导与练高考数学二轮专题复习第1讲　平面向量

这是一份导与练高考数学二轮专题复习第1讲　平面向量，共19页。试卷主要包含了故选B，故选D等内容，欢迎下载使用。
第1讲　平面向量1.[向量的坐标运算](2022·新高考Ⅱ卷,T4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=(　C　)A.-6 B.-5 C.5 D.6解析:c=(3+t,4),cos <a,c>=cos <b,c>,即=,解得t=5.故选C.2.[求向量夹角](2020·全国Ⅲ卷,T6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos <a,a+b>=(　D　)A.- B.- C. D.解析:向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,可得|a+b|===7,cos <a,a+b>====.故选D.3.[向量的线性运算](2022·新高考Ⅰ卷,T3)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　B　)A.3m-2n B.-2m+3nC.3m+2n D.2m+3n解析:因为点D在边AB上,BD=2DA,所以=2,即-=2(-),所以=3-2=3n-2m=-2m+3n.故选B.4.[数量积运算](2021·新高考Ⅱ卷,T15)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=　　　　. 解析:由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,因此,a·b+b·c+c·a=-.答案:-　　平面向量是高考的热点和重点,命题突出向量的基本运算与工具性,重点考查:平面向量的线性运算、数量积运算、坐标运算、向量的平行与垂直、平面向量在几何图形中的应用.常以选择题、填空题的形式考查,中低等难度;也有可能出现在解答题中,突出其工具性作用.热点一　平面向量的线性运算共线定理及推论(1)已知向量a=(x1,y1),a≠0,b=(x2,y2),则a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0.(2)若=λ+μ,则A,B,C三点共线⇔λ+μ=1.典例1　(1)(2022·河北石家庄二模)在平行四边形ABCD中,M,N分别是AD,CD的中点,若=a,=b,则=(　　)A.a+b B.a+bC.a+b D.a+b(2)(2022·山东烟台三模)如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆O,P为圆O上任一点,若=x+y,则2x+2y的最大值为(　　)A. B.2C. D.1解析:(1)如图所示,设=m,=n,且=xa+yb,则=xa+yb=x(n-m) +y(n-m)=(x+y)n-(x+y)m,又因为=n-m,所以解得x=,y=,所以=a+b.故选B.(2)作BC的平行线与圆相交于点P,与直线AB相交于点E,与直线AC相交于点F,设=λ+μ,则λ+μ=1.因为BC∥EF,所以设==k,则k∈[0,],所以=k,=k,AP=λ+μ=λk+μk,所以x=λk,y=μk,所以2x+2y=2(λ+μ)k=2k≤.故选A.向量线性运算问题的求解方法(1)进行向量的线性运算时,要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中,利用平行四边形法则、三角形法则求解.(2)应用平面几何知识,如三角形的中位线、相似三角形的性质等,可以简化运算.(3)在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理恰当地选取基底,变形要有方向,不能盲目转化.热点训练1　 (1)(2022·广东华南师大附中模拟预测)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F满足=2,那么=(　　)A.- B.+C.- D.+(2)(2022·湖南岳阳一中一模)已知在平面四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠BAD=135°,∠BCD=90°,=+(λ-1),则λ=(　　)A.1或 B. C.+1 D.+2解析:(1)在△CEF中,=+.因为点E为DC的中点,所以=.因为点F为BC的一个三等分点(靠近点B),所以=,所以=+=+=-.故选C.(2)=+(λ-1)⇒-==(λ-1),所以∥,即BC∥AD,所以四边形ABCD是直角梯形,如图,作AE⊥BC于点E,则四边形AECD是矩形,又AB=2,∠ABC=45°,则AE=BE=,EC=AD=1,所以BC=+1,即=(+1),又=(λ-1),所以λ-1=+1,λ=+2.