必刷卷01——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（上海专用）

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2023年中考数学考前信息必刷卷01
数学（上海专用）

2023年上海中考数学试卷结构和内容和理念保持不变。2023年数学试卷满分150分，共25题：6（选择题）+12（填空题）+7，根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，随着数学教学的逐步深入，为体现数学课程标准对数学教学.从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的化简求值，方程不等式组的解法及函数知识的综合应用，仍将是考试的重点。对于函数，侧重考查一次函数、反比例函数的性质以及函数的应用、函数与方程不等式之间的联系，二次函数的综合问题常以解答的形式出现；几何方面，侧重对三角形的全等、相似的证明，特殊四边形的判定及性质的应用，也将以解答题的形式出现；锐角三角函数与生活的应用也是常考题型，对于圆的考查，总体难度会有所降低。此外，统计与概率也是必考内容。强化数学意识的转化和应用能力。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度..同时应加强学生的画图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力. 选择题1-6题涉及实数的有关概念、科学记数法、平行线的性质、中心对称图形等；第7-16题主要是方程、函数与不等式的联系、概率统计、圆中阴影部分面积的计算、相似三角形、二次函数的基础题；主要涉及因式分解、多边形的内角与外角、解方程、统计、一次函数与生活问题、三角函数；第18题是图形的翻折和对称相关题型。第19题主要是数与式的计算、解方程与不等式，第20题考查频数分布表的意义和制作方法，中位数、众数的意义、树状图求概率；第21题考查了圆中相关知识应用，第22题考查了方程及函数的应用，第23题考查了相似三角形及四边形的性质和判定、并作出合理的辅助线是解题的关键；第24题属于二次函数综合题、考查二次函数的图像和性质，线段和角之间的关系、二次函数的和四边形和圆的应用等知识.第25题主要考查了四边形和圆的相关综合知识，综合性较强，属于中考压轴题．

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.）
1．下列计算正确的是(   )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】运用合并同类项的法则∶1．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变．字母不变，系数相加减．2．同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．即可得出答案．
【详解】解：A、，故选项正确，符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了合并同类项，解题的关键是知道如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，还要掌握合并同类项的运算法则．
2．沪渝蓉高铁是国家中长期铁路网规划“八纵八横”之沿江高铁通道的主通道，其中南通段总投资约39000000000元，将39000000000用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【详解】解：由题意可知：
，
故选：C
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．两个矩形的位置如图所示，若，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α．
【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°，
∠2=90°-∠3=180°-α．
故选：C．

【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义．
4．某体育用品商店出售跳绳，售卖方式可批发可零售，班长打算为班级团购跳绳，如果每位同学一根跳绳，就只能按零售价付款，共需元；如果多购买5根跳绳，就可以享受批发价，总价是元，已知按零售价购买根跳绳与按批发价购买根跳绳付款相同，则班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据“按零售价购买根跳绳与按批发价购买根跳绳付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．
【详解】设班级共有x名学生，依据题意列方程有：
；
故选C．
【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
5．某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如下表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数（单位：分）
m
90
91
88
方差（单位：分2）
n
12.5
14.5
11

根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以（    ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平均数的大小，方差的大小比较得出答案．
【详解】成绩最好且发挥最稳定的学生说明平均数最大，且方差最小，
∴，
符合条件的只有B选项的
故选：B．
【点睛】本题考查平均数、方差，理解“平均数反应一组数据的平均水平，而方差则反应一组数据的离散程度，方差越小，该组数据越稳定”是正确判断的前提．
6．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证，再求出AB的长，最后根据弧长公式求得．
【详解】解：，
，
是绕点A逆时针旋转得到，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
的长=，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的旋转变换，等腰三角形的性质，三角函数定义，弧长公式，正确运用三角函数定义求线段的长度是解本题的关键．
二、填空题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.）
7．不等式的解集为________．
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
【详解】解：
去分母，得x-3≥2，
移项，得x≥2+3，
合并同类项，系数化1，得，x≥5，
故答案为：x≥5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解一元一次不等式的方法步骤．
8．分解因式：_____．
【答案】
【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式，
故答案为：．
9．请写出命题“如果，那么”的逆命题：________．
【答案】如果，那么
【分析】根据逆命题的概念解答即可．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
10．若一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】2
【分析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值，
【详解】解：由题意可知：
，，
，
∴，
解得：．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键．
11．在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“0，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵k>0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
，
∴>．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．
12．为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为______．
【答案】
【分析】根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，画出树状图，如下∶

