2023年北京市中考数学模拟试题（二）（含答案）

这是一份2023年北京市中考数学模拟试题（二）（含答案），共23页。试卷主要包含了下面的三个问题中都有两个变量，分解因式等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市中考数学模拟试题（二）
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为（　　）
A．8.86×105 B．8.86×106 C．88.6×105 D．88.6×106
2．（2分）由四个相同的小正方体搭建的一个积木，从正面、左面、上面看这个积木时，看到的形状图如图所示，则这个积木可能是（　　）

A． B． C． D．
3．（2分）如图，已知AB∥CD且AB与EF不垂直，则与∠AGE相等的角有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2分）实数a，b在数轴上对应点内位置如图所示，则下列式子正确的是（　　）

A．ab＞0 B．|a|＜|b| C．﹣a＞b D．a﹣b＞0
5．（2分）从甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“同心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丙两人的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．（2分）下列图形中仅有两条对称轴的是（　　）
A．等边三角形 B．长方形 C．圆 D．正方形
8．（2分）下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长y与边长x；
②一个三角形的面积为5，其底边上的高y与底边长x；
③小赵骑行10km到公司上班，他骑行的平均速度y与骑行时间x；
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若，则xy＝　 　．
10．（2分）分解因式：a3﹣4a2+4a＝　 　．
11．（2分）方程＝+1的解是　 　．
12．（2分）如图，△ABC中，∠A＝82°，△ABC的两条角平分线交于点P，∠BPD的度数是　 　；

13．（2分）利用公式S2＝[（3﹣）2+（3﹣）2+（4﹣）2+（6﹣）2]计算4个数据的方差，则该方差为 　 　．
14．（2分）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则sin∠OCB＝　 　．

15．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是AD上的动点（不与端点重合），在矩形ABCD内找点F，使得EF⊥AD，且满足AF2＝AE•AD，则线段BF的最小值是　 　．

16．（2分）在某种药品的说明书上的部分内容是“用法用量：每天30～60mg，分2～3次服用”．则一次服用这种药品的剂量x的范围是 　 　mg．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：（1）2sin245°﹣6cos30°+3tan45°+4sin60°；
（2）tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．
18．（5分）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
请结合解题过程，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　．

19．（5分）先化简，再求值：（+x﹣1）÷，其中x满足x2﹣x﹣5＝0．
20．（5分）已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，
（1）尺规作图：在AB上求作一点E，使得CE∥AD．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AD＝4，AB＝6，
①求BC的长；
②在（1）的条件下，连接DE交AC于点F，求的值．

21．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝10，sinB＝，则S△ACD＝　 　．

22．（5分）在平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（2，2），C（0，3）．
（1）求直线BC的表达式；
（2）求直线BC与坐标轴所围成的三角形面积；
（3）若直线y＝kx+3与线段AB有公共点，直接写出k的取值范围．

23．（6分）为了宣传垃圾分类从我做起活动，我校举行了垃圾分类相关知识竞赛．为了了解初一、初二两个年级学生的掌握情况．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下：
收集数据
初一的20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）
65 68 70 76 77 78 87 88 88 88
89 89 89 89 93 95 97 97 98 99
初二的20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）
69 72 72 73 74 74 74 74 76 76
78 89 96 97 97 98 98 99 99 99
整理数据（成绩得分用x表示）
分数
年级
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
初一（人数）
2
4
a
6
初二（人数）
1
10
1
8
分析数据（平均数、中位数、众数、方差）

平均分
中位数
众数
方差
初一
86
88.5
c
10.3
初二
84.2
b
74
12.1
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为 　 　（填“初一”或“初二”的同学的垃圾分类相关知识掌握更好一些，你的理由是 　 　；（一条理由即可）
（3）该校初一有1500名学生和初二有2000名学生参加了此活动，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？
24．（6分）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且BC是⊙O的切线．
（1）求证：CE＝CB；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的正弦值；
（3）如果BE＝10，sinA＝，求⊙O的半径．

