必刷卷02——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（江苏苏州专用）

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2023年中考数学考前信息必刷卷02（苏州专用）

2023年苏州中考数学试卷结构和内容延续去年，2023年数学试卷共27题：8（选择题）+8（填空题）+11，根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，会降低二次函数难度，大概率会改为动态几何+函数，动点可能会增加分值；在试卷难度方面，不会有太大变化。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，预测：
第16题将会重点考查矩形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆的性质，熟练掌握切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆的性质是解题的关键．；第26题根据相似三角形的性质建立与的函数关系式是解题的关键．
第27题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键．
另外，在平时学习中要特别关注基础性（一般试卷的前5-6题直接考查基础知识，容易拿分）、综合性（选填以及解答的压轴题）、应用型和创新性（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
（满分：130分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．与最接近的整数是（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】估算出的范围，即可得出与最接近的整数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵和中比较接近的是，
∴比较接近4，即更接近．
故选：C
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算出的取值范围是解题关键．
2．2022年3月25日，我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的“华龙一号”示范工程全面建成投运，每年减少二氧化碳排放约1632万吨．用科学记数法表示1632万是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：1632万=1.632×107．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根的性质、同底数幂除法、合并同类项法则及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．
【详解】A.，故该选项计算错误，不符合题意，
B.，故该选项计算错误，不符合题意，
C.+=，故该选项计算错误，不符合题意，
D.，故该选项计算正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根的性质、同底数幂除法、合并同类项法则及幂的乘方法则，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．4
【答案】B
【分析】将已知等式变形为x-y2=，再代入到原式=1-（x-y2）计算可得．
【详解】∵2x﹣3y2＝3，
∴x﹣y2＝，
则原式＝1﹣（x﹣y2）
＝1﹣
＝﹣，
故选：B．
【点睛】此题考查代数式的求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用．
5．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先作出正六边形的外接圆，根据正多边形的性质，得出阴影部分是正六边形，即将问题转化为阴影部分的面积与大正六边形的面积比，再表示出阴影部分面积和大正六边形的面积，一比即可求得概率．
【详解】作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为O，如图，
设正六边形ABCDEF的边长为2，AC与BF,BD的交点为H,N,
过点O作OM⊥AB于点M，则 ,

则为等边三角形，
∴S正六边形ABCDEF=6,
∴,
∴,
,
∴S正六边形ABCD=6,
由题可知阴影部分为正六边形，所以
,
∴,
∴ 为等腰三角形，
∴,
∴,
同理可得为等腰三角形，
∴, ,
∴ 为等边三角形，
∴
∴ ,
在Rt△AMH中， ,
,
解得,
∴,
∴S,
∴S阴影==,
∴S阴影：S正六边形ABCDEF= ,
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形与圆，垂径定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，等边三角形的判定与性质，三角函数，概率，解题关键在于熟练相关知识点．
6．如图，矩形纸片，，先沿对角线将矩形纸片剪开，再将三角形纸片沿着对角线向下适当平移，得到三角形纸片，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设最大圆圆心为O，与AD切点为M，与CD切点N，连接OM、ON，可得正方形OMDN，再利用OM∥CD得到线段比计算即可．
【详解】设最大圆半径为r，圆心为O，与AD切点为M，与CD切点N，连接OM、ON，如图：

∴OM=ON，且OM⊥AD，ON⊥CD
∵∠D=90°
∴四边形OMDN是正方形，
∴
∵矩形纸片，
∴
∴
∵OM∥CD
∴
∴
解得
故选：A．
【点睛】本题考查切线的性质、相似三角形的性质与判定，解题的关键是确定最大圆与两个直角三角形的四条直角边都相切．
7．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（   ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】先用k表示x，然后根据x为正数列出不等式，即可求出答案.
【详解】解：，
，
，
该分式方程有解，
，
，
，
，
，
且，
故选．
【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
8．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，可得DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，由锐角三角函数可求BD＝a，CE＝a，由面积公式可求a的值，即可求解．
【详解】解：如图，连接CE，延长EA交BC于F，

