高考数学大课堂专题5“课本典例”类型

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专题5  “课本典例”类型 模块一  高考新动向专题5  “课本典例”类型“课本典例”是高考试题中常考的的题源部分，主要包含7个部分：1.常考基础小考点：（1）集合，常用逻辑用语，不等式，（2）复数与平面向量，（3）排列组合与二项式定理，主要分布在必修第一册，必修第二册，选择性必修第三册；2.函数与导数：（1）函数概念，性质与基本初等函数，（2）导数及其应用，主要分布在必修第一册，选择性必修第二册；3.三角函数与解三角形：（1）三角函数的概念，图像与性质，（2）解三角形，主要分布在必修第一册，必修第二册；4.数列：（1）数列的概念，通项与求和；（2）等差数列与等比数列，主要分布在选择性必修第二册；5.立体几何：（1）空间几何体；（2）点线面平行与垂直；（3）空间向量，主要分布在必修第二册，选择性必修第一册；6.解析几何：（1）直线与圆，（2）椭圆，双曲线与抛物线，主要分布在必修第二册，选择性必修第一册；7.概率与统计：（1）概率，（2）统计，（3）分布列，期望，方差，主要分布在必修第二册，选择性必修第三册；从近年高考试题看，教材是产生高考题的主要来源，相当数量的高考题源于教材，即使是综合题，也是基本题组合，加工，发展.教材是知识，方法，思想的重要载体.常考基础小考点考点讲解：本部分考点在高考中常以选择填空题为主，主要考查（1）集合，常用逻辑用语，不等式，（2）复数与平面向量，（3）排列组合与二项式定理．1．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.2．已知A={满足条件p},B={满足条件q},(1)如果,那么p是q的什么条件?(2)如果,那么p是q的什么条件?(3)如果,那么p是q的什么条件?3．已知都是正数，且.求证：（1）；（2）.4．（1）已知，求的最小值；（2）求的最大值.5．在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．6．设⊙C半径为r，若A， B两点都是⊙C上的动点，求的最大值．7．在的展开式中，含的项的系数是________.8．填空题（1）________；（2）________.9．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．（1）从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？10．从1，2，…，19，20中任选一个数作被减数，再从1，2，…，10中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式？函数与导数考点讲解：本部分内容是高考的重难点，课本的典例以及复习题都是高考的题源部分，要熟练掌握．11．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.（1）求函数图象的对称中心；（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.12．设函数的定义域为I，区间，记.证明：（1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有；（2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：，都有.13．导函数的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处（1）导函数有极大值？（2）导函数有极小值？（3）函数有极大值？（4）函数有极小值？14．用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据，，，…，．证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小．三角函数与解三角形考点讲解：本部分内容是高考的重难点，课本的典例以及复习题，尤其要注意课本上的数学文化问题，都是高考的题源部分，要熟练掌握．15．（1）分别计算和的值，你有什么发现？（2）任取一个的值，分别计算，你又有什么发现？（3）证明：.16．求证：（1）；（2）；（3）；（4）.17．已知函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．18．如图，已知直线，A是之间的一定点并且点A到的距离分别为，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C.设.（1）写出面积关于角的函数解析式.；（2）画出上述函数的图象；（3）由（2）中的图象求的最小值.19．如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.20．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，．(1)求A；(2)若，△ABC的面积为，求b、c．数列考点讲解：本部分内容是高考的重难点，课本的典例以及复习题，尤其要注意课本上的创新问题，都是高考的题源部分，要熟练掌握．21．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（　　）A． B． C． D．22．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期，那么在这期间人口数（    ）A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变23．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），．（1）当时，试确定使得需要多少步雹程；（2）若，求m所有可能的取值集合M．立体几何考点讲解：本部分内容是高考的重难点，课本的典例以及复习题，尤其要注意课本上的图形模型，都是高考的题源部分，要熟练掌握．24．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？ 25．如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．解析几何考点讲解：本部分内容是高考的重难点，课本的典例以及复习题，尤其要注意课本上的结论与推导，都是高考的题源部分，要熟练掌握．26．如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，求的值.27．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知，是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程．概率与统计考点讲解：本部分内容是高考的重难点，课本的典例以及复习题，尤其要注意课本上的实际应用问题，都是高考的题源部分，要熟练掌握．28．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．（1）按照这种化验方法能减少化验次数吗？（2）如果携带病毒的人只占2%，按照k个人一组，k取多大时化验次数最少？29．一份某种意外伤害保险费为20元，保险金额为50万元．某城市的一家保险公司一年能销售10万份保单，而需要赔付的概率为．利用计算工具求（精确到0.0001）：（1）这家保险公司亏本的概率；（2）这家保险公司一年内获利不少于100万元的概率．30．在一个袋子中放6个白球，4个红球，揺匀后随机摸球3次，采用放回和不放回两种方式摸球.设事件“第i次摸到红球”，i=1，2，3.（1）在两种摸球方式下分别猜想事件发生的概率的大小关系；（2）重复做10次试验，求事件发生的频率，并填入下表. 放回摸球不放回摸球      （3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率差别大吗？在不放回摸球方式下，事件的频率差别大吗？请说明原因.31．池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 26928280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 89359635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 56951574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（    ）A． B．C． D．课本创新情境【解读】创新情境问题指问题的面目、形式新颖，命题的立意、背景深远的数学问题，这类题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，一般难度不会太大，而且与高中数学体系内的知识有千丝万缕的联系，是训练和考查学生思维能力、分析问题和解决问题能力、体现数学核心素养的好题型.分析学习新的数学知识的能力是指通过阅读，理解以前没有学过的新的数学知识，如新的概念、定理、公式、法则和方法，并能运用它们做进一步的运算和推理，解决有关问题的能力.32．从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的下列数据：为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：.（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式；（2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？33．根据下述事实,分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题:(1).(2)如图,在中,AD,BE与CF分别为BC,AC与AB边上的高,则AD,BE与CF所在的直线交于一点O.34．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x 为何值时，S最小？并求出这个最小值.35．证明：（1）若，则.（2）若，则.36．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.（1）如图，设地球表面某地正午太阳高度角为为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，那么这三个量满足.某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值）.下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据，请根据数据完成下面的表格（计算结果精确到0.0001）； 观测站ABC观测站所在纬度/度40.000023.43930.0000观测站正午太阳高度角/度66.387082.946473.6141太阳直射点的纬度/度   太阳直射点的纬度平均值/度  （2）设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y,该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4392911，试利用（1）中的数据，估计的值（精确到）；（3）定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，求一个回归年对应的天数（精确到00001）；（4）利用（3）的结果，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近（精确到1）.37．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．38．如图，在棱长为a的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面BEF的夹角正切值.39．过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，观察它与抛物线的准线l的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？40．若数列满足，，，则称为斐波那契数列．试用数学归纳法证明其通项公式为．41．已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.42．气象部门由每天的最高气温的数据，得到每月最高气温的平均数，简称平均高温.下表是2017年31个城市1月和7月的平均高温数据.城市1月平均高温7月平均高温城市1月平均高温月平均高温北京332南京935成都1232南宁2033重庆1236上海1036福州1736沈阳31广州2133石家庄333贵阳928太原332哈尔滨30天津333海口2232乌鲁木齐32杭州1136武汉1034合肥935西安836呼和浩特30西宁427济南633银川232昆明1724长春29拉萨823长沙1135兰州533郑州734南昌1335   （1）画出并观察各城市月与月的平均高温的散点图，你认为月与月的平均高温有线性趋势吗？描述散点图的特点.（2）结合地理知识并用统计方法分析表中的数据，解释这两个月平均高温的关系.
参考答案：1．为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.证明见解析2．(1)充分条件;(2)必要条件;(3)充要条件.3．（1）证明见解析；（2）证明见解析.4．（1）；（2）.5．B6．2r27．-15.8．     1024     9．（1）12；（2）60.10．11．（1）；（2）见解析12．（1）证明见解析；（2）证明见解析13．（1）；（2），；（3）；（4）；14．证明见解析；15．（1）， 发现：.（2），发现：.（3）证明见解析16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析17．（1），（2），时18．（1）；（2）图像见解析；（3）19．20．(1)；(2) 21．B22．B23．（1）12；（2）.24．底面四边形的两对角线垂直时25．(1)证明见解析(2)证明见解析 26．27．双曲线方程为，抛物线方程为28．（1）减少；（2）．29．（1）0.0037；（2）0.919730．（1）相等；（2）答案见解析；（3）答案见解析.31．B32．（1）；（2）的速度33．(1);(2)任意三角形的三条高交于一点.34．时，S最小且元.35．（1）证明见解析（2）证明见解析36．（1）见解析；（2）；（3）；（4）37．(1)(2) 38．（1）证明见详解；（2）39．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;与椭圆相离;与双曲线相交.40．见解析41．（1）见解析；（2）.42．（1）散点图见解析，答案见解析；（2）答案见解析.