高考数学大课堂专题6“高数衔接”类型

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专题6  “高数衔接”类型模块一  高考新动向 专题6  “高数衔接”类型1.常用的泰勒公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．（8）．由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．2.拉格朗日（Lagrange）中值定理  若函数f（x）满足如下条件：（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；（2）f（x）在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得．拉格朗日公式还有下面几种等价形式：，．注  拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，．3.圆锥曲线中四点共圆问题的相关定理（1）引理  设AB与CD相交于点P，则A，B，C，D四点共圆等价于．（2）定理1  设直线AB，CD的斜率存在且不等于0．若AB，CD是圆锥曲线的两条相交弦，交点为P，则两弦AB，CD的倾斜角互补的充要条件是A，B，C，D四点共圆．（3）定理2  设直线AB，CD的斜率存在且不等于0．若AB，CD是圆锥曲线的两条相交弦，交点为P，则两弦AB，CD的倾斜角互补的充要条件是．（4）定理3  如图24.3所示，设直线AB，CD，AD，BC的斜率存在且不等于0．若AB，CD是圆锥曲线的两条相交弦，且AB，CD的倾斜角互补，则两弦AD，BC的倾斜角互补．（5）定理4  设A，B，C是圆锥曲线上的三点，且直线BC的斜率存在，若直线AB和AC的斜率互为相反数，则直线BC的斜率与曲线在点A处的切线的斜率互为相反数．4.两个重要的极限（1）．（2）．5.不动点原理用初等数学可以这么理解：连续映射的定义域包含值域，则存在一个，使得．具体如下：定义1    对于连续函数，若，则称为的不动点．定义2    设是一个映射，若存在常数，对任意，，使得，其中表示点与点之间的距离，则称为压缩映射．定理1    给定完备距离空间，是的压缩映射，则有唯一不动点．这个定理叫做巴拿赫不动点原理，也叫做压缩映射原理．定理2    在上连续，且对任意的有成立，则在上一定存在不动点．6.调和点列相关定理1：如图14.1所示，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线，交于，两点，交于点，则．①反之，若式①成立，则称点与点关于调和共轭，即点在点的极线上，点也在点的极线上．定理2的功能主要是证明动点在定直线上或者证明直线过定点．以椭圆为例，就可得到如下推论．推论    过异于原点的点引椭圆的割线，其中，两点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足，则点在直线上．定理2    设，，三点共线，则唯一确定一点，使得，，，成调和点列．随着高中数学里高等数学的含量进一步扩大，近几年在高考及模拟试卷中，经常会出现以高等数学为背景的试题，这些试题背景丰富、立意高远，既考杳学生当下的数学素养，又考查学生将来的学习潜能.在解决它们时，由于学生知识与方法的限制，只能遵循“高等背景，初等解法”的原则.以泰勒公式为背景考点讲解：用高数泰勒公式的观点解决高考数学会使得方法简单．.【例1】【2022年高考全国甲卷数学（理）】1．已知，则（    ）A． B． C． D．【变1】【2023重庆南开中学高三月考】2．在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在一点的邻域中的值，常见的公式有：；.则利用泰勒公式估计的近似值为（    ）（精确到）A． B． C． D．以拉格朗日中值定理为背景考点讲解：对于与拉格朗日中值定理的题型，关键在于不等式进行等价变形，根据式子的结构特征，构造同构函数，利用函数单调性进行解题．【例2】3．设函数（1）求证：的导数；（2）若对任意都有求a的取值范围．【变1】4．拉格朗日定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得. 已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ）A． B． C． D．以圆锥曲线中四点共圆为背景考点讲解：利用圆锥曲线四点共圆源于二次曲线束，是解决四点共圆问题的一把“利器”．【例3】【2022年新高考全国I卷】5．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．【变1】6．设双曲线的左、右焦点分别为，．点为坐标原点，点，，点为右支上一点，则（    ）A．的渐近线方程为B．C．当，，，四点共圆时，D．当，，，四点共圆时，以调和点列与调和线束为背景考点讲解：解决方法有2种：一是先特殊后一般的思想方法，可以根据图形的对称性和特殊位置先得到结论，再验证在一般情形下结论也成立；二是方程来研究相关性质．【例4】【2022年高考全国乙卷数学（理）】7．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．【变1】【2022四川叙永一中高三一诊】8．数列通常被称为“调和级数”，是级数理论中最早被人们研究的级数之一著名数学家欧拉在年就曾给出证明：当足够大时，，其中为欧拉—马歇罗尼常数，其值约为，在本题的计算中可以忽略不计．据此，与之比的近似值为（    ）（参考数据：）A． B． C． D．以不动点为背景考点讲解：对于与不动点有关的题型，关键是利用递推关系进行迭代，将题设中的不等关系等价转化为初始元素的不等条件.【例5】9．函数，定义数列如下：，是过两点、的直线与x轴交点的横坐标(1)证明：(2)求数列的通项公式．