数学-2023年高考终极押题猜想（分专题预测）（新高考专用）（原卷版）

这是一份数学-2023年高考终极押题猜想（分专题预测）（新高考专用）（原卷版），共26页。试卷主要包含了导数中的零点问题3，三角函数中的取值范围5，解三角形中的几何图形的计算7，外接球、内切球、棱切球10，立体几何中的翻折问题11，概率与实际生活密切联系15，离心率20，圆锥曲线中的面积问题22等内容，欢迎下载使用。

2023年高考数学终极押题猜想
押题猜想一 函数性质（奇偶性、对称性、周期性、单调性)的综合应用 1
押题猜想二 导数中的零点问题 3
押题猜想三 三角函数中的取值范围 5
押题猜想四 解三角形中的几何图形的计算 7
押题猜想五 外接球、内切球、棱切球 10
押题猜想六 立体几何中的翻折问题 11
押题猜想七 概率与实际生活密切联系 15
押题猜想八 离心率 20
押题猜想九 圆锥曲线中的面积问题 22
押题猜想十 数列放缩 24

押题猜想一 函数性质（奇偶性、对称性、周期性、单调性)的综合应用

（多选题）已知函数满足：①为偶函数；②，．是的导函数，则下列结论正确的是（    ）
A．关于对称 B．的一个周期为
C．不关于对称 D．关于对称

【押题解读】从近五年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．
【考前秘笈】（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且；（4）若函数关于直线对称，则；（5）若函数关于点对称，则；（6）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．

1．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（    ）
A．函数为偶函数 B．函数的图像关于点对称
C． D．

2．（多选题）（2023·福建莆田·统考二模）已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（    ）
A． B．为偶函数
C． D．

3．（多选题）（2023·浙江·模拟预测）已知连续函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则（    ）
A． B．
C．在上至少有2个零点 D．

4．（多选题）（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（    ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数

5．（多选题）（2023·全国·模拟预测）设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若， ，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ）
A． B．函数的图象关于对称
C． D．

押题猜想二 导数中的零点问题

已知函数．
(1)若在R上单调递减，求a的取值范围；
(2)当时，求证在上只有一个零点，且．




【押题解读】导数压轴题以零点为主，重点关注由函数的零点生成的各类问题的求解思路，本质是如何构造函数以及变形函数求解难题．
【考前秘笈】函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．


1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)已知函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围．




2．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)，若函数有两个零点，且，求证：．




3．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知函数．
(1)若函数在处的切线斜率为，求实数的值；
(2)若函数有且仅有三个不同的零点，分别设为，，．
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：．





4．（2023·广东汕头·统考二模）已知函数，，．
(1)若函数存在极值点，且，其中，求证：；
(2)用表示m，n中的最小值，记函数，，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围．




押题猜想三 三角函数中的取值范围

若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为______

【押题解读】在近几年的高考中，三角函数是高考必考的重点内容，根据三角函数相关性质求解参数的值或取值范围是三角函数中比较典型的一类问题，它能有效考查学生对三角函数基本性质的掌握程度，是高考常用的考查形式．
【考前秘笈】1、在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点

2、在区间内有个零点

同理在区间内有个零点

3、在区间内有个零点


同理在区间内有个零点

4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则．

1．（2023·吉林·统考三模）规定：设函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．

2．（2023·四川成都·统考模拟预测）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是_____________．

3．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数的图象经过点，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，而且取得最大值、最小值时的自变量x值分别只有一个，则实数的取值范围是__________．

4．（2023·内蒙古包头·统考一模）记函数的最小正周期为T．若为的极小值点，则的最小值为__________．

押题猜想四 解三角形中的几何图形的计算

平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知．

(1)当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
(2)记与的面积分别为和，请求出的最大值．




【押题解读】几何条件下的解三角形问题是近几年高考的热点，体现了数学运算和直观想象的核心素养．解决这类问题既要抓住几何条件，也要灵活选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式．
【考前秘笈】三角形中几何计算问题的解题思路：(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．

1．（2023·广东广州·统考二模）记的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求；
(2)若点在边上，且，，求．




2．（2023·全国·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，．已知，为上一点，．
(1)求的值．
(2)若，求与的大小．




