2023年北京市中考数学模拟试题（七）

这是一份2023年北京市中考数学模拟试题（七），共24页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市中考数学模拟试题（七）
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）如图是某立体图形的表面展开图，则这个立体图形是（　　）

A． B．
C． D．
2．（2分）将61700000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．6.17×107 B．6.17×106 C．6.17×105 D．0.617×108
3．（2分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2分）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确的结果，后来发现“m”“n”处被墨水污损了，请你帮他找出m，n处的值分别是（　　）
A．m＝1，n＝1 B．m＝2，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝2
5．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A．b+c＞0 B．bd＞0 C．|a|＞|d| D．a＜﹣4
6．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠A＝30°，AB＝8，则CD的长为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4
7．（2分）西峡猕猴桃，河南省西峡县特产，中国国家地理标志产品．种植户小王新摘了一批猕猴桃，这些猕猴桃的质量的平均数和方差分别是，s2，小王从中选出质量大且均匀的猕猴桃作为一等品销售，一等品猕猴桃的质量的平均数和方差分别为，s12，则下列结论一定成立的是（　　）

A．＝ B．＞ C．s2＞s12 D．s2＜s12
8．（2分）A、B两地相距90km，甲骑摩托车由A地出发，去B地办事，甲出发的同时，乙骑自行车同时由B地出发沿着同一条道路前往A地，甲办完事后原速返回A地，结果比乙早到0.5小时．甲、乙两人离A地距离y（km）与时间x（h）的函数关系图象如图所示．下列说法：①a＝3.5，b＝4；②甲走的全路程是90km；③乙的平均速度是22.5km/h；④甲在B地办事停留了0.5小时．其中正确的说法有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）已知+＝y+10，则的值为 　 　．
10．（3分）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝　 　．
11．（3分）当x＝　 　时，分式的值为1．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AB的长为 　 　．
13．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，6），则k＝　 　．
14．（3分）甲、乙、丙、丁四人外出旅游时准备站成一排拍照合影留念，则甲和乙相邻的概率为 　 　．
15．（3分）如图，E、F在矩形ABCD的边BC、CD上，CE＝CF，BE＝8，DF＝6，∠EAF＝45°，则EF的长为 　 　．

16．（3分）为响应“双十二购物狂欢节”活动，某零食店推出了甲、乙、丙三类饼干礼包，已知甲、乙、丙三类礼包均由A、B、C三种饼干搭配而成，每袋礼包的成本均为A、B、C三种饼干成本之和．每袋甲类礼包有5包A种饼干、2包B种饼干、8包C种饼干；每袋丙类礼包有7包A种饼干、1包B种饼干、4包C种饼干．已知甲每袋成本是该袋中A种饼干成本的3倍，利润率为30%，每袋乙的成本是其售价的，利润是每袋甲利润的；每袋丙礼包利润率为25%．若该网店12月12日当天销售甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4：6：5，则当天该网店销售总利润率为　 　．
三．解答题（共10小题，满分60分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）先化简，再求值：（2a﹣1）2+2a（3﹣2a），其中a＝﹣1．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣4＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）k有没有可能是该方程的一个根，如果是，请求出k的值；如果不是，请说明理由．
21．（6分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，当AF为 　 　时，四边形BCEF是菱形．

22．（6分）以△ABC的一条边AC为直径的⊙O与BC相交于点D，点D是BC的中点，过点D作⊙O的切线交AB于点E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BE＝1，tanB＝2，求⊙O的半径．

23．（6分）2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测．
【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率．
样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表：

样本学生成绩
平均数
方差
中位数
众数
甲校
50
66
66
66
78
80
81
82
83
94
74.6
141.04
a
66
乙校
64
65
69
74
76
76
76
81
82
83
74.6
40.84
76
b
表中a＝　 　；b＝　 　．
请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩．
【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为3组，制成频数分布直方图，如图所示．
A组：0＜x≤20；B组：20＜x≤40；C组：40＜x≤60．
请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数）．
【监测反思】
①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性；
②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？

24．（7分）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）a＝　 　；
（2）若抛物线的顶点为P，直线y＝9与抛物线交于两点G、H，求△PGH的面积；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝4（x﹣1）2交于点C，D，则线段AB与线段CD的长度之比为 　 　．
25．（8分）如图，已知△ABC为等边三角形，点M，N分别在射线BC和射线CA上，且BM＝CN，若BN与MA的延长线相交于点P，求∠BPM的度数．