【变1】【2023重庆北碚区期末】10．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数“不动点”函数，实数为该函数的不动点.(1)求函数的不动点；(2)若函数有两个不动点，且，，求实数的取值范围.以数列极限为背景考点讲解：解决与数列极限有关的题型，关键在于深刻理解数列极限的定义，借助已知条件，构造合适的N，使得从数列中某一确定的项以后的所有项都符合题设.【例6】11．设（1）若，求及数列的通项公式；（2）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.【变1】【2023山东青岛西海岸新区期中检测】12．集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前次操作中共去掉的线段长度之和不小于，则的最小值为（    ）（参考数据：，）A．9 B．8 C．7 D．6创新情境【解读】创新情境问题指问题的面目、形式新颖，命题的立意、背景深远的数学问题，这类题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，一般难度不会太大，而且与高中数学体系内的知识有千丝万缕的联系，是训练和考查学生思维能力、分析问题和解决问题能力、体现数学核心素养的好题型.分析学习新的数学知识的能力是指通过阅读，理解以前没有学过的新的数学知识，如新的概念、定理、公式、法则和方法，并能运用它们做进一步的运算和推理，解决有关问题的能力.【典例剖析】设函数在区间I上有定义，若对I上的任意两个数，和任意的，都有，那么称为I上的凹函数，若等号不成立，即“”号成立，则称在I上为严格的凹函数，对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在上的函数，其一阶导数为，其二阶导数为（即对函数再求导，记为），若，，那么函数是严格的凹函数（，均可导），试根据以上信息解决如下问题：若函数在定义域内为严格的凹函数，则实数m的取值范围为___________.【答案】【详解】由，得，所以，令，得，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以.故答案为：13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得．已知函数，，，那么实数的最大值为（    ）A． B．0 C． D．14．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了如下公式：（其中）现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（    ）A． B． C． D．【2023广东广州市四校联考】15．一般地，若，（，且），则称，，，四点构成调和点列.已知椭圆：，过点的直线与椭圆交于，两点.动点满足，，，四点构成调和点列，则下列结论正确的是（    ）A．，，，四点共线 B．C．动点的轨迹方程为 D．既有最小值又有最大值【2022广东深圳光明区高级中学等名校联考】16．记为函数的阶导数且，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称为次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．据此计算在处的3次泰勒多项式为=_________；在处的10次泰勒多项式中的系数为_________【2022黑龙江哈尔滨三中四模】17．在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.(1)分别求，，在处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：.（其中为虚数单位）；(3)若，恒成立，求a的范围.（参考数据）【2023广西壮族自治区桂林市灵川县广西师范大学附属中学月考】18．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为为上一点，点在椭圆上，且．(1)若椭圆的离心率为，短轴长为，求椭圆的方程；(2)若在轴上方存在两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．【2023江苏省南通市如皋期末】19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆E：和定点，P为圆E上的动点，线段PF的垂直平分线与直线PE交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与x轴正半轴交于点A，过点的直线l与曲线C交于点M，N（异于点A），直线MA，NA与直线分别交于点G，H.若点F，A，G，H四点共圆，求实数t的值.20．如图，已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的切线，交于点.过抛物线上一点（在下方）作切线，交于点.(1)当时，求面积的最大值；(2)证明四点共圆.21．设函数有两个不同的不动点，且由确定着数列，那么当且仅当时，.22．对于函数，若存在使成立，则称为的不动点.如果函数有且只有两个不动点0，2，且.(1)求函数的解析式；(2)已知各项为负的数列满足，求数列通项；(3)如果数列满足，求证：当时，恒有成立. 
参考答案：1．A2．B3．（1）见解析；（2）（﹣∞，2]4．C5．(1)；(2)． 6．ABD7．(1)(2) 8．B9．(1)证明见解析(2) 10．(1)(2) 11．（1）；（2）存在，12．A13．B14．B15．ABC16．          33017．(1)答案见解析(2)证明见解析(3) 18．(1)(2) 19．(1)(2) 20．(1)1(2)证明见解析 21．证明见解析.22．(1)；(2)；(3)证明见解析.