25．（6分）2022年2月8日北京冬奥会中自由滑雪空中技巧项目备受大家关注，中国优秀运动员沿跳台斜坡AB加速加速至B处腾空而起，沿抛物线BEF运动，在空中完成翻滚动作，着陆在跳台的背面着陆坡DC．建立如图所示的平面直角坐标系，BD∥x轴，C在x轴上，B在y轴上，已知跳台的背面DC近似是抛物线y＝a（x﹣7）2（1≤x≤7）的一部分，D点的坐标为（1，6），抛物线BEF的表达式为y＝b（x﹣2）2+k．

（1）当k＝10时，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，运动员在离x轴3.75m处完成动作并调整好身姿，求此时他距DC的竖直距离（竖直距离指的是运动员所在位置的点向x轴的垂线与DC的交点之间线段的长）；
（3）若运动员着落点与B之间的水平距离需要在不大于7m的位置（即着落点的横坐标x满足x≤7且b＜0，），求b的取值范围．
26．（6分）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣1，2），B（2，5）．
（1）求线段AB与y轴的交点坐标；
（2）若抛物线y＝x2+mx+n经过A，B两点，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，求m的取值范围．

27．（7分）已知：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，P是BC边上的一个动点，将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为EF．
（1）如图1，当点P与点C重合时，则线段EB＝　 　，EF＝　 　；
（2）如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长PO与GF的延长线交于点M，连接PF，ME，MA．
①求证：四边形MEPF是平行四边形；
②当tan∠MAD＝时，求四边形MEPF的面积．

28．（7分）【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．
【性质初探】
（1）双圆四边形的对角的数量关系是 　 　，依据是 　 　．
（2）直接写出双圆四边形的边的性质，（用文字表述）
（3）在图①中，连接GE，HF，求证GE⊥HF．
【揭示关系】
（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
（5）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝2，BC＝4，∠B＝90°，则PM的长为 　 　．



参考答案
1．A
2．D
3．C
4．C
5．B
6．B
7．B
8．B
9． ．
10． a（a﹣2）2．
11． x＝3．
12． 49°．
13． ．
14． ．
15． 2．
16． 10≤x≤30．
17．（1）2sin245°﹣6cos30°+3tan45°+4sin60°
＝2×（）2﹣6×+3×1+4×
＝2×﹣3+3+2
＝1﹣3+3+2
＝4﹣；
（2）tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°+（）﹣1
＝﹣1+2×+4
＝﹣1++4
＝2+3．
18．（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x≤4；（Ⅳ）x≤1．
19．原式＝﹣•（x﹣1）
＝﹣2x2+2x﹣1
＝﹣2（x2﹣x）﹣1，
由x2﹣x﹣5＝0，得到x2﹣x＝5，
则原式＝﹣10﹣1＝﹣11．
20．（1）如图，点E即为所求；

（2）①∵AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE∥AD，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠EAC+∠B＝∠ECA+∠ECB＝90°，
∴∠ECB＝∠B，
∴EA＝EC＝EB＝AB＝6＝3，
如图，过点C作CG⊥AB于点G，

∵AC平分∠DAB，∠ADC＝90°，
∴DC＝CG，
在Rt△ADC和Rt△AGC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△AGC（HL），
∴AD＝AG＝4，
∴EG＝AG﹣AE＝4﹣3＝1，
∴CG2＝CE2﹣EG2＝32﹣12＝8，
∵BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，
∴BC＝＝＝2，
∴BC的长为2；
②∵AD∥CE，
∴＝＝，
∴＝．
21．（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵sinB＝＝，BE＝10，
∴EF＝BE＝×10＝6，
∴BF＝＝＝8，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，
∴EC＝EF＝6，
由（1）得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC＝6，BC＝BE+CE＝16，
∵tanB＝＝＝＝，
∴AC＝BC＝×16＝12，
∴S△ACD＝AC•AD＝×12×6＝36，
22．（1）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（2，2），C（0，3）代入得，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3；
（2）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于（6，0）与y轴交于（0，3），
∴直线BC与坐标轴所围成的三角形面积为3×6＝9；
（3）当点A（1，1）在直线y＝kx+3上时，
有1＝k+3，
解得：k＝﹣2；
当点B（2，2）在直线y＝kx+3上时，
有2＝2k+3，
解得：k＝﹣．
∴若直线y＝kx+3与线段AB有公共点，则k的取值范围为﹣2≤k≤﹣．