26．（7分）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：△ADG∽△CFG．
（2）若G是的中点，当CG与△ADE的一边平行时，求的值．
（3）如图2，点E是OB的中点，AB＝8，连接BG，BD，BC．当DG+CG＝6时，求cosF的值．


参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）如图是某立体图形的表面展开图，则这个立体图形是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图．
【分析】利用立体图形及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：三个长方形和两个三角形，是三棱柱的组成，所以该立体图形的名称为三棱柱．
故选：B．
2．（2分）将61700000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．6.17×107 B．6.17×106 C．6.17×105 D．0.617×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将61700000这个数用科学记数法表示为6.17×107．
故选：A．
3．（2分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意，
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
故选：A．
4．（2分）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确的结果，后来发现“m”“n”处被墨水污损了，请你帮他找出m，n处的值分别是（　　）
A．m＝1，n＝1 B．m＝2，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝2
【考点】解二元一次方程组．
【分析】先把y的值代入原方程组求出n的值，再把x的值代入原方程组即可求出m的值．
【解答】解：∵是方程组的解，
∴把y＝1代入得，，
①+②得：4x＝4，解得x＝1，即n＝1，
把x＝1代入①得，1+m＝3，解得m＝2．
故选：B．
5．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A．b+c＞0 B．bd＞0 C．|a|＞|d| D．a＜﹣4
【考点】实数与数轴；绝对值．
【分析】A、b+c是异号两数的和，取绝对值较大数的符号，所以取c的符号，是个正数，故符合题意；
B、bd是异号两数的积，异号得负，所以是负数，故不符合题意；
C、两个绝对值比较大小，就是比较它们离开原点的距离，故不正确；
D、a在﹣4右边，右边的数大于左边的数，故不正确．
【解答】解：A、b+c是异号两数的和，取绝对值较大数的符号，所以b+c＞0正确；
B、b＜0，d＞0，所以bd＜0，故不正确；
C、|a|＜4，|d|＞5，所以|a|＜|d|，故不正确；
D、a＞﹣4，故不正确．
故选：A．
6．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠A＝30°，AB＝8，则CD的长为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4
【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理．
【分析】先由圆周角定理得出∠BOC＝2∠A＝60°，再根据垂径定理得出CE＝DE，然后由直角三角形的性质得出OE＝2，CE＝2，即可得到结论．
【解答】解：由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝60°，
∵⊙O的直径AB＝8，
∴OC＝AB＝4，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD，∠OCE＝90°﹣60°＝30°，
∴OE＝OC＝2，CE＝OE＝2，
∴CD＝2CE＝4，
故选：D．
7．（2分）西峡猕猴桃，河南省西峡县特产，中国国家地理标志产品．种植户小王新摘了一批猕猴桃，这些猕猴桃的质量的平均数和方差分别是，s2，小王从中选出质量大且均匀的猕猴桃作为一等品销售，一等品猕猴桃的质量的平均数和方差分别为，s12，则下列结论一定成立的是（　　）

A．＝ B．＞ C．s2＞s12 D．s2＜s12
【考点】方差；算术平均数．
【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】解：∵小王从中选出质量大且均匀的猕猴桃作为一等品销售，
∴s2＞s12，＜1．
故选：C．
8．（2分）A、B两地相距90km，甲骑摩托车由A地出发，去B地办事，甲出发的同时，乙骑自行车同时由B地出发沿着同一条道路前往A地，甲办完事后原速返回A地，结果比乙早到0.5小时．甲、乙两人离A地距离y（km）与时间x（h）的函数关系图象如图所示．下列说法：①a＝3.5，b＝4；②甲走的全路程是90km；③乙的平均速度是22.5km/h；④甲在B地办事停留了0.5小时．其中正确的说法有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据题意和图象中的数据进行判断即可．
【解答】解：①a＝2+1.5＝3.5，b＝3.5+0.5＝4，正确；
②甲走的全路程是2×90＝180km，错误；
③乙的平均速度是＝22.5km/h，正确；
④甲在B地办事停留了2﹣1.5＝0.5小时，正确；
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）已知+＝y+10，则的值为 　6　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式求出x，进而求出y，根据算术平方根的概念计算即可．
【解答】解：由题意得：x﹣13≥0，13﹣x≥0，
解得：x＝13，
则y＝﹣10，
∴2x﹣y＝2×13+10＝36，
∵＝6，
∴＝6，
故答案为：6．
10．（3分）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝　x（x﹣y）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2，
故答案为：x（x﹣y）2
11．（3分）当x＝　1　时，分式的值为1．
【考点】解分式方程．
【分析】据题意得＝1，观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：据题意得＝1．
方程的两边同乘（x﹣2），得
2x﹣3＝x﹣2，解得：x＝1．
检验：把x＝1代入（x﹣2）＝﹣1≠0
∴原方程的解为：x＝1．
∴当x＝1时，分式的值为1．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AB的长为 　8　．
【考点】解直角三角形．
【分析】在直角三角形中，利用∠A的正弦、BC与AB间关系，计算得结论．
【解答】解：Rt△ABC中，
∵sinA＝＝，BC＝2，
∴AB＝2×4＝8．
故答案为：8．
13．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，6），则k＝　12　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】由反比例函数的图象经过点（2，6），可得出6×2＝k，解之即可得出k值．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，6），
∴6×2＝k，
∴k＝12．
故答案为：12．
14．（3分）甲、乙、丙、丁四人外出旅游时准备站成一排拍照合影留念，则甲和乙相邻的概率为 　　．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】画树状图，共有24种等可能的情况，其中甲和乙相邻的情况有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有24种等可能的情况，其中甲和乙相邻的情况有12种，
∴甲和乙相邻的概率为＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，E、F在矩形ABCD的边BC、CD上，CE＝CF，BE＝8，DF＝6，∠EAF＝45°，则EF的长为 　10　．

