2023年河南省南阳市中考一模数学试题（含答案）

2023年初中毕业班第一次调研测试

数学试题卷

注意事项：

1．本试卷满分120分，考试时间100分钟．

2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置．

3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效．

4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回．

一、选择题：（每小题3分，共30分．）（下列各小题只有一个答案是正确的．）

1．若气温上升2℃记作＋2℃，则气温下降3℃记作（    ）

A．－2℃ B．＋2℃ C．－3℃ D．＋3℃

2．下列几何体的三视图中没有矩形的是（    ）

A． B． C． D．

3．多项式因式分解的结果是（    ）

A． B． C． D．

4．下列语句所描述的事件是随机事件的是（    ）

A．两点决定一直线 B．清明时节雨纷纷 C．没有水分，种子发芽 D．太阳从东方升起

5．将一副直角三角板按如图所示位置摆放，若，则图中∠1度数是（    ）

A．60° B．75° C．90° D．105°

6．如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图（两图都不完整），下列结论错误的是（    ）

A．该班总人数为50人  B．步行人数为30人

C．乘车人数是骑车人数的2.5倍 D．骑车人数占20%

7．“南阳，一个值得三顾的地方”，为加快省域副中心城市建设，市政府拟建多个城市休闲文化广场或公园，已知某正方形公园的边长为，则其面积用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，顶点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标为（    ）

A． B． C． D．

9．一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为（    ）（参考数据：，，）

A．27海里 B．50海里 C．75海里 D．海里

10．观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ）

A．0 B．1 C．7 D．8

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．用一根小木棒与两根长分别为3 cm、6 cm的小木棒围成三角形，则这根小木棒的长度可以为______cm（写出一个即可）

12．若关于x的没有实数根，则k的最小整数值是______．

13．如图，在中，AB＝AC＝5，观察尺规作图的痕迹，若BE＝2，则BC的长是______．

14．等腰直角三角形中，，，D为AB上一点，AD＝2，以A为圆心，AD为半径画弧交BC于点F，交AC的延长线于点E，则图中阴影部分面积为______．

15．【实践操作】将一张直角三角形纸片沿一条直线剪掉一张三角形纸片，剩下一张如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7 cm，BC＝9 cm，CD＝2 cm，AD＝6 cm，那么剪掉的三角形纸片的面积是______cm2．

三、解答题（共8个小题，满分75分）

16．（10分）计算：（1）；（2）．

17．（9分）【问题情境】大自然中的植物千姿百态，细心观察就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果用数学的眼光去观察，会有什么发现呢？数学活动课上，“孔明”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目化学习活动．

【实践发现】同学们从收集的杨树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：

【实践探究】分析数据如下：

【问题解决】

（1）上述表格中：a＝ ______，b＝ ______；

（2）①这两种树叶从长宽比的方差来看，______树叶的形状差别较小；②该小组收集的树叶中有一片长11.5 cm、宽5 cm的树叶，判断这片树叶来自于______树的可能性较大．

（3）该小组准备从甲、乙、丙、丁四位成员中随机选出两名进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员甲和乙同时被选中的概率．

18．（9分）【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决．

【问题情境】如图1，在正方形中ABCD中，E、F、G分别是BC、CD、AD上的点，GE⊥BF于点O，求证：GE＝BF．

小明尝试平移线段GE到AH，构造，使问题得到解决．

【阅读理解】（1）按照小明的思路，证明的依据是______；

【尝试应用】

（2）如图2，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点，AB交CD于点M．则∠AMC的度数为______；

（3）如图3，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，求的值．

19．（9分）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4 mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：

（1）求在整改过程中，当0≤x＜3时，y与x的函数表达式；

（2）在整改过程中，当x≥3时，y与x的函数表达式是______；

（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L？为什么？

20．（9分）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．

（1）求证：∠ABG＝2∠C；

（2）若，⊙O的半径是2，求AF的长．

21．（9分）2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．帝都南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史——公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”．

某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个．

（1）求第二批每个挂件的进价；

（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？

22．（10分）综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含60°角的菱形进行了探究．

【背景】在菱形ABCD中，∠B＝60°，作∠PAQ＝∠B，AP、AQ分别交边BC、CD于点P、Q．

（1）【感知】如图1，若点P是边BC的中点，小南经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量关系，请你写出这个关系式______．