23．（1）由初一的20名同学的竞赛成绩统计知a＝8，
众数c＝89，
由初二的20名同学的竞赛成绩统计知其中位数b＝＝77，
故答案为：8、77、89；
（2）根据以上数据，你认为初一的同学的垃圾分类相关知识掌握更好一些，理由是初一年级的平均数大于初二年级，其平均水平高（答案不唯一）．
故答案为：初一，初一年级的平均数大于初二年级，其平均水平高．
（3）估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有1500×+2000×＝1250（人）．
24．（1）证明：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠DAE＝∠OBA，
∵BC切⊙O于B，
∴∠OBC＝90°，
∴∠OBA+∠CBE＝90°，
∵DC⊥OA，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝CB；

（2）解：连接OF，AF，BF，
∵DA＝DO，CD⊥OA，
∴AF＝OF，
∵OA＝OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴∠ABF＝∠AOF＝30°，
即∠ABF的正弦值是；

（3）连接OF，过O作OG⊥AB于G，

∵AD＝OD，CD⊥AO，
∴AF＝OF＝OA，
∵OG⊥AB，OG过O，
∴AG＝BG，
在Rt△AOG中，sin∠BAO＝＝＝，
设DE＝5x，则AE＝13x，AD＝12x，AO＝24x，
∵BE＝10，
∴AB＝10+13x，
在Rt△AOG中，sin∠BAO＝，则＝，
则＝，
解得：x＝，
∴AO＝24x＝．
25．（1）当k＝10时，抛物线BEF的表达式为y＝b（x﹣2）2+10，
把B（0，6）代入解析式为6＝4b+10，
解得b＝﹣1，
把D（1，6）代入抛物线DC的表达式y＝a（x﹣7）2，
6＝36a，解得a＝，
∴a＝，b＝﹣1；
（2）把y＝3.75代入y＝﹣（x﹣2）2+10中，
解得x＝4.5或﹣0.5（舍去），
把x＝4.5代入y＝（x﹣7）2中，
y＝，
∴他距DC的竖直距离为3.75﹣＝（m）；
（3）在y＝a（x﹣7）2中，当x＝7时，y＝0，
∴C（7，0）．
把（0，6）代入y＝b（x﹣2）2+k，可得k＝6﹣4b，
∴y＝b（x﹣2）2+6﹣4b，
当x＝7时，y≤0，
∴21b+6≤0，解得b≤﹣，
∴b的取值范围是b≤﹣．
26．（1）设线段AB所在的直线的函数解析式为：y＝kx+b （﹣1≤x≤2，2≤y≤5），
∵A（﹣1，2），B（2，5），
∴，
解得：，
∴AB的解析式为：y＝x+3 （﹣1≤x≤2，2≤y≤5），
当x＝0时，y＝3，
∴线段AB与y轴的交点为（0，3）；
（2）∵抛物线y＝x2+mx+n经过A，B两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+1；
（3）∵抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，
∴联立方程，
得x+3＝x2+mx+3，
整理得：x2+（m﹣1）x＝0，
∵抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，
∴方程x2+（m﹣1）x＝0有两个不同的实数解，
即Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2＞0，
∵（m﹣1）2≥0，
∴当m≠1时Δ＞0，
解方程x2+（m﹣1）x＝0得：x1＝0，x2＝1﹣m，
∵线段AB的取值范围为：﹣1≤x≤2，
∴①﹣1≤1﹣m＜0时，得1＜m≤2，
②0＜1﹣m≤2时，得﹣1≤m＜1，
综上所述m的取值范围为﹣1≤m≤2且m≠1．
27．（1）∵将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，
∴AE＝CE，∠AEF＝∠CEF，
∵CE2＝BE2+BC2，
∴（6﹣BE）2＝BE2+12，
∴BE＝2，
∴CE＝4，
∵cos∠CEB＝＝，
∴∠CEB＝60°，
∴∠AEF＝∠FEC＝60°，
∵AB∥DC，
∴∠AEF＝∠CFE＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE＝4，
故答案为：2，4；
（2）①∵将矩形ABCD折叠，
∴FG∥EP，
∴∠MFO＝∠PEO，
∵点O是EF的中点，
∴EO＝FO，
又∵∠EOP＝∠FOM，
∴△EOP≌△FOM（ASA），
∴FM＝PE，
又∵MF∥PE，
∴四边形MEPF是平行四边形；
②如图2，连接AP交EF于H，