∵AB＝2AC，
设AC＝a，则AB＝2a，
∴BC＝＝a，
∵将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，
∴DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ADB＝∠ADE，
∴∠DEA＝∠DFA，
∴DF＝DE＝a，
又∵∠DAE＝90°，
∴AF＝AE＝a＝AC，
∴∠ECF＝90°，
∵sin∠ACB＝sin∠CFE＝＝，
∴＝，
∴CE＝a，
∵tan∠ACB＝tan∠CFE＝＝2，
∴CF＝a，
∴CD＝DF﹣CF＝a，
∴BD＝BC+DC＝a，
∴△BDE的面积＝×a×a＝×a×a×＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用参数解决问题是本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．已知关于x、y的方程组，则代数式32x•9y＝___．
【答案】.
【分析】将两方程相加可得2x+2y＝﹣2，然后将所求代数式进行变形，然后整体代入计算.
【详解】解：将两方程相加可得2x+2y＝﹣2，
则32x•9y＝32x•32y
＝32x+2y
＝3﹣2
＝，
故答案为．
【点睛】本题考查二元一次方程组和幂的相关运算，运用整体思想是解题关键.
10．若，则________．
【答案】1
【分析】将化简为含有a﹣b的代数式，然后整体代入即可求出所求的结果．
【详解】解：∵a﹣b＝1，
∴
＝
＝a+b﹣2b
＝a﹣b
＝1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，从多项式中整理成已知条件的形式，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
11．已知：，，则代数式的值_______．
【答案】8．
【分析】先化简代数式，再整体代入求值即可．
【详解】解：，
=，
=；
∵，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行化简，然后整体代入求值．
12．如图，射线、互相垂直，，点位于射线的上方，且在线段的垂直平分线上，连接，．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离______．

【答案】
【分析】添加辅助线，连接，过点作交ON与点P．根据旋转的性质，得到，在和中，，根据三角函数和已知线段的长度求出点到射线的距离．
【详解】如图所示，连接，过点作交ON与点P．

∵线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段
∴，
∴
即
∵点在线段的垂直平分线上
∴，

∵
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
13．如图，M，N是的边上的两个点（），，，．若边上有且只有1个点P，满足是等腰三角形，则a的取值范围是___________．

【答案】
【分析】过点作于点，根据题意得出，根据勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图所示，

过点作于点，
∵，
∵，则是等腰直角三角形，
∴
依题意边上有且只有1个点P，满足是等腰三角形，
则，
∴,
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴，y轴分别交于点D，点E，点F为直线y=x+6上一点，横坐标为-4．把直线DE绕F点顺时针旋转，与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于点A，点C，若S△ADF=S△FEC，则直线AC的解析式为______．

【答案】y=x+3
【分析】由S△ADF=S△FEC，推出S△ADF+ S四边形CODF =S△FEC+ S四边形CODF，即S△AOC=S△EOD，设直线AC的解析式为y=kx+b，根据题意得出b2-9b+18=0，继续计算即可求解．
【详解】解：令x=0，则y=6，令y=0，则x=-6，
∴点D(-6，0)，点E(0，6)，
∴OD=OE=6，
∵点F为直线y=x+6上一点，横坐标为-4，
∴y=-4+6=2，
∴点F(-4，2)，
∵S△ADF=S△FEC，
∴S△ADF+ S四边形CODF =S△FEC+ S四边形CODF，
∴S△AOC=S△EOD，
设直线AC的解析式为y=kx+b，　
则点A(-，0)，点E(0，b)，
∴OA=，OC=b，
根据题意得：，，
整理得：b2-9b+18=0，
解得：b=6(舍去)或b=3，
当b=3时，k=，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
故答案为：y=x+3．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题的关键是利用三角形的面积公式结合S△ADF=S△FEC，找出关于b的一元二次方程．
15．如图，在矩形中，，．①以点为圆心，以不大于长为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，则长为______．

【答案】
【分析】由作图步骤可知AG是的角平分线，MN是CQ的垂直平分线，则BQ=AB=1，利用勾股定理可得AQ=QG=，因为AD∥BQ，所以，则，即，解得OQ=，所以OG=OQ+QG=．
【详解】由题意可知：AG是的角平分线，MN是CQ的垂直平分线，
=45°，
BQ=AB=1，
在中，，
AD∥BQ，

，即，解得OQ=，
OG=OQ+QG=．
【点睛】本题主要考查了角平分线、垂直平分线的作图方法，相似三角形判定，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线、垂直平分线的作图方法以及找准相似三角形进行线段计算．
16．如图，在矩形中，，以点C为圆心作与直线相切，点P是上一个动点，连接交于点T，则的最大值是_____．