一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，
所以恰好选中甲和丙的概率为．
故答案为：
【点睛】利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
13．如图，在矩形中，若，则的长为_______．

【答案】1
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形中， ，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
14．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______．

【答案】
【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解．
【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图

是OB的中点
, OA＝2，
＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移，




阴影部分的面积为



故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键．
15．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________．

【答案】
【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长．
【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，
∵OE=3，OA=4，
∴根据勾股定理得，
∵AE=BE，
∴，
在Rt△AOB中，
即菱形的边长为，
∵点F为的中点，点O为DB中点，
∴ ．
故答案为
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．
16．如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为_________m．（结果取整数，）

【答案】17
【分析】如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BD，即∠CDO=∠ABO=90°．由光的反射原理可知∠COD=∠AOB=60°，这样可以得到△COD∽△AOB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
【详解】解：由题意知∠COD=∠AOB=60°，∠CDE=∠ABE=90°，
∵CD=1.7m，
∴OD=≈1(m)，
∴OB=11-1=10(m)，
∴△COD∽△AOB．
∴，即，
∴AB=17(m)，
答：旗杆AB的高度约为17m．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．
17．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______．

【答案】16
【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积．
【详解】解：设小正方形的边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．
18．如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=30°，点F是CD边上一点，将纸片沿BF折叠，点C落在E点，使直线BE经过点D，若BF=CF=8，则AD的长为_________.

【答案】
【分析】利用等边对等角可以得到∠FBC=∠C=30°，再利用折叠的性质可以得到∠EBF=∠CBF=30°，从而可以求得∠BDF的度数，即可以求得线段BD，然后在直角三角形ABD中求解即可.
【详解】∵BF=CF=8，
∴∠FBC=∠C=30°，
∵折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，
∴∠EBF=∠CBF=30°，
∴∠EBC=60°，
∴∠BDF=90°
∵∠EBC=60°
∴∠ADB=60°，
∵BF=CF=8．
∴BD=BF•sin60°=
∴在Rt△BAD中，AD=BD×sin30°=．
三、解答题（本大题共7题，19~22小题各10分，23、24题各12分，25题14分）
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】由分式的加减乘除运算法则进行化简，然后求出a的值，再代入计算，即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=；
∵，
把代入，得
原式=．
【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．
20．某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图．

(1)分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
(2)若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．
【答案】(1)甲
(2)乙
【分析】（1）根据条形统计图数据求解即可；
（2）根据“能力”、“学历”、“经验”所占比进行加权再求总分即可．
【详解】（1）解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23；
乙三项成绩之和为：8+9+5=22；
∴23>22
录取规则是分高者录取，所以会录用甲．
（2）“能力”所占比例为：；
“学历”所占比例为：；
“经验”所占比例为：；
∴“能力”、“学历”、“经验”的比为3：2：1；
甲三项成绩加权平均为：；
乙三项成绩加权平均为：；
∴8>7
所以会录用乙．
∴会改变录用结果
【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，根据图表信息进行求解是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，AB=AC=10，，圆O经过点B、C，圆心O在△ABC的内部，且到点A的距离为2，求圆O的半径．

【答案】
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D，连接BO，由可得，即可求得BD、AD的长，在根据垂径定理求得BC的长，从而得到OD的长，最后根据勾股定理求解即可.
【详解】过点A作AD⊥BC，垂足为点D，连接BO

∵
∴
在Rt△ABD中，

∵AB=AC=10，AD⊥BC   
∴BC=2BD=16
∵AD垂直平分BC   
∴圆心O在直线AD上
∴OD=6-2=4
在Rt△OBD中，
∴圆O的半径为.
22．今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
【答案】(1)去年每吨土豆的平均价格是2200元
(2)应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元

【分析】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+200）元，第二次采购的平均价格为（x-200）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的土豆枣数，根据所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．
【详解】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，
由题意得， ，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；
（2）由（1）得，今年的土豆数为：(吨)，
设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375－m）吨加工成淀粉，
由题意得，，
解得：，   
总利润为：，     
当时，利润最大，最大利润为：（元）．
答：应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元．
【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
23．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，∠BAE=∠DAF．