∵将矩形ABCD折叠，
∴AE＝EP，∠AEF＝∠PEF，∠G＝∠D＝90°，AD＝PG＝2，
∴EF⊥PA，PH＝AH，
∵四边形MEPF是平行四边形，
∴MO＝OP，
∴MA∥EF，
∴∠MAP＝∠FHP＝90°，
∴∠MAP＝∠DAB＝90°，
∴∠MAD＝∠PAB，
∴tan∠MAD＝tan∠PAB＝＝，
∴PB＝AB＝×6＝2，
∵PE2＝BE2+BP2，
∴（6﹣BE）2＝BE2+4，
∴BE＝，
∴PE＝6﹣BE＝，
∴四边形MEPF的面积＝PE×PG＝＝．
28．（1）解：双圆四边形的对角的数量关系是互补，依据是圆内接四边形的对角互补；
故答案为：互补；圆内接四边形的对角互补；
（2）解：∵⊙P与四边形ABCD四边相切，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，
∴AB+CD＝AE+BE+DG+CG＝AH+BF+DH+CF＝AD+BC；
即双圆四边形的对边的和相等；
（3）证明：证法一：

如图1，设HF和GE交点为N．连接HE，PE，PF，PG，PH，
∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，G，H为切点，
∴∠DHP＝∠DGP＝90°．
∴∠D+∠HPG＝180°．
同理∠B+∠EPF＝180°．
∴∠HPG+∠EPF＝180°．
∵∠HEG＝∠HPG，∠EHF＝∠EPF，
∴∠HEG+∠EHF＝（∠HPG+∠EPF）＝90°，
∴∠HNE＝90°，即GE⊥HF；
证法二：
如图2，设HF和GE交点为N．连接PH，延长HP交⊙P于点K，连接HG，GK，HE，EF，

∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，H，G为切点，
∴DH＝DG，∠DHP＝90°，即∠DHG+∠GHP＝90°，
∴∠DHG＝∠DGH＝（180°﹣∠D），
∵HK是⊙P直径，
∴∠HGK＝90°，即∠GHP+∠K＝90°，
∴∠DHG＝∠K，
∵∠HEG＝∠K，
∴∠DHG＝∠HEG，
∴∠HEG＝（180°﹣∠D），
同理∠EHF＝（180°﹣∠B），
∴∠HEG+∠EHF＝（180°﹣∠D）+（180°﹣∠B）＝90°，
∴∠HNE＝90°，即GE⊥HF；
证法三：
如图3，设HF和GE交点为N．延长AB，DC，相交于点K，

∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，H、G为切点，
∴KG＝KE，
∴∠KGE＝∠KEG，
∵∠KGE+∠DGE＝180°，
∴∠KEG+∠DGE＝180°，
同理∠DHF+∠BFH＝180°，
在四边形DHNG和四边形BFNE中，
∴∠HNG+∠FNE＝2×360°﹣3×180°＝180°，
∵∠HNG＝∠FNE，
∴∠HNG＝90°，即GE⊥HF；
（4）解：阴影区域如下图；

（5）解：如图4，连接AC，连接FM，ME，

∵∠B＝90°，
∴AC是⊙P的直径，
由（2）知：AB+CD＝BC+AD，
设AD＝x，则CD＝x+2，
∴AC2＝x2+（x+2）2＝42+22，
∴x1＝2，x2＝﹣4，
∴AD＝2，CD＝4，
∴AD＝AB，CD＝BC，
∵AC＝AC，
∴△ACD≌△ACB（SSS），
∴∠ACB＝∠ACD，∠CAD＝∠CAB，
∴点M在AC上，
∴∠B＝∠BEM＝∠BFM＝90°，FM＝EM，
∴四边形BEMF是正方形，
∴EM＝FM，
∵EM∥BC，
∴∠AME＝∠ACB，
∴tan∠AME＝tan∠ACB，
∴＝＝，
设AE＝a，EM＝2a，
∴2a＝2﹣a，
∴a＝，
∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，
∴AC＝＝2，
∴AP＝AC＝，
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝90°，AE＝，EM＝，
∴AM＝＝，
∴PM＝AP﹣AM＝﹣＝．