故选D.热点二　平面向量的数量积(1)若a=(x,y),则|a|==.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ==.(4)a,b是非零向量,且a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.典例2　(1)(2022·河北模拟预测)已知向量a=(,1),b是单位向量,若|2a-b|=,则a与b的夹角为(　　)A. B. C. D.(2)(2022·湖南模拟联考)在一个边长为2的等边三角形ABC中,若点P是平面ABC(包括边界)中的任意一点,则·的最小值是(　　)A.- B.- C.-1 D.-解析:(1)因为a=(,1),b是单位向量,若|2a-b|=,所以|a|=2,|b|=1,(2a-b)2=13.所以4a2-4a·b+b2=13,所以4×4-4a·b+1=13,所以a·b=1,所以cos<a,b>===,由<a,b>∈[0,π],所以a与b的夹角为.故选B.(2)如图,以AC为x轴,AC的中点为原点建立平面直角坐标系,则A(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以·=x2-1+y2=x2+y2-1≥-1,当且仅当P在原点时取等号.故选C.求向量数量积的三种方法(1)定义法:当已知向量的长度或夹角时,可利用此法求解.(2)坐标法:当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用此法求解.(3)若题设涉及向量的投影时,也可考虑利用数量积的几何意义求解.热点训练2　 (1)(2022·山东济南二模)如图,△ABC是边长为3的等边三角形,D在线段BC上,且=2,E为线段AD上一点,若△ABE与△ACD的面积相等,则·的值为(　　)A. B.- C. D.-(2)(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　　　　. 解析:(1)因为D在线段BC上,且=2,所以S△ACD=S△ABD,又E为线段AD上一点,且△ABE与△ACD的面积相等,所以S△ABE=S△ABD,所以E为AD的中点.如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(,),D(2,0),C(3,0),E(,),所以=(,),=(,-),所以·=×-×=-.故选D.(2)由题意可得a·b=1×3×=1,b2=9,则(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11.答案:(1)D　(2)11热点三　平面向量的综合应用向量问题求最值的常用方法(1)利用三角函数求最值.(2)利用基本不等式求最值.(3)建立坐标系,设变量构造函数求最值.典例3　(1)(2022·河北模拟预测)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=1,AB=2,点P在以B为圆心,1为半径的圆上,则·的最大值为(　　)A. B.5+C. D.(2)(2022·湖北荆门市龙泉中学二模)在平行四边形ABCD中,AB=,AD=2,∠A=135°,E,F分别是AB,AD上的点,且=λ,=μ[其中λ,μ∈(0,1)],且3λ+μ=1.若线段EF的中点为M,则当||取得最小值时,的值为(　　)A.36 B.37 C.21 D.22解析:(1)以点B为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,如图,则A(-2,0),C(-2,1),设P(cos α,sin α),α∈[0,2π),因此,=(-2-cos α,-sin α),=(-2-cos α,1-sin α),于是得·=(-2-cos α)2-sin α+sin 2α=5+4cos α-sin α=5-sin (α-),其中锐角由确定,而-≤α-<2π-,则当α-=,即α=+,且时,sin (α-)取最小值-1,所以·的最大值为5+.故选B.(2)=-=(+)-(+)=(λ+μ)-(+)=(λ-1)+(μ-1),所以||2=++2(λ-1)(μ-1)·=2+4+2(λ-1)(-1)××2×(-)=λ2-λ+1,所以||==,因为μ=1-3λ∈(0,1),所以0<λ<,所以当λ=时,||取得最小值,此时μ=1-3λ=1-=,所以==22.故选D.用向量法解决平面几何问题,通常是建立平面直角坐标系将问题坐标化,然后利用向量的坐标运算解决有关问题,这样可以避免繁杂的逻辑推理,同时加强了数形结合思想在解题中的应用.