（2）【探究】如图2，小阳说“点P为BC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由．

（3）【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片ABCD，测得∠ABC＝60°，AB＝6，在BC边上取一点P，连接AP，在菱形内部作∠PAQ＝60°，AQ交CD于点Q，当时，请直接写出线段DQ的长．

23．（10分）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度AB为20 m，顶点M距水面6 m（即MO＝6 m），小孔顶点N距水面4.5 m（即NC＝4.5 m），建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求出大孔抛物线的解析式；

（2）航管部门设定警戒水位为正常水位上方2 m处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3 m，顶部宽4 m的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由．

（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF．

2023年初中毕业班第一次调研测试

数学参考答案及评分标准

说明：

（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．

（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．

（三）评卷过程应按步给分．以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．

1～10．CDDBB    BCACA

11．4（答案不唯一，大于3而小于9的任意数）；

12．2；    13．；    14．；    15．24或．

16．（1）解：原式

＝2

（2）解：原式

17．解：（1）2.15；1.5；

（2）柳，杨；

（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名成员同时被选中的结果数为2，则甲和乙两名成员同时被选中的概率为．

18．解：（1）ASA（或AAS）；

（2）45°；

（3）把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．

则，∴∠APC＝∠EDC．

在中，有，，，

∵，故为直角三角形，∠DCE＝90°．

∴．

19．解：（1）前三天的函数图象是线段，设函数表达式为：

把（0，10）（3，4）代入函数关系式，得解得：

∴当0≤x＜3时，y与x的函数表达式为：；

（2）；

（3）能．理由：解法1：当x＝15时，

因为0.8＜1，所以能在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L．

解法2：令，则x＝12，

∵3＜12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L．

20．（1）证明：连接OE，∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥EG，

∵BF⊥GE，∴，∴∠ABG＝∠BOE，

∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，∴∠BOE＝2∠C，∴∠ABG＝2∠C；

（2）∵∠ABG＝2∠C，∠ABG＝∠C＋∠A，∴∠A＝∠C，∴BA＝BC＝4，

在中，∵，∴，

∴，

在中，∵，

∴，

则．

【说明】本题答案不唯一，其它解法参照评分．

21．解：（1）设第二批每个挂件进价是每个x元，

根据题意得，解得x＝40，

经检验，x＝40是原方程的解，也符合题意，∴x＝40，

答：第二批每个挂件进价是每个40元；

（2）设每个挂件售价定为m元，每周可获得利润W元，

∵每周最多能卖90个，∴，解得m≥55，

根据题意得，

∵，∴当m≥52时，y随x的增大而减小，

∵m≥55，∴当m＝55时，W取最大，

此时．

∴当定为55元时，每周可获得最大利润1350元．

【说明】本题答案不唯一，其它解法参照评分．

22．解：（1）AP＝AQ；

（2）证法1：过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

在菱形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，

∴，∴AE＝AF；

在菱形ABCD中，∠B＋∠C＝180°，

∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ＋∠C＝180°，∴∠APC＋∠AQC＝180°，

∵∠APB＋∠APC＝180°，∴∠APE＝∠AQF，

∴，∴AP＝AQ；

证法2：如图，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，

∵∠BAD＝120°，∴∠B＝∠D＝60°，

∴和都是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝∠B＝60°，

∵∠PAQ＝60°，∠BAD＝120°，∴∠PAC＋∠CAQ＝60°，

∵∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠CAQ＝∠BAP，

在△BAP和△CAQ中，∠BAP＝∠CAQ，AB＝AC，∠ABP＝∠ACQ，

∴，∴AP＝AQ．

（3）2或4．

23．解：（1）设大孔抛物线的解析式为，

把点A（－10，0）代入解析式，解得，，

因此函数解析式为；

（2）∵大孔所在的抛物线的解析式为，

当x＝2时，，

∴该巡逻船能安全通过大孔；

（3）∵NC＝4.5 m，可知点F的纵坐标为4.5，

∴令y＝4.5，得，解得：，，

∴（m）．

答：大孔的水面宽度EF为10 m．