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】在DA上截取DN＝DF＝6，连接NF，在BA上截取BM＝BE＝8，连接ME，设CE＝CF＝x，根据矩形的性质可得∠B＝∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝x+6，BC＝AD＝8+x，从而可得∠BME＝45°，∠DNF＝45°，ME＝8，NF＝6，进而可得∠MAE+∠AEM＝45°，∠NAF+∠AFN＝45°，然后可证∠MAE＝∠AFN，∠AEM＝∠DAF，从而证明△AME∽△FNA，再利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：在DA上截取DN＝DF＝6，连接NF，在BA上截取BM＝BE＝8，连接ME，

设CE＝CF＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝x+6，BC＝AD＝8+x，
∴∠BME＝45°，∠DNF＝45°，
∴ME＝BE＝8，NF＝DF＝6，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，
∵∠MAE+∠AEM＝45°，∠NAF+∠AFN＝45°，
∴∠MAE＝∠AFN，∠AEM＝∠DAF，
∴△AME∽△FNA，
∴＝，
∴＝，
∴x＝10或x＝﹣10（舍去），
∴CE＝CF＝10，
∴EF＝CE＝10，
故答案为：10．
16．（3分）为响应“双十二购物狂欢节”活动，某零食店推出了甲、乙、丙三类饼干礼包，已知甲、乙、丙三类礼包均由A、B、C三种饼干搭配而成，每袋礼包的成本均为A、B、C三种饼干成本之和．每袋甲类礼包有5包A种饼干、2包B种饼干、8包C种饼干；每袋丙类礼包有7包A种饼干、1包B种饼干、4包C种饼干．已知甲每袋成本是该袋中A种饼干成本的3倍，利润率为30%，每袋乙的成本是其售价的，利润是每袋甲利润的；每袋丙礼包利润率为25%．若该网店12月12日当天销售甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4：6：5，则当天该网店销售总利润率为　25%　．
【考点】三元一次方程组的应用．
【分析】设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z，从甲礼包入手，先求出5x＝y+4z，再由甲的利润率求出甲礼包的售价为19.5x，成本15x；由乙礼包所提供的条件可求出乙礼包的售价为12x，成本为10x；由丙礼包的条件列出丙礼包的成本为7x+y+4z＝12x，进而确定丙礼包的售价为15x，成本为12x；最后再由利润率的求法求出总利润率即可．
【解答】解：设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z，依题意得：
5x+2y+8z＝15x，
∴5x＝y+4z，
由甲礼包的利润率为30%，则可求甲礼包的售价为19.5x，成本15x；
∵每袋乙的成本是其售价的，利润是每袋甲利润，
可知每袋乙礼包的利润是4.5x×＝2x，
则乙礼包的售价为12x，成本为10x；
由丙礼包的组成可知，丙礼包的成本为7x+y+4z＝12x，
∵每袋丙礼包利润率为25%，
∴丙礼包的售价为15x，成本为12x；
∵甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4：6：5，
∴×100%＝25%，
∴总利润率是25%，
故答案为25%．
三．解答题（共10小题，满分60分）
17．（5分）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2×+2+2﹣1
＝+2+2﹣1
＝3+1．
18．（5分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x＜1，
解不等式②，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x＜1．
19．（5分）先化简，再求值：（2a﹣1）2+2a（3﹣2a），其中a＝﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（2a﹣1）2+2a（3﹣2a）
＝4a2﹣4a+1+6a﹣4a2
＝2a+1，
当a＝﹣1时，原式＝2（﹣1）+1
＝2﹣2+1
＝2﹣1．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣4＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）k有没有可能是该方程的一个根，如果是，请求出k的值；如果不是，请说明理由．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】（1）由x2+2x+k﹣4＝0有实数根列出关于k的不等式，即可解得答案；
（2）把x＝k代入方程，可解得k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣4＝0有实数根，
∴Δ≥0，即22﹣4（k﹣4）≥0，
解得k≤5；
∴k的取值范围是k≤5；
（2）k有可能是该方程的一个根，理由如下：
当x＝k时，k2+2k+k﹣4＝0，即k2+3k﹣4＝0，
∴（k+4）（k﹣1）＝0，
∴k+4＝0或k﹣1＝0，
解得k1＝﹣4，k2＝1．
21．（6分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，当AF为 　　时，四边形BCEF是菱形．