3．（2023·江西九江·统考一模）在中，为的角平分线上一点，且与分别位于边的两侧，若

(1)求的面积;
(2)若，求的长．




4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，的面积是的面积的倍．，，．

(1)求的大小；
(2)若点在直线同侧，，求的取值范围．






押题猜想五 外接球、内切球、棱切球

（多选题）已知圆锥PE的顶点为P，E为底面圆的圆心，圆锥PE的内切球球心为，半径为r；外接球球心为，半径为R．以下选项正确的有（    ）
A．当与重合时，
B．当与重合时，
C．若，则圆锥PE的体积的最小值为
D．若，则圆锥PE的体积的最大值为

【押题解读】纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度．
【考前秘笈】在解决外接球、内切球、棱切球问题时，先看看空间几何体是否有线面垂直条件，如果有，则联想常见模型的思路，如果没有，看看空间几何体是否有三个两两垂直的墙角模型，如果有，则联想补形法的思路，如果没有，则只能老老实实找到球心的大致位置，再利用勾股定理进行求解．另外强调一点，如果遇到的题目中，没有线面垂直，也没有三个两两垂直，也找不到球心大致的位置，那么此时，这个题的难度肯定较大，需要静心分析题目的已知条件，挖掘出隐藏在题目中的信息，等条件挖掘出来后，从而进行求解．

1．（2023·全国·模拟预测）如图所示的三棱锥中，，，，，且，，则其外接球体积的最小值为（    ）




A． B． C． D．
2．（2023·广东·统考模拟预测）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西商洛·统考二模）在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为______．
4．（2023·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为______．
押题猜想六 立体几何中的翻折问题

（多选题）如图1，在中，，，，DE是的中位线，沿DE将进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥（如图2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（    ）

A．当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为
B．四棱锥的体积的最大值为
C．若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为
D．若异面直线AC与BD所成角的余弦值为，则A、C两点间的距离为2
【押题解读】图形的展开与翻折问题是一个由抽象到直观，由直观到抽象的过程．高考中，图形的展开与翻折常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题．因此，关注图形的展开与折叠问题是非常有必要的．图形的展开与翻折问题是高考常见的考查形式．
【考前秘笈】解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．解决折叠问题的关注点：平面图形折叠成空间图形，主要抓住变与不变的量，所谓不变的量，即是指“未折坏”的元素，包括“未折坏”的边和角，一般优先标出未折坏的直角(从而观察是否存在线面垂直)，然后标出其他特殊角，以及所有不变的线段．

1．（多选题）（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法正确的是（    ）

A．不存在某个位置，使
B．存在某个位置，使
C．当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正弦值为
D．当时，的最小值为

2．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）如图，已知AB'C是边长为2的等边三角形，D是AB'的中点，DH⊥B′C，如图，将B'DH沿边DH翻折至BDH．

(1)在线段BC上是否存在点F，使得AF∥平面BDH？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，求三棱锥B-DCH的体积．




3．（2023·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）如图①，已知是边长为2的等边三角形，是的中点，，如图②，将沿边翻折至．

(1)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面与平面所成的二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．




4．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．

(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
(2)当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．




5．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知平面四边形ABCE（图1）中，，均为等腰直角三角形，M，N分别是AC，BC的中点，，，沿AC将翻折至位置（图2），拼成三棱锥D-ABC．

(1)求证：平面平面；
(2)当二面角的二面角为60°时，
①求直线与平面所成角的正弦值；
②求C点到面ABD的距离．




押题猜想七 概率与实际生活密切联系

今年月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多．月日，中国疾控中心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告．我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
接种天花疫苗与否/人数
感染猴痘病毒
未感染猴痘病毒
未接种天花疫苗
30
60
接种天花疫苗
20
90
(1)根据小概率值的独立性检验，判断密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗是否有关？
(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率．现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有人感染猴痘病毒的概率：
(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立．记：该家庭至少检测了名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为．求当为何值时，最大？
附：

0．1
0．05
0．010

2．706
3．841
6．635
【押题解读】回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题，是高考常用的考查形式．
【考前秘笈】主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布．

1．（2023·浙江杭州·统考二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．

当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．




2．（2023·河北·统考模拟预测）随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新梁道．某服装品牌为了给所有带货网络平台分配合理的服装量，随机抽查了100个带货平台的销售情况，销售每件服装平均所需时间情况如下频率分布直方图．

