初中数学人教九下第二十七章 相似 单元检测卷

第二十七章 相似 单元检测卷

得分________　卷后分________　评价________

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下面不是相似图形的是(　　)

2．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是(　　)

A．∠ABP＝∠C　　　　B．∠APB＝∠ABC　　　　C.＝　　　　D.＝

3．如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当她在C处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2米，BC＝8米，则旗杆的高度是(　　)

A．6.4米  B．7米  C．8米  D．9米

,第2题图)　　,第3题图)　　,第4题图)　　,第5题图)

4．如图，E(－4，2)，F(－1，－1)，以O为位似中心，按比例尺1∶2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为(　　)

A．(2，－1)或(－2，1)  B．(8，－4)或(－8，4)

C．(2，－1)  D．(8，－4)

5．如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于点F，则图中共有相似三角形(　　)

A．1对  B．2对  C．3对  D．4对

6．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为(　　)

A．2.5  B．1.6  C．1.5  D．1

8．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C.设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为(　　)

A．－  B．－  C．－  D．－

,第6题图)　　,第7题图)　　,第8题图)　　,第9题图)    ,第10题图)

9．如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格中，△ABC是格点三角形(三角形的三个顶点是小正方形的顶点)，若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似(全等除外)，则格点P的坐标是(　　)

A．(1，4)  B．(3，4)  C．(3，1)  D．(1，4)或(3，4)

10．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正确的个数为(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

二、填空题(每小题3分，共24分)

11．如果＝＝≠0，那么的值是____．

12．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF相似，则需要添加一个条件是____．(写出一种情况即可)

13．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OA＝4，OD＝6，则△AOB与△DOC的周长比是____.

,第13题图)　　　,第14题图)　　　,第15题图)

14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝____m.

15．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且∠AED＝∠ABC，若DE＝3，BC＝6，AB＝8，则AE的长为____．

16．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于点M，N，给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM＝AC；③DN＝2NF；④S△AMB＝S△ABC.其中正确的结论是____．(填序号)

,第16题图)　　　　　,第17题图)　　　　　,第18题图)

17．如图，点M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有____条．

18．如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为B(－，5)，D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是____．

三、解答题(共66分)

19．(8分)如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C.

求证：(1)∠EAF＝∠B；(2)AF2＝FE·FB.

20．(8分)如图所示，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G.

(1)求证：△BDG∽△DEG；

(2)若EG·BG＝4，求BE的长．

21．(8分)如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

(1)画出位似中心点O；

(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比；

(3)以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5.

22．(10分)王亮同学利用课余时间对学校旗杆的高度进行测量，他是这样测量的：把长为3 m的标杆垂直放置于旗杆一侧的地面上，测得标杆底端距旗杆底端的距离为15 m，然后往后退，直到视线通过标杆顶端正好看不到旗杆顶端时为止，测得此时人与标杆的水平距离为2 m，已知王亮的身高为1.6 m，请帮他计算旗杆的高度(王亮眼睛距地面的高度视为他的身高)．

23．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.

(1)求证：∠DFA＝∠ECD；

(2)△ADF与△DEC相似吗？为什么？

(3)若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．

24．(10分)如图，已知在⊙O中，直径AB＝4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是上一点，连接AF交CE于点H，连接AC，CF，BD，OD.

(1)求证：△ACH∽△AFC；

(2)猜想：AH·AF与AE·AB的数量关系，并证明你的猜想；

(3)探究：当点E位于何处时，S△AEC∶S△BOD＝1∶4？并加以说明．

25．(12分)如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6.动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C—D—A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A—C—B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒)．

(1)当t＝0.5时，求线段QM的长；

(2)当0＜t＜2时，如果以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；

(3)当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R.请探究是否为定值，若是，试求出这个定值；若不是，请说明理由．

答案

一、选择题

1．A  2．D  3．C  4．A  5．C  6．B

7．B　

点拨：连接OD，OE，易知四边形CDOE为正方形，设OD＝OE＝r，则BE＝6－r.∵OE∥AC，∴＝，即＝，解得r＝2.4，∴AD＝1.6.

8.A　

点拨：过F点作FH⊥BC于H，易证△DBE≌△EHF，则BE＝FH＝x，EH＝2x，又∵FH∥AD，∴＝，即＝，∴y＝－.

