吉林省长春市第二中学2023届高三数学下学期第七次调研试卷（Word版附解析）

2023届高三年级第七次调研测试数学科试卷

命题人：高三数学组

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若复数满足，则在复平面内表示的点所在的象限为（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】化为的形式，结合复数的几何意义确定所在象限.

【详解】依题意，

复数的对应点在第二象限，

故选：B.

2. 已知A，B为非空数集，，，则符合条件的B的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】由条件确定集合的元素，由此确定符合条件的B的个数.

【详解】因为，，

所以，可能属于，可能属于，

所以或或或，

故满足条件的B的个数为个，

故选：D.

3. 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（    ）

A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种

【答案】A

【解析】

【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有种，计算即可.

【详解】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有种.

故选：A

4. 已知向量，的夹角为60°，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】对两边同时平方可得，由模长的计算公式代入可判断A，B；由向量夹角计算公式可判断C，D.

【详解】由可得：，

可得：，，

对于A，，故A不正确；

对于B，，故B不正确；

对于C，，

，,

故，故C正确；

对于D，，,

，故D不正确.

故选：C.

5. 埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的顶角的正切值为（    ）

A. 2 B. 3 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设出相关的线段长，设正四棱锥的底面边长，根据题意得到斜高，设侧面三角形的顶角为，根据题意得到，再利用二倍角的正切公式即可求解.

【详解】如图，设正四棱锥的底面边长，则，

设侧面三角形的顶角为，因为侧面与底面所成角的余弦值为，

则，所以，

在中，，

由二倍角的正切公式可得，，

故选：A.

6. 已知，则（    ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】先根据二项展开式的通项公式求得，再利用赋值法，令，进而即可求解．

【详解】由，

则，得，

令，得，

左右两边除以，得，

所以．

故选：D．

7. 设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解.

【详解】因为，所以，所以，

所以，

令，则，

所以在上单调递增，

所以，即，所以，

令，则，

所以函数在上递增，

所以，即，即，

所以，即，

综上，.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键.

8. 用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设，，，，则与△ABC的边和角之间的等量关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，利用得到，由向量数量积公式求出答案.

【详解】设，则，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，

因为，所以，

即，即，

所以，即

，C正确.

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（    ）

A. 中位数 B. 平均数

C 方差 D. 第40百分位数

【答案】AD

【解析】

【分析】根据中位数，平均数，方差及百分位数的定义，举例说明即可.

【详解】设这个数分别为，

且，

则中位数为，

去掉最大和最小的数据，得，中位数为，

故中位数一定不变；

由，得的第40百分位数为，

由，得的第40百分位数为，

故第40百分位数不变，

设这个数分别，

则平均数为，

去掉最大和最小的数据为，

此时平均数为，所以此时平均数改变了；

设这个数分别，

则平均数为，

方差为

，

去掉最大和最小的数据为，

则平均数为，

方差为，

所以此时方差都改变了.

故选：AD.

10. 已知椭圆C：，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（    ）

A. C的长轴长为2 B. C的焦距为

C. C的离心率为 D. C与圆有2个公共点

【答案】BC

【解析】

【分析】先由p，q，r依次成公比为2的等比数列求出椭圆方程，再逐一判断各选项.

【详解】因为p，q，r依次成公比为2的等比数列，所以，，即，.

所以C的方程可化为，则，，即，.

对于A，所以C的长轴长为4，故A错误；

对于B，焦距为，故B正确；

对于C，C的离心率为，故C正确；

对于D，联立解得，C与圆只有1个公共点，故D错误.

故选：BC.

11. 如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为，，下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 离水面的距离不小于3.7m的时长为20s

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意，的最大值为，最小值为，即可求出，再根据函数的周期即可求出，根据时，，利用待定系数法即可求出，解正弦不等式即可判断D.

【详解】由题意，的最大值为，最小值为，

则，

所以，故A正确；

由旋转一周需要60s，得函数的周期，所以，故B正确；

故，

当时，，

则，所以，故C错误；

由，得，

因为，所以，

由，得，

令，得，

所以，故，

所以离水面的距离不小于3.7m的时长为，故D正确.