(1)求的值，并估计出这100个带货平台销售每件服装所用时间的平均数和中位数；
(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间服从正态分布，其中近似为，．若该服装品牌所有带货平台约有10000个，销售每件服装平均所需时间在范围内的平台属于“合格平台”．为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44．4分钟的平台中，每个平台每卖一件扣除；在时间小于14．4分钟的平台中，每卖一件服装进行奖励元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1元．求该服装品牌总公司在所有平台均销售一件服装时总共需要准备多少资金作为本次平台销售业务提升．（结果保留整数）
附：若服从正态分布，则，，．参考数据：．




3．（2023·广东·统考二模）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．
(1)若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
(2)当时，
（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E（X）的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程．




4．（2023·福建厦门·统考二模）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18．45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．

(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0．01），并推断它们的相关程度；
(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x，y)，两个变量满足一元线性回归模型  （随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计．
(ii)令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数，，，，




5．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．
①试证明：为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．




押题猜想八 离心率

下图是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，此双曲面可由一根长度为4的线段AB绕与其不共面的直线旋转而成，其轴截面为双曲线的一部分，若这两条异面直线所成的角为30°，垂直于旋转轴的截面圆的面积最小值为，则双曲线的离心率为_________．

【押题解读】圆锥曲线的离心率问题是高考中的一个难点和热点．因为离心率是刻画圆锥曲线形状的一个基本量，能考查考生对圆锥曲线形状最本质的理解，考查数学抽象、数学建模、数学运算等数学核心素养，灵活多变，综合性强．求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等，是高考常用的考查形式．
【考前秘笈】求椭圆离心率的取值范围是高考经常考查的热点问题之一，这类题涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强、方法灵活，解题关键是构造关于，或的不等式．可以利用以下方式构建不等式：（1）利用椭圆的范围构造不等式；（2）利用二次方程判别式构造不等式；（3）利用焦半径的取值范围构造不等式；（4）利用均值不等式构造不等式；（5）利用椭圆中重要结论构造不等式；（6）利用题设中的已知条件构造不等式；（7）利用坐标法构造不等式．

1．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E及直线上．若，则E的离心率的取值范围是_________．
2．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线分别交于､两点，若是线段的中点，且，则双曲线的离心率为___________．
3．（2023·山东日照·统考二模）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于，两点，若成等差数列，且与方向相反，则双曲线的离心率为_________．
4．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为___________．
5．（2023·湖南永州·统考三模）已知双曲线：，圆：与x轴交于两点，是圆О与双曲线在x轴上方的两个交点，点在y轴的同侧，且交于点C．若，则双曲线的离心率为_________．
押题猜想九 圆锥曲线中的面积问题

“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．
(1)以点F、E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设的斜率为，△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．






【押题解读】圆锥曲线面积问题的题目思路会比较顺畅，重点会在计算上面设置障碍，复习过程中要关注如何简化计算．
【考前秘笈】首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理．将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系．

1．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知椭圆C：的离心率为，左､右焦点分别为，，过的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于P点，，，记，，的面积分别为，，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，，求m的取值范围．



2．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值．





3．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）已知过点的直线l与抛物线相交于A，B两点，当直线l过抛物线C的焦点时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点，连接QA，QB分别交抛物线C于点E，F，且与的面积之比为，求直线AB的方程．




4．（2023·浙江宁波·统考二模）已知双曲线，点与双曲线上的点的距离的最小值为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)直线与圆相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程．




押题猜想十 数列放缩

已知数列中，，为数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，为数列的前项和，求证：．


【押题解读】数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢．
【考前秘笈】解决数列放缩问题常见方法：（1）先求和后放缩；（2）先放缩成等差数列，再求和；（3）先放缩成等比数列，再求和；（4）放缩后为裂项相消，再求和；（5）裂项放缩．

1．（2023·全国·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前n项和，，．
(1)求；
(2)若，数列的前n项和为，求证：．




2．（2023·天津·校联考二模）已知数列满足：，正项数列满足：，且，，．
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求：；
(3)求证：．



3．（2023·河南·校联考二模）已知数列满足，且，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，，．证明：．




4．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知数列满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：．




5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．