【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．
【分析】（1）由AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC，易证得△ABC≌DEF（SAS），即可得BC＝EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；
（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，求出FG的长，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AF＝DC，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：如图，连接BE，交CF于点G，

∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，
∵∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，
∴DF＝＝＝10，
∴FG＝CG＝BC•cos∠BCA＝6×＝，
∴AF＝CD＝DF﹣2FG＝10﹣＝．
故答案为：．
22．（6分）以△ABC的一条边AC为直径的⊙O与BC相交于点D，点D是BC的中点，过点D作⊙O的切线交AB于点E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BE＝1，tanB＝2，求⊙O的半径．

【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．
【分析】（1）证明△ABD≌△ACD即可；
（2）先证明DE⊥AB，即可依次求出DE、BD、CD、AD，根据勾股定理求出AC即可得到答案．
【解答】解：（1）如图，连接AD，

∵AC为直径，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵BD＝CD，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB＝AC；
（2）如图，连接OD，

∵O、D分别为AC、BC中点，
∴OD∥AB，
∵DE与⊙O相切，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AB，
∵BE＝1，tanB＝2，
∴DE＝2，
∴CD＝＝，
∵，
∴AD＝，
∴AC＝＝5，
∴⊙O的半径为．
23．（6分）2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测．
【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率．
样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表：

样本学生成绩
平均数
方差
中位数
众数
甲校
50
66
66
66
78
80
81
82
83
94
74.6
141.04
a
66
乙校
64
65
69
74
76
76
76
81
82
83
74.6
40.84
76
b
表中a＝　79　；b＝　76　．
请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩．
【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为3组，制成频数分布直方图，如图所示．
A组：0＜x≤20；B组：20＜x≤40；C组：40＜x≤60．
请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数）．
【监测反思】
①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性；
②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？

【考点】频数（率）分布直方图；算术平均数；中位数；众数；方差；用样本估计总体．
【分析】【学科测试】根据中位数和众数的概念分析求解，然后结合平均数，中位数，众数，方差的意义进行分析评判；
【问卷调查】根据平均数的计算公式分析计算；
【监测反思】①根据表格中的数据和频数分布直方图分析语文测试成绩与课外阅读量的相关性；②统计调查要考虑总体的大小来确定样本容量的大小．
【解答】解：【学科测试】
学科测试：设3套不同的试卷分别为1、2、3，列表如下：