故选：ABD.

12. 已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图象与函数的图象的交点为，（其中表示不超过的最大整数），则（    ）

A. 是偶函数 B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】举例说明判断A；分析函数与的性质，作出部分函数图象，结合图象与性质推理、计算判断BCD作答.

【详解】函数，显然，而，即，因此不是偶函数，A错误；

函数定义域为，满足，当时，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

因此当时，函数在上递减，

在上递增，当时，取得最大值，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

因此当时，函数，

在同一坐标平面内作出函数部分图象，如图，

当时，函数的图象有唯一公共点，

因为，因此，，而满足的整数有个，即，B正确；

显然，

所以，C正确；

，数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，D错误.

【点睛】关键点睛：求两个分段函数的公共点的坐标，确定要求值的自变量属于哪一段区间，再代入该段的解析式求值是关键.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 某工厂月产品的总成本（单位：万元）与月长量（单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知与线性相关．如果回归方程是，那么表格中数据的值为______．

【答案】6.4##

【解析】

【分析】分别求出工厂总成本和月长量的平均值，代入回归方程，即可求出表格中数据的值.

【详解】由题意及表知，

，，

∵回归方程是，

∴，

∴．

故答案为：6.4.

14. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，a1＋a5＝3a2，则_____．

【答案】##

【解析】

【分析】由，得到与的关系，再利用等差数列的前n项和公式和通项公式求解.

【详解】解：，

∴，

∴，

．

故答案为：

15. 已知F1，F2，分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为____．

【答案】

【解析】

【分析】根据二倍角公式求出，再求出离心率即可.

【详解】易知MN关于x轴对称，令，，

∴，，∴，∴．

，，，

∴，

∴．

故答案为: .

16. 盒子里装有5个小球，其中2个红球，3个黑球，从盒子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则：

（1）取了3次后，取出红球的个数的数学期望为___________；

（2）取了次后，所有红球刚好全部取出的概率为___________.

【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】（1）根据已知条件求出随机变量取值，利用相互独立事件的概率的乘法公式分别求出随机变量取值相应的概率，进而写出分布列，结合随机变量的期望公式即可求解；

（2）利用相互独立事件的概率的乘法公式及等比数列求和公式即可求解.

【详解】（1）设取出红球的个数为,则的可能取值为.

,

,

,

的分布列为

（2）次取完表示最后一次是红球，则前次中有一次取得红球，

所以

故答案为：；

【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用相互独立事件的乘法公式及等比数列求和公式即可.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在中，角的对边分别为，已知.

（1）证明： ；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角函数性质，即可证明结论；

（2）利用（1）的结论，结合正弦定理求得边c，利用三角恒等变换求得，根据三角形面积公式，即可求得答案.

【小问1详解】

证明：由题意，

可得，

即，

由于为三角形内角，,

或（舍），即.

【小问2详解】

因为，由（1）知，故，

则，

由正弦定理得，

而

，

.

18. 已知数列满足，．

（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项的积为，证明：．

【答案】（1）证明见解析，；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）把给定的递推公式变形整理，再利用等差数列的定义判断，并求出通项公式作答.

（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可作答.

【小问1详解】

由，得，显然，，否则，矛盾，

，即，

因此数列是首项为，公差为1的等差数列，

则，整理得，

所以数列是等差数列，数列的通项公式是.

【小问2详解】

由（1）知，，，

于是，

所以.

19. 如图，三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，，．，分别为，的中点，平面，点在线段上．

（1）求证：面面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由线线垂直（，）证明线面垂直（平面），再证明面面垂直即可；

（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解即可.

【小问1详解】

在中，∵，分别为，的中点，∴，，

∵，∴，即，

∵平面，平面，平面，∴，，

又∵，平面，平面，∴平面，

又∵平面，∴.

∴在直角中，，

∵，，

在中，由余弦定理

，

又∵，，∴，∴，即.

又∵，，平面，平面，

∴平面，

又∵平面，∴平面平面.