热点训练3　 (1)(2022·湖北模拟预测)设A,B为圆x2+y2=1上的两个动点,且∠AOB=120°,P为直线l:3x-4y-15=0上的一个动点,则|+|的最小值为(　　)A.3 B.4 C.5 D.6(2)(2022·江苏盐城三模)已知平面凸四边形ABCD,点E,F分别在AD,BC上,满足=2,=2,且EF=2,与的夹角为,设AB=m,DC=n,则m+2n的最大值为　　　　. 解析:(1)设C是AB的中点,因为∠AOB=120°,所以|OC|=|OA|sin 30°=,即C在以原点为圆心,为半径的圆上,+=+++=2,|+|=2||,又|PO|min==3,所以|PC|min=3-=,所以|+|min=2×=5.故选C.(2)因为=++,①且=++,②则①×2+②得3=2(++)+(++),即3=(2+)+2++(2+),因为=2,=2,所以3=2+,两边平方可得,36=m2+4n2+4mncos =m2+4n2+2mn=(m+2n)2-2mn,所以(m+2n)2=36+2mn≤+36,解得m+2n≤4,当且仅当m=2n=2时,等号成立.答案:(1)C　(2)4专题强化训练(六)一、单项选择题1.(2022·山东昌乐二中模拟预测)设向量a=(1,x),b=(x,9),若a∥b,则x=(　D　)A.-3    B.0     C.3     D.3或-3解析:由题设,有x2-9=0,可得x=±3.故选D.2.(2022·广东深圳二模)已知点A(0,1),B(2,3),向量=(-3,1),则向量=(　D　)A.(1,-2)  B.(-1,2)C.(1,-3)  D.(-1,3)解析:设C(x,y),所以=(-3,1)=(x-2,y-3),整理得C(-1,4),所以=(-1,4)-(0,1)=(-1,3).故选D.3.(2022·河北保定一模)已知向量a=(2,1),|b|=,|a-b|=5,则a与b的夹角为(　D　)A.45° B.60° C.120°  D.135°解析:因为a=(2,1),所以|a|==,所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a|·|b|·cos <a,b>+|b|2=15-10cos <a,b>=25,解得cos <a,b>=-,又<a,b>∈[0,180°],所以<a,b>=135°,即a与b的夹角为135°.故选D.4.(2022·湖北模拟调研)已知在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=6,=2,=2,则·=(　D　)A.9     B.-9      C.18       D.-18解析:=+,=+=+=(-),则·=(-)=-18.故选D.5.(2022·山东济南二模)在等腰梯形ABCD中,=-2,M为BC的中点,则=(　B　)A.+ B.+C.+ D.+解析:取AD的中点N,连接MN,因为=-2,所以AB∥CD,AB=2CD.又M是BC的中点,所以MN∥AB,且MN=(AB+CD)=AB,所以=+=+.故选B.6.(2022·福建宁德模拟预测)已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点).若=x+y,则+的最小值为(　C　)A.4 B.6 C.8 D.9解析:由题意得点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点),则由共线向量定理可设=λ(0<λ<1),因为=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+,所以x=1-λ,y=(x>0,y>0),所以+=+=(+)[(1-λ)+λ]=4++≥4+2=8,当且仅当=,即λ=时取等号,故+的最小值为8.故选C.7.(2022·山东淄博模拟预测)已知在△ABC中,AB=4,AC=3,cos A=.若D为边BC上的动点(包括端点),则·的取值范围是(　C　)A.[4,12] B.[8,16]C.[4,16]  D.[2,4]解析:由题意得=λ+(1-λ),0≤λ≤1,·=·[λ+(1-λ)]=λ+(1-λ)||·||cos A=16λ+4-4λ=12λ+4∈[4,16].故选C.8.(2022·福建厦门模拟预测)已知e1,e2为单位向量,满足|e1-e2|=|2e1-a|=1,则|a-e2|的最小值为(　A　)A.-1 B.C.-1 D.解析:设=e1,=e2,则|e1-e2|=|-|=||=1,所以△OAB为等边三角形,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(1,0),B (,).设C(2,0),a=,则|2e1-a|=|-|=||=1,所以M在以C为圆心,1为半径的圆上.因为|a-e2|=|-|=||,所以==|BC|-1=-1.故选A.二、多项选择题9.