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到，，B正确；C选项，，因为，，故，故，C正确；D选项，不妨设，则故选：D5. 已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.【详解】由，得，即函数的单调递减区间为，令，则函数其中一个的单调递减区间为：函数在区间内单调递减，则满足，得，所以的取值范围是.故选：D6. 在中，，的平分线交BC于点D．若，则（    ）A.  B.  C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】设，由角平分线定理求得，然后由向量的线性运算可用表示出，从而求得，得出结论．【详解】设，因为，所以，又是的平分线，所以，，，又，所以，所以．故选：B．7. 海面上有相距4公里的，两个小岛，在的正东方向，为守护小岛，一艘船绕两岛航行，已知这艘船到两个小岛距离之和为6公里.在岛的北偏西处有一个信号站，岛到信号站的距离为公里.若这艘船航行的过程中一直能接收到信号站发出的信号，则信号站的信号传播距离至少为（    ）A. 公里 B. 5公里 C. 公里 D. 公里【答案】D【解析】【分析】由椭圆定义船的航行轨迹是在一个长轴长为6焦距为4的椭圆上，求出椭圆的标准方程、点坐标，设椭圆上一点，根据的范围求出的范围可得答案.【详解】由题意，船的航行轨迹是在一个长轴长为6焦距为4 的椭圆上，可设焦点坐标分别为，椭圆的标准方程为，所以，，所以椭圆的方程为，因为，，所以，设椭圆上一点，所以，因为，所以，所以，即，故选：D.8. 空间中四个点、、、满足，，且直线与平面所成角为，则三棱锥的外接球体积最大为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先求的外接圆的半径，过作平面于，可得，可得当，，在一直线上时，三棱锥的外接球体积最大，求解即可．【详解】设是三角形的外接圆的圆心，因为，所以是正三角形，则三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，由题意可得，过作平面于，直线与平面所成的角为，，，故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，当球心到的距离最大时，三棱锥的外接球体积最大，所以在延长线上时，三棱锥的外接球体积最大，设的中点为，连接，则，，又，，所以，，，三棱锥的外接球体积最大为.故选：C．多选题（共4题部分对2分、全对5分、有错误选项0分）9. 已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有（    ）A. 若，，，则B. 若，，，若，则C. 若，、分别与、所成的角相等，则D. 若，，，则【答案】BD【解析】【分析】对于AC，通过举反例说明其错误；利用线面平行的性质可判断B选项；由垂直的性质及平行公理进行可判断D选项.【详解】对于A，如图1，若，，，则可以与平行，故A错误；对于B，因为，，，且，，则，因为，，则，故，B对；对于C，如图2，若，、分别与、所成的角为时，与可以相交、平行或异面，故C错误；对于D，若，，则，又，则，D对.故选：BC.10. 下列说法正确的有（    ）A 若事件与事件互斥，则B. 若，，，则C. 若随机变量服从正态分布，，则D. 这组数据的分位数为【答案】BC【解析】【分析】利用互斥事件的定义判断A，利用条件概率公式和独立事件的定义判断B，利用正态分布曲线的对称性判断C，利用百分位数的定义判断D.【详解】选项A，若事件与事件互斥，则，故A错误；选项B，若，，，则，即事件与事件相互独立，所以，故B正确；选项C：若随机变量服从正态分布，，则，所以，故C正确；选项D：将数据进行排序得，共个，，所以这组数据的分位数为，故D错误；故选：BC11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（    ）．A.  B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】运用累和法、裂项相消法，结合等差数列的前n项和公式逐一判断即可.【详解】由题意可知：，于是有，显然可得：， ，因此选项A不正确，选项B正确；当 时，，显然适合上式，，因此选项D不正确；，，因此选项C正确，故选：BC12. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得，，令，可得，代入方程可得，变形为，根据函数的单调性及已知，，可得，，进而根据指数与对数的运算性质以及导数判断出结论的正误．【详解】由题意可得，，令，则，代入方程可得， 变形为，令，，可知函数在上单调递减，又，，，即．由，，即，因此A正确；，因此B正确；，因此C不正确；令，则，函数在上单调递增，，，因此D正确．故选：ABD【点睛】利用导数可求得函数的最值（范围），步骤如下：先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导函数求得函数的单调区间，再根据单调性求得函数的最值（范围）.二、填空题（共4题）13. 若，则__________.【答案】【解析】【分析】先化简，再代值计算即可【详解】解：因为，所以，故答案为：14. 的展开式中含的项与含的项系数相等，则___________.【答案】【解析】【分析】求得展开式的通项为，分别令和，根据含的项与含的项系数相等，得到，即可求解.【详解】由的展开式的通项为，令，可得；令，可得，因为展开式中含的项与含的项系数相等，可得，又因为，所以.故答案为：.15. 如果平面向量，，则向量在上的投影向量为_____ .【答案】【解析】【分析】由已知可求得，，进而得出，然后根据即可得出答案.【详解】由已知可得，，，所以，，所以，向量在上的投影向量为.故答案为：.16. 自“一带一路”倡议提出以来，中俄两国合作共赢的脚步越来越快．中俄输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，如图，管道沿A、E、F、B拐过直角（线段EF过O点，点E，O，F在同一水平面内），峡谷的宽分别为27m、8m，如图所示，设EF与较宽侧峡谷崖壁所成的角为，则EF得长______m，（用表示），要使输气管道顺利通过拐角，EF长度不能低于______m【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】在两个直角三角形中用分别表示OE、OF，进而求得EF，结合导数求出的极值点即为最值点，即可求出结果.【详解】如图所示，在中，， 在中，，所以，，令，，则，令，，则，联立（）可得：，，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.即：EF的长度不能低于.故答案为：；.三、解答题 17. 已知数列各项都不为，前项和为，且，数列满足，． （1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和为【答案】（1）;;    （2）【解析】【分析】(1)利用即可求，再根据累加法，即可求解.(2)利用错位相减法即可求解【小问1详解】由，可得，两式相减得，整理得，因为数列各项都不为，所以数列是以为公比的等比数列．令，则，解得，故．由题知，所以【小问2详解】由（1）得，所以，，两式相减得，所以．18. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．（1）求证：平面BDE；（2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；（3）求点D到平面ABE的距离．【答案】（1）证明见解析；    （2）；    （3）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可；（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【小问1详解】在三棱柱中，，为，的中点，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，在三角形中，，为中点，∴，∵，平面，∴平面.【小问2详解】如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，在直角三角形中，，，∴，，，，，，，，设平面的法向量为，，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，所以.【小问3详解】设点到平面的距离为，所以.19. 在中，．（1）求；（2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）    （2）选②或③，【解析】【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；（2）条件①，由，角可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；【小问1详解】因为，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以.【小问2详解】选条件①：由（1）知，，根据正弦定理知，，即，所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件.选条件②：因为，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.选条件③： 因为，所以，由，得到，又，由(1)知，所以又由正弦定理得，，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.20. 为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中指标值的中位数（结果保留两位小数）；（2）通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布（i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液指标的值不超过的家禽数量（结果保留整数）；（ii）在统计学中，把发生概率小于的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.参考数据：①；②若，则【答案】（1）7.33    （2）（i）841；（ii）不正常，理由见解析.【解析】【分析】（1）先判断中位数所在区间，再设出中位数，利用中位数左侧频率和为0.5求解即可；（2）（i）由正态分布的对称性及特殊区间的概率求得，再计算家禽数量即可；（ii）先求出，再由独立重复实验的概率公式求出恰有3只血液中指标的值大于的概率，和比较作出判断即可.【小问1详解】由可得中位数在区间内，设中位数为，则，解得；【小问2详解】（i）由可得，则，只；（ii），，随机抽检20只相当于进行20次独立重复实验，设恰有3只血液中指标的值大于为事件，则，所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常.21. 已知椭圆的短轴长为，且点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）椭圆C的左、右顶点分别为A、B，点P、Q是椭圆C上异于A、B的不同两点，直线BP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：直线PQ过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意得，解方程即可得答案；（2）设点P、Q的坐标分别为，，根据题意得直线BP的方程为，直线AQ的斜率为进而联立方程得，，，．再讨论当时得直线PQ过点，当时，，三点共线，即直线PQ过定点.【详解】解：（1）由题意有，解得，，故椭圆C的标准方程为．（2）证明：设点P、Q的坐标分别为，由（1）知，点A的坐标为，点B的坐标为，直线BP的方程为，联立方程，消去y后整理为，有，可得，．直线AQ的斜率为联立方程，消去y后整理为，有，可得，．当时，解得，直线PQ的方程为，过点，当时，，，即，所以三点共线，故直线PQ过定点．【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.22. 已知函数．（1）求的单调区间；（2）若对恒成立，求a的取值范围；（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则．【答案】（1）答案见解析    （2）    （3）证明见解析【解析】【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.【小问1详解】由题设，当时，，则在R上递增；当时，令，则，若，则，在上递减；若，则，在上递增；综上，时的递增区间为R，无递减区间；时的递减区间为，递增区间为.【小问2详解】由，当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，所以，只需，令且，则，即递减，所以，故在上不存在；综上，【小问3详解】由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；时，在上递减，在上递增，且，所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，所以，在上存在唯一，使，要证，只需在上恒成立即可，令，若，则，令，则，即在上递增，故，所以，即在上递增，故，所以在上恒成立，得证；故，得证.【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a的范围后，应用分析法证恒成立即可.