【小问2详解】

∵为等腰直角三角形，为中点，∴，又∵平面ABC，

∴以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，

则由已知，，，

∴，，，，，

∴，∴，

∴.

又∵，∴设平面的一个法向量，

则，令，则，，

∴，

由∵，设直线与平面所成角为，

则.

∴直线与平面所成角的正弦值为.

20. 某兴趣小组为研究一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，设A=“患有地方性疾病”，B=“卫生习惯良好”.据临床统计显示，，，该地人群中卫生习惯良好的概率为.

（1）求和，并解释所求结果大小关系的实际意义；

（2）为进一步验证（1）中的判断，该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得.为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有99.9%的把握肯定（1）中的判断，试确定k的最小值.

参考公式及数据：；；.

【答案】（1），，表示患有该地方性疾病与卫生习惯是否良好的关系；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用贝叶斯公式列方程求得，进而可得，再应用全概率公式求，并说明其实际意义；

（2）写出列联表，应用卡方公式及已知求调整后的卡方值，列不等式求k的最小值.

【小问1详解】

由题设，，，，

所以，则，可得，

所以，而，

所以，则，

和表示患有该地方性疾病与卫生习惯是否良好的关系.

【小问2详解】

，故.

21. 已知抛物线与都经过点．

（1）若直线与都相切，求的方程；

（2）点分别在上，且，求的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意求得，，利用导数的几何意义，求得切线的方程，根据为曲线的公切线，联立方程组，结合，进而求得的方程；

（2）设，，根据，列出方程得到关系式，分类讨论，即可求解．

【小问1详解】

因为曲线都过点，所以，解得，

即，

设直线与曲线相切于点，令，可得，

则切线的斜率，所以切线方程为，即，

由，整理得，

因为为曲线的公切线，所以，解得，

所以直线的方程为，即．

小问2详解】

设，，又，

，

所以，可得，

两式相减得到，

当时，，，此时，，

则，，且，

可得，所以，

所以；

当时，，此时方程无解，（舍去），

综上，可得的面积为．

22. 已知，函数.

（1）讨论在上的单调性；

（2）已知点.

（i）若过点Р可以作两条直线与曲线相切，求的取值范围；

（ii）设函数，若曲线上恰有三个点使得直线与该曲线相切于点，写出的取值范围（无需证明）.

【答案】（1）答案见解析   

（2）（i）；（ii）

【解析】

【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可得解；

（2）（i）设切点为，根据导数的几何意义可得切线方程为，再根据切线过点，可得，根据过点Р可以作两条直线与曲线相切，得关于的方程在上至少有两个不同的解，令，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得解；

（ii）由（i）得，当时，曲线上恰有两个点处得切线过点，再根据函数与互为反函数，结合（i）即可得解.

【小问1详解】

，

当时，，所以在上单调递减，

当时，令，则，令，则，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

综上所述，当时，在上单调递减，

当时，在上单调递减，在上单调递增；

【小问2详解】

（i）设切点为，

因为，所以切线的斜率为，

则切线方程为，

因为切线过点，所以，

即，

若过点Р可以作两条直线与曲线相切，

则上述关于的方程至少有两个不同的解，

显然不是该方程的解，

所以关于的方程在上至少有两个不同的解，

令，

则，

令，

则，

当时，，所以在上单调递减，

当时，，所以上单调递增，

所以，

所以当时，，

所以在上单调递增，在上单调递增，

的大致图象如下图所示：

因为，

，

所以当时，

关于关于的方程在上有两个不同的解，

此时过点Р可以作两条直线与曲线相切，

所以的取值范围为；

（ii）由（i）得，过点Р可以作一条直线与曲线相切，

则当时，曲线上恰有两个点处得切线过点，

由，得，

由，得，

所以函数与互为反函数，

则函数与关于对称，

因为点在直线，

则曲线上恰有两个点处得切线过点，

即为过点Р可以作两条直线与曲线相切，

由（i）得，此时，

所以的取值范围为.

【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：

（1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论；

（2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；

（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.