数学（甲卷理科）-学易金卷：2023年高考第一次模拟考试卷

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2023年高考数学第一次模拟考试卷高三数学（考试时间：150分钟  试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。评卷人得分  一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合则 （    ）A． B． C． D．2．若（，为虚数单位），则（    ）A． B． C． D．3．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（    ） A． B． C． D．4．若平面向量与的夹角为， 则A． B．． C．1 D．25．已知，，动点C在曲线T：上，若△ABC面积的最小值为1，则不可能为（    ）A． B． C． D．6．定义域为的函数，其值域为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．7．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．8．已知数列满足：，，.若，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．20229．已知直线l：若l上有且仅有一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆过原点O，则的最大值为（    ）A． B． C．2 D．110．在正四棱台中，，．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．11．已知P为抛物线上一动点，F为E的焦点，点Q为圆上一动点，若的最小值为3，则（    ）A．5 B．4 C．3 D．212．，则a，b，c的大小顺序为（    ）A． B．C． D． 评卷人得分  二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为___________.14．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为_____平方里．15．已知函数，在点处的切线与直线平行，则的值为___________.16．已知函数的图象关于点中心对称，若，，使得，则的最大值是______． 评卷人得分  三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．已知数列的前n项和满足．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．18．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．19．如图，在三棱锥中，底面为直角三角形，且，底面，且，点是的中点，且交于点．（1）求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值．20．己知双曲线与双曲线有相同的渐近线，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为(1)求双曲线C的方程；(2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围.21．已知函数(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在，使得，设函数的图像与轴的交点从左到右分别为，，，，证明：点，分别是线段和线段的黄金分割点.（注：若线段上的点将线段分割成两部分，且其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，则称此点为该线段的黄金分割点）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，已知直线：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）解不等式；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围．