1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
一共有9种等可能情况，而满足题意的有三种情况，
∴小亮、小莹作答相同试卷的概率为；
将甲校样本学生成绩从小到大排序为：50，66，66，66，78，80，81，82，83，94，
位于第5个和第6个的数据分别是78和80，
∴a＝＝79，
在乙校样本学生成绩中出现次数最多的是76，
∴b＝76，
故答案为：79，76，
由题意，甲乙两校平均数相同，乙校方差小于甲校，
∴乙校成绩更加稳定；
【问卷调查】由题意，甲校学生阅读课外书的平均数量为＝32（本），
乙校学生阅读课外书的平均数量为＝30（本）；
【监测反思】
①甲校样本学生阅读课外书的平均数量为32本，乙校样本学生阅读课外书的平均数量为30本；
从语文测试成绩来看：甲乙平均数一样大，乙校样本学生成绩比较稳定，甲校的中位数比乙校高，但从众数来看乙校成绩要好一些；
从课外阅读量来看：虽然甲校学生阅读课外书的平均数较大，但整体来看，三个组的人数差别较大，没有乙校的平稳；
综上来说，课外阅读量越大，语文成绩就会好一些，所以要尽可能的增加课外阅读量；
②甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平，因为W市的抽样方法是各校抽取了10人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太多，评估出来的数据不够精确，所以不能用这10个人的成绩来评估全校2000 多人的成绩．
24．（7分）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）a＝　1　；
（2）若抛物线的顶点为P，直线y＝9与抛物线交于两点G、H，求△PGH的面积；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝4（x﹣1）2交于点C，D，则线段AB与线段CD的长度之比为 　2　．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）由抛物线对称轴直线方程x＝﹣求解．
（2）求出点G，H坐标然后根据三角形面积公式求解．
（3）分别将y＝m代入两抛物线解析式，求出AB，CD长度作商求解．
【解答】解：（1）抛物线对称轴为直线x＝＝＝1，
∴a＝1．
故答案为：1．
（2）由（1）得y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴点P坐标为（1，0），
把y＝9代入y＝x2﹣2x+1得9＝x2﹣2x+1，
解得x＝﹣2或x＝4，
∴G，H坐标为（﹣2，9），（4，9），
∴S△PGH＝GH•（yG﹣yP）＝×（4+2）×9＝27．
（3）∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
把y＝m代入y＝（x﹣1）2得m＝（x﹣1）2，
解得x＝1+或x＝1﹣，
∴AB＝1+﹣（1﹣）＝2．
把y＝m代入y＝4（x﹣1）2得m＝4（x﹣1）2，
解得x＝1+或x＝1﹣．
∴CD＝1+﹣（1﹣）＝，
∴＝＝2．
故答案为：2．
25．（8分）如图，已知△ABC为等边三角形，点M，N分别在射线BC和射线CA上，且BM＝CN，若BN与MA的延长线相交于点P，求∠BPM的度数．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形性质得出AB＝AC，∠ABM＝∠BCN，根据SAS证明△BCN≌△ABM，由全等三角形的性质得出∠AMB＝∠BNC，由三角形外角的性质可得出答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，
在△BCN和△ABM中，
，
∴△BCN≌△ABM（SAS）；
∴∠AMB＝∠BNC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠AMB+∠CAM＝∠ACB＝60°，
∵∠AMB＝∠BNC，∠CAM＝∠NAP，
∴∠BNC+∠NAP＝60°，
∴∠BPM＝∠BNC+∠NAP＝60°．
26．（7分）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：△ADG∽△CFG．
（2）若G是的中点，当CG与△ADE的一边平行时，求的值．
（3）如图2，点E是OB的中点，AB＝8，连接BG，BD，BC．当DG+CG＝6时，求cosF的值．

【考点】圆的综合题．
【分析】（1）利用圆内接四边形的性质即可求解；
（2）分情况讨论：①CG∥AD②CD∥AE 再根据对应相似三角形以及特殊三角函数值即可求解；
（3）构造对应辅助线推导得到DB＝OB，所以连接半径OD得到等边三角形ODB，转化对应线段，再构造一对全等三角形，可以求出BG、AB的值，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形AGCD为⊙O的内接四边形，
∴∠AGC+∠ADC＝180°，∠DAG+∠DCG＝180°，
∵∠AGC+∠CGF＝180°，∠DCG+∠GCF＝180°，
∴∠CGF＝∠ADC，∠DAG＝∠GCF，
∴△ADG∽△CFG；

（2）①当CG∥AD时，
∵G是的中点，
∴
∴AG＝CG，
则△ADG≌△CFG（AAS），
∴∠ADG＝∠F，∠DAG＝∠DAG，
∴△DAG∽△AFD，
∴，
设CF＝x，AG＝y，
∴，
解得x＝y，
∴＝＝；
②当CD∥AE时，
∴∠GCF＝90°
∵∠DOB＝∠AOG，
∴，
∴，
∴∠AOG＝60°，
∴∠GDA＝∠F＝30°，
∴＝tanF＝tan30°＝；

（3）延长GD至点M，使DM＝CG，连BM，过B作BN⊥MG，连OD，

∵MD＝CG，∠MDB＝∠BCG，BD＝BC，
∴△MDB≌△GCB（SAS），
∴BM＝GB，
∵E为OB中点，CD⊥AB，
∴OD＝BD＝OB，
∴△BDO为等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∴∠DGB＝30°，
∴GM＝DG+DM＝DG+GC＝6，
∴GN＝GM＝3，GB＝6，
由（1）得，∠F＝∠ADG＝∠ABG，
在Rt△ABG中，cosF＝cos∠ABG＝．