9．D

10．B

点拨：设CF＝a，则DF＝3a，BE＝EC＝2a，AB＝AD＝DC＝4a，∴＝＝，∴△ABE∽△ECF，易知∠AEF＝90°，勾股定理知AE＝2a，EF＝a，∴＝＝，∴△ABE∽△AEF，而≠，∴△ADF∽△ECF不成立，AE≠2BE，∴∠BAE≠30°

二、填空题

11．5  12．∠A＝∠D(或BC∶EF＝2∶1)  13．2∶3  14.5.5  15.4  16.①②③  17．3

18．y＝－

点拨：过点E作EF⊥CO于点F（图略），由折叠知EO＝AO＝5，BC＝5，CO＝，由勾股定理知BO＝，∵EF∥BC，∴＝＝，解得EF＝3，FO＝4，∴E(－4，3)，∴反比例函数解析式为y＝－

三、解答题

19．解：(1)∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∠C＝∠EAF，∴∠EAF＝∠B.　

(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA，∴△AFE∽△BFA，则＝，∴AF2＝FE·FB.

20．(1)证明：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE＝∠DBG，∵∠CBE＝∠CDF，∴∠DBG＝∠CDF，∵∠BGD＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG.　

(2)解：∵△BDG∽△DEG，＝，∴DG2＝BG·EG＝4，∴DG＝2，∵∠EBC＋∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEG，∠EBC＝∠EDG，∴∠BGD＝90°，∵∠DBG＝∠FBG，BG＝BG，∴△BDG≌△BFG，∴FG＝DG＝2，∴DF＝4，∵BE＝DF，∴BE＝DF＝4.

21．解：(1)连接A′A，C′C，并分别延长相交于点O，即为位似中心.　

(2)相似比为1∶2.　

(3)略.

22．解：根据题意知，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，EF＝1.6 m，CD＝3 m，FD＝2 m，BD＝15 m，过E点作EH⊥AB，交AB于点H，交CD于点G，则EG⊥CD，EH∥FB，EF＝DG＝BH，EG＝FD，CG＝CD－EF.因为△ECG∽△EAH，所以＝，即＝，所以AH＝11.9(m)，所以AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)，即旗杆的高度为13.5 m.

23．(1)证明：∵∠AFE＝∠DAF＋∠FDA，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠ADC＝∠ADF＋∠CDE，又∵∠B＝∠AFE，∴∠DAF＝∠CDE.　

(2)解：△ADF∽△DEC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°，∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.　

(3)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4，又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，在Rt△ADE中，DE＝＝＝6，∵△ADF∽△DEC，∴＝，∴＝，AF＝2.

24．(1)证明：∵直径AB⊥CD，∴＝，∴∠F＝∠ACH，又∵∠CAF＝∠HAC，∴△ACH∽△AFC.　

(2)解：AH·AF＝AE·AB.证明如下：连接FB，∵AB是直径，∴∠AFB＝∠AEH＝90°，又∠EAH＝∠FAB，∴Rt△AEH∽Rt△AFB，∴＝，∴AH·AF＝AE·AB.　

(3)解：当OE＝(或AE＝)时，S△AEC∶S△BOD＝1∶4.∵直线AB⊥CD，∴CE＝ED，又∵S△AEC＝AE·CE，S△BOD＝OB·ED，∴＝＝，∵⊙O的半径为2，∴＝，∴OE＝.

25．解：(1)如图(1)，过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD为矩形，∴CF＝4，AF＝2，此时，Rt△AQM∽Rt△ACF，∴＝，即＝，∴QM＝1.　

(2)∵∠DCA为锐角，故有两种情况：①当∠CPQ＝90°时，点P与点E重合，此时DE＋CP＝CD，即t＋t＝2，∴t＝1.　②当∠PQC＝90°时，如图(2)，此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴＝，由题知，EQ＝EM－QM＝4－2t，而PE＝PC－CE＝PC－(DC－DE)＝t－(2－t)＝2t－2.∴＝，∴t＝，综上所述，t＝1或.

(3)为定值，当t＞2时，如图(3)，过C作CF⊥AB于F，PA＝DA－DP＝4－(t－2)＝6－t，由题得BF＝AB－AF＝4，∴CF＝BF，∴∠CBF＝45°，∴QM＝MB＝6－t，∴QM＝PA，∴四边形AMQP为矩形，∴PQ∥AB，∴△CRQ∽△CAB，∴＝＝＝＝.