(2022·河北邯郸一模)如图,O是正六边形ABCDEF的中心,则下列结论正确的是(　BD　)A.=2B.++=0C.-+=D.·=·解析:由题意结合正六边形的性质可知,对于选项A,=2,故A错误;对于选项B,++=0,故B正确;对于选项C,-+=,故C错误;对于选项D,·=·,故D正确.故选BD.10.(2022·重庆模拟调研)已知在△ABC中,AB=2, 在 上的投影向量的模为3,D为AC的中点,E为BD的中点,则下列式子有确定值的是(　AC　)A.· B.·C.· D.·解析:如图,以A为原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,因为 在 上的投影向量的模为3,所以点C的横坐标为5,设点C的坐标为(5,y),A(0,0),B(2,0),因为D为AC的中点,E为BD的中点,所以D(,),E(,).对于A,·=(2,0)·(,)=1,所以A正确;对于B,·=(,)·(5,y)=+,所以B错误;对于C,·=(-,-y)·(2,0)=-,所以C正确;对于D,·=(-,-y)·(,)=--y2,所以D错误.故选AC.11.(2022·山东青岛一模)已知向量a=(2,1),b=(x,x+1),则下列结论正确的是(　AD　)A.若a⊥b,则x=-B.若a∥b,则x=±2C.若x=1,则|a-b|=2D.若x=1,则a与b的夹角为锐角解析:A选项,a⊥b,2x+x+1=0,x=-,A正确;B选项,a∥b,2(x+1)=x,x=-2,B错误;C选项,b=(1,2),a-b=(1,-1),|a-b|=,C错误;D选项,b=(1,2),cos <a,b>==>0,<a,b>为锐角,D正确.故选AD.12.点P是△ABC所在平面内一点,满足|-|-|+-2|=0,则△ABC不可能是(　AD　)A.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形解析:因为点P是△ABC所在平面内一点,且|-|-|+-2|=0,所以||-|(-)+(-)|=0,即||=|+|,所以|-|=|+|,等式两边平方并化简得·=0,所以⊥,∠BAC=90°,则△ABC一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形,不可能是钝角三角形和等边三角形.故选AD.三、填空题13.(2022·河北秦皇岛二模)设向量a=(-1,m),b=(2,3),且(a-b)⊥b,则m=　　　　. 解析:因为a=(-1,m),b=(2,3),所以a·b=-2+3m,b2=22+32=13.因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=-2+3m-13=0,所以m=5.答案:514.(2022·山东泰安一模)如图,在四边形ABCD中,=3,E为边BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=　　　　. 解析:连接AC,如图所示,=+=+(+)=+(+),所以=+,则λ+μ=+=.答案:15.(2022·河北模拟预测)如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=4,AB=BC=2,点M在以CD为直径的半圆上,且满足=m+n,则m+n的最大值为　　　　　. 解析:如图,以A为原点建立平面直角坐标系,设CD的中点为E,易得A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,4),则CD的中点E的坐标为(1,3),CD=2,故以CD为直径的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=2,过E作x轴的平行线交y轴于Q,交半圆于P,连接ME,则∠DEQ=∠PEC=45°,设∠PEM=θ,则M(1+cos θ,3+sin θ)(-45°<θ<135°),又=(1+cos θ,3+sin θ)=m+n=(2m,0)+(0,4n)=(2m,4n),故2m=1+cos θ,4n=3+sin θ,则m+n=+=+sin (θ+),其中sin =,cos =,显然当sin (θ+)=1时,m+n取得最大值.答案:16.(2022·山东泰安三模)如图,在△ABC中,∠BAC=,=,点P在线段CD上(P不与C,D点重合),若△ABC的面积为4,=m+,则实数m=　　　　,||的最小值为　　　　. 解析:因为=,所以=-=-,而=-=-m-=-m.因为与为非零共线向量,故存在实数λ使得-=λ(-m),故λ=4,m=,所以=+,||2=++2××||×||×,又△ABC的面积为4,所以×||×||×=4,所以||×||=16,所以||2=++2≥2×××16+2=6,当且仅当||=4,||=2时,等号成立,故||的最小值为.答案: