高考数学大课堂专题3解答题题型

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专题3  解答题题型专题3  解答题题型三角函数与解三角形考点讲解：三角函数性质、图像、恒等变换以及解三角形考查的是一些重点知识的运用，重点考查学生对三角函数基本公式的灵活应用，包括诱导公式，两角和与差的正弦、余弦公式，正弦定理和余弦定理等，考查学生对三角函数知识的综合运用能力，全方面体现核心素养落实的情况.如运用基本公式对三角函数式进行化简，注重学生对基本公式的灵活应用以及准确求解的能力，着重考查学生的数学运算能力；如解三角形，要求学生能够熟练掌握并灵活应用基本公式或定理，根据题目中的已知条件进行求解，需要学生具有较高的运算能力.三角函数不仅是一种特殊的函数，还是考查学生数学运算能力的重要载体.【例1】（2022年新高考全国II卷）1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．【变1】（2021年全国新高考I卷）2．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【变2】（2021年全国新高考II卷）3．在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．数学公式是人们研究某个对象与其他对象间所得到的某种规律，数学公式产生的过程中包含着大量的数学思想、丰富的数学方法.高中学习的数学公式数量多且烦琐，学生容易出现记 不清公式或运用不恰当的情况，对学生的数学运算会产生很大的影响，甚至会影响学生的数学学习.高考不是对数学公式简单的考查，而是通过变式的方式考查学生是否真正理解了数学公式的内涵.因此，在学习的过程中要让学生推导公式且熟记公式并能够灵活应用.数列考点讲解：数列是高中数学的重点内容，是考查考生逻辑推理和数学运算核心素养的重要载体.课程标准要求学生“探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式，能在具体问题情境中发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”.纵观这几年高考数列解答题，难度中等，大稳定、小创新.【例1】（2022年新高考全国I卷）4．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．【变1】（2021年全国高考乙卷理）5．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【变2】（2021年全国新高考I卷）6．已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.1.强化对数列定义、基础知识和基本方法的练习与巩固，用好教材；2.熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式，适当加强通过递推关系式和列举法观察规律的题目的训练；3.加强新定义数列问题的研究，总结利用归纳猜想进一步求数列通项的解题规律；4.熟练掌握“累加法”“累乘法”“构造法”求数列的通项，“倒序相加法”“错位相减法”“裂项相消法”求数列前n项和的解题方法，掌握利用递推关系求数列通项的题目特征及相应的求解方法；5.数列解答题是容易得分的大题，主要考查数列的基本概念、基本量运算、基本方法的运用以及简单不等式的放缩等，建议在备考中加强常规方法的训练.考点03 概率与统计考点讲解：概率与统计是高中数学的重要内容，高考对统计与概率内容的要求是，高考主要考查随机抽样，用样本估计总体，变量的相关性，随机事件的概率，古典概型，几何概型，回归分析，独立性检验，离散型随机变量的分布列、期望、方差，正态分布．考查重点是用样本估计总体，古典概型，离散型随机变量的分布列、期望、方差，应用回归分析与独立性检验思想方法解决简单实际问题的能力．试题强调应用性，以实际问题为背景，构建数学模型，突出考查统计与概率的思想和考生的数据处理能力以及应用意识．【例1】（2022年新高考全国I卷）7．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：；（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828 【变1】（2021年全国新高考II卷）8．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【变2】（2021年全国高考乙卷数学理）9．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．（1）求，，，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．总体来说，全国课标卷对概率统计命题趋于综合化，其重视情境的创新融入、基础知识的变式考查和统计素养的应用考查．试题注重与情境相结合，突出概率统计在解决实际问题中的作用．知识点考查上，加大了学科间的知识融合命题，注重概率与函数、概率与不等式、概率与数列等交汇知识的融合考查．统计素养的应用体现渗透于随机思想、抽样 思想、或然与必然思想的理解及运用，侧重用概率或统计模型来表达随机现象的统计规律，用数据呈现的规律来解释随机现象及对抽样方法的统计意义的理解．考点04 立体几何考点讲解：高中立体几何教学可分为两个阶段：在新教材必修二中由四个基本事实出发建立一套完整的立体几何的逻辑推理体系，并定义了空间角（异面直线所成角、直线与平面所成角和两个半平面所成角），用于研究空间几何体的点线面位置关系；第二，在选择性必修一中利用空间向量的线性、数乘和数量积运算，证明平行和垂直的位置关系和求解空间角（主要借助空间直角坐标系），真正体现几何直观与代数运算之间的融合．高考中立体几何解答题是考生抢分的“必争之题”.尽管该解答题难度中等，却考查空间想象、推理论证、运算求解等多种能力，更是考查学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等素养.【例1】（2022年新高考全国I卷）10．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．【变1】（2021年全国高考乙卷理）11．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【变2】（2021年全国高考甲卷理）12．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?历年高考立体几何的解答题常以棱锥或棱柱为载体，考查内容均较为稳定，均考查立体几何的基本知识和基本思想方法，考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，线、面角问题，面积、体积等问题.一般采用分步设问的方式，常见的两个考查热点:一是定性分析，主要是以平 行、垂直的证明为主;二是定量分析，主要考查表面积、体积的计算，线面角、二面角和距离的计算等.解题时，平行、垂直这两种位置关系的证明一般以考纲要求的判定定理、性质定理为基本依据进行演绎推理;表面积、体积的计算常需进行合理的等积变换、割补转化，并结合表面积、体积公式进行运算;线面角、二面角的求解常运用空间向量的方法和几何法进行求解.解答题的解题方法往往不唯一，常有多种解法，倡导学生多角度地思考并从中探寻合理、简捷的途径.考点05 解析几何考点讲解：解析几何是高中数学的重要内容，是高考考查的重点内容，也是培养学生推理论证能力、运算求解能力、创新意识和实践能力的重要载体.圆锥曲线是解析几何的核心内容，对近几年高考真题进行归类分析，可知解析几何解答题在高考中处于重要地位，在高考命题中从轨迹（曲线）方程、最值（范围）、定值（定点）与探索性等角度来设计问题，表现为求曲线的方程、求曲线上几何元素的代数特征值、求特定几何图形的代数特征值或范围、曲线中的恒成立（恒定）等基本题型.【例1】（2022年新高考全国I卷）13．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．【变1】（2022年高考全国甲卷理）14．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．【变2】（2021年全国高考甲卷理）15．抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．解析几何大多以椭圆和抛物线为主，证明题出现的频率较高，证明题中频率最高的是直线过定点.其次是求取值范围/最值/定值，主要以直线与圆锥曲线相交为背景，考查圆锥曲线的相关性质.此类问题综合性强，思维容量大，对数学运算、逻辑推理、数形结合、转化与化归等能力要求高，试题区分度大.解析几何对高考题进行多方向、多侧面、多途径分析和研究，既能看出新课改的新高考趋势也能从中获得许多有价值的东西，可以提升备考层次.在练习了大量的难题甚至偏题后要回归基础，即“返璞归真”，回到知识的本真，再重新出发，以不变应万变.考点06 导数考点讲解：导数解答题就是将导数知识与其它知识（如不等式等）交融在一起命制的一类综合问题，主要考查学生对导数知识的灵活运用能力、代数变形能力、迁移能力、信息分析与整合能力、数学思想方法的运用能力以及利用高阶数学思维解决疑难问题的能力等.一般来说，导数解答题在高考数学试卷中的位置靠后，难度比较大，充当着压轴题的重要角色，此类试题承担着为高校选拔优秀人才的甄别功能，注重以教材为依据，从系统、整合与创新的视角立意，突出知识间的相互交叉、联系与综合，在考查学生技能迁移、问题解决和创新能力等素养的同时，也对学生不怕困难、深入思考、顽强探索的意志品质和数学精神要求也较高，突出了“数学在育人心智”方面的重要功能.【例1】（2022年高考全国甲卷理）16．已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．【变1】（2022年新高考全国I卷）17．已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【变2】（2022年新高考全国II卷）18．已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．导数解答题主要有以下八种解决策略：（1）立足基本概念与性质，运用通性通法解决；（2）关注试题结构，换元构造函数解决；（3）注重函数图像，运用数形结合解决；（4）找准分类标准，运用分类讨论解决；（5）运用三种分离，解决导数解答题；（6）合理放缩与转化，解决导数解答题；（7）运用思维导图，解决导数解答题；（8）结合高等数学知识，解决导数解答题.19．在中，内角，，，所对的边分别是，，，已知，且(1)求的值；(2)求的值；(3)若线段，是线段上的动点，且，求的最小值.（2023湖南省邵阳市一模）20．如图，为内的一点，记为，记为，且，在中的对边分别记为m，n，，，.(1)求；(2)若，，，记，求线段的长和面积的最大值.（2023湖南省怀化市期末）21．已知数列是公差大于1的等差数列，，前项和为，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.22．已知数列满足，，．(1)证明：数列为等比数列，求的通项公式．(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．（2023山东省新高考联合质量测评12月联考）23．某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格．(1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为，求的分布列和数学期望；(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为，若当时，最大，求的值．（2023湖南省长沙市第一中学月考四）24．某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为（）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为．(1)证明：在的概率分布中，最大．(2)对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为（，2，3），每位同学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小？并给出证明．（2023福建省2023届12月联合测评）25．如图1，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且.将沿着DE折起，形成四棱锥，其中点A对应的点为点P，如图2.(1)在图2中，在线段PB上是否存在一点F，使得∥平面PDE？若存在，请求出的值，并说明理由；若不存在，请说明理由；(2)在图2中，平面PBE与平面PCD所成的锐二面角的大小为，求四棱锥的体积.26．如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.(1)求证：；(2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.（2023江苏省南通市海安市1月期末）27．已知双曲线C过点,且C的渐近线方程为.(1)求C的方程;(2)设A为C的右顶点,过点的直线与圆O:交于点M,N,直线AM,AN与C的另一交点分别为D,E,求证:直线DE过定点.（2023山西省吕梁市期末）28．已知抛物线的焦点为．(1)如图所示，线段为过点且与轴垂直的弦，动点在线段上，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点，请问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；(2)过焦点作直线与交于两点，分别过作抛物线的切线，已知两切线交于点，求证：直线､、的斜率成等差数列．（2023江苏省南通市海安市1月期末）29．已知，函数，.(1)若，求函数的极小值；(2)若函数存在唯一的零点，求的取值范围.（2023四川省绵阳市南山中学二诊热身）30．已知函数，设曲线在点处的切线方程为.(1)证明：对定义域内任意，都有；(2)当时，关于的方程有两个不等的实数根，证明：. 
参考答案：1．(1)(2) 2．（1）证明见解析；（2）.3．（1）；（2）存在，且.4．(1)(2)见解析 5．（1）证明见解析；（2）.6．（1）；（2）.7．(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；(ii)； 8．（1）1；（2）见解析；（3）见解析.9．（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.10．(1)(2) 11．（1）；（2）12．（1）证明见解析；（2）13．(1)；(2)． 14．(1)；(2). 15．（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析16．(1)(2)证明见的解析 17．(1)(2)见解析 18．(1)的减区间为，增区间为.(2)(3)见解析 19．(1)或；(2)或(3) 20．(1)；(2)答案见解析. 21．(1)(2) 22．(1)证明见解析，(2) 23．(1)分布列见解析，1(2)． 24．(1)证明见解析(2)应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小，证明见解析 25．(1)当时，∥平面PDE，理由见解析(2) 26．(1)证明见解析(2) 27．(1)(2)证明见解析 28．(1)是定值;定值为4.(2)证明见解析. 29．(1)2(2) 30．(1)证明见解析(2)证明见解析