（1）求证：BE=DF；
（2）联结AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM= OA，联结EM、FM．求证：四边形AEMF是菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）、根据正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠D=90°，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF；（2）、求出CE=CF，然后利用“边边边”证明△AEC和△AFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAC=∠FAC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EM=FM，再判断出EF垂直平分AM，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=EM，然后根据四条边都相等的四边形是菱形证明．
【详解】证明（1）、在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF；
（2）、∵BC=CD，BE=DF，
∴BC﹣BE=CD﹣CF，  即CE=CF，
在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC（SSS），
∴∠EAC=∠FAC，
又∵AE=AF，  
∴AC垂直平分EF，  
∴EM=FM，  
∵OM=OA，  
∴EF垂直平分AM，
∴AE=EM，  
∴AE=EM=FM=AF，  
∴四边形AEMF是菱形．
24．已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为x轴上一点，AC=1，且OC＜OA．抛物线经过点A、B、C．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点D的坐标为（-3，0），点P为线段AB上一点，当锐角∠PDO的正切值为时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上的一点E在x轴下方，当△ADE的面积等于四边形APCE的面积时，求点E的坐标．
【答案】（1）；（2）P（1，2）；（3）
【分析】（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，再求出点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据点D的坐标求出OD的长，再根据∠PDO的正切值求出PD与y轴的交点F的坐标，然后利用待定系数法求出直线PD的解析式，再与直线y=-2x+4联立求解即可得到点P的坐标；
（3）设点E到x轴的距离为h，根据点A、C、D的坐标求出AC、AD的长，然后根据三角形的面积公式列式计算求出h，从而得到点E的纵坐标，再代入抛物线解析式求出点E的横坐标，即可得解．
【详解】（1）令y=0，则-2x+4=0，
解得x=2，
令x=0，则y=4，
所以，点A（2，0），B（0，4），
∵AC=1，且OC＜OA，
∴点C的坐标为（1，0），
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A、B、C，
∴，
解得，
∴该抛物线的表达式为y=2x2-6x+4；
（2）∵D的坐标为（-3，0），
∴OD=3，
设PD与y轴的交点为F，

∵∠PDO的正切值是，
∴OF=•OD=×3=，
∴点F的坐标为（0，），
设直线PD的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
则，
解得，
所以，直线PD的解析式为y=x+，
联立，
解得，
∴点P的坐标为（1，2）；
（3）设点E到x轴的距离为h，
∵A（2，0），C（1，0），D（-3，0），
∴AC=1，AD=2-（-3）=5，
∵△ADE的面积等于四边形APCE的面积，
∴ ×5h=×1h+×1×2，
解得h=，
∵点E在x轴的下方，
∴点E的纵坐标为-，
∴2x2-6x+4=-，
整理得，4x2-12x+9=0，
解得x=，
∴点E的坐标为（，-）．
25．如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于点A、B的一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA于点E，联结DE，过O点作OF⊥DE于点F，点M为线段OD上一动点，联结MF，过点F作NF⊥MF，交OA于点N．
（1）当时，求的值；
（2）设OM=x，ON=y，当时，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）在（2）的条件下，联结CF，当△ECF与△OFN相似时，求OD的长．

【答案】（1）；（2）；（3）或.
【分析】（1）由△MFO∽△NFE和，根据相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义， 即可求得结果.
（2）由△MFO∽△NFE和△ODF∽△EOF可得，即，从而根据勾股定理可得出，即.
（3）分或两种情况讨论即可.
【详解】（1）由题意，得：∠MOF+∠FOE=90°，∠FEN+∠FOE="90°" ，
∴∠MOF=∠FEN ．
由题意，得：∠MFO+∠OFN=90°，∠EFN+∠OFN="90°" ，
∴∠MFO=∠NFE.
∴△MFO∽△NFE．
∴.
由∠FEN=∠MOF可得：，
∴,
∴．
（2）∵△MFO∽△NFE ,
∴.
又易证得：△ODF∽△EOF ，
∴．
∴，
∴．
如图，连接MN，则.
由题意，得四边形ODCE为矩形，∴DE=OC=4 .
∴MN=2.
在Rt△MON中，,即.
∴y关于x 的函数解析式为．

（3）由题意，可得： OE=2y，CE=OD=2x.
∴由题意，可得：，
∴.
∵又，
∴，
∴.
由题意，可得：∠NOF=∠FEC ，
∴由△ECF与△OFN相似，可得：或.
当时，，
∴.
又，
∴，解得：（舍去）.
∴.
②当时，，
∴，
又，
∴，
∴解得：（舍去）
∴.
综上所述，OD=或.