【答案】3
【分析】过点A作于F，过点P作于E，证明，得到，结合，只需确定的最大值即可．
【详解】解：如图，过点A作于F，
∵矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设与直线相切于点G，连接，则，
∵，
∴，
∴的半径为 ，过点P作于E，
∵，
∴，
∴，
∴，

∴，
∴要最大，则最大，
∵点P是上的动点，是的切线，
∴最大为的直径，即：，
∴最大值为，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆的性质，熟练掌握切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆的性质是解题的关键．

三、解答题（本大题共11小题，共82分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）小王上周五在股市以收盘价每股元买进某公司的股票股，在接下来的一周交易日内，他记下该股票每日收盘价比前一天的涨跌情况(单位:元):
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌






（1）星期二收盘时，该股票每股多少元?
（2）本周内，该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少?
（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的的交易费，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何?
【答案】（1）星期二收盘时，该股票每股26.5元;（2）本周内，该股票收盘时的最高价是28元，最低价是26.2元;（3）小王赚了1922元.
【分析】（1）由题意可知：星期一比上周的星期五涨了2元，星期二比星期一跌了0.5元，则星期二收盘价表示为25+2-0.5，然后计算；
（2）分别求出每天的收盘价格，比较即可得答案；
（3）分别求出买入股票与卖出股票时的金额，用卖出金额减去买入金额即可得答案.
【详解】（1）星期二收盘价为25+2-0.5=26.5（元/股）．
（2）星期一每股是25+2=27（元）；
星期二每股27-0.5=26.5（元）；
星期三每股26.5+1.5=28（元）；
星期四每股28-1.8=26.2（元）；
星期五每股26.2+0.8=27（元）            
经过比较可知最高价是28元，最低价是26.2元.
（3）由（2）可知星期五收盘时每股是27元，
则卖出时赚了27×1000×（1-0.15%）=26959.5（元），
买入时花了25×1000×（1+0.15%）=25037.5（元），
所以赚了26959.5-25037.5=1922（元）
答：（1）星期二收盘时，该股票每股26.5元;
（2）本周内，该股票收盘时的最高价是28元，最低价是26.2元;
（3）小王赚了1922元.
【点睛】本题考查的是有理数在解决实际生活问题的应用和有理数的混合运算能力，理解题意，从表格中找出解题时所需的有效信息，把实际问题转换成数学问题是解题关键.
18．（5分）解分式方程：．
【答案】x＝－4.
【分析】首先去分母，化为整式方程，然后合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验求得的结果是否使原分式有意义，即可得到答案．
【详解】去分母得2x2－8＝x2－2x，
移项、整理得x2＋2x－8＝0，
解得：x1＝2，x2＝－4．
经检验：x＝2是增根，舍去；x＝－4是原方程的根．
∴原方程的根是x＝－4．
【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法；注意解分式方程要检验，避免产生增根．
19．（6分）化简求值：已知，求代数式的值．
【答案】9a2+2b2-2，-1
【分析】先运用多项式除以单项式法则，不方差公式计算，再去括号，合并同类项即可化简，再把式子变形为，整代入计算即可；
【详解】解：
=3b2-2-(b2-9a2)
=3b2-2-b2+9a2
=9a2+2b2-2，
∵，
∴，
∴原式=1-2=-1；
【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整运算法则是解题的关键．
20．（6分）某校校园主持人大赛结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图（图1）和频数直方图（图2），部分信息如下：

(1)在扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为______，并请补全频数直方图；
(2)赛前规定，将成绩由高到低排列，排在前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，判断他能否获奖，并说明理由；
(3)成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该文艺晚会的主持人，求恰好选中1名男生和1名女生为主持人的概率．
【答案】(1)36%；补全频数直方图见解析
(2)能获奖，理由见解析
(3)

【分析】（1）用“89.5～99.5”的人数和除以它们所占的百分比得到调查的总人数，再计算出“59.5～69.5”这两组所占的百分比，然后计算出“79.5～89.5”所占的百分比；根据“69.5～79.5”所占的百分比可求得“69.5～74.5”的人数，根据“79.5～89.5”所占的百分比可求得“79.5～84.5”的人数，从而补全统计图；
（2）计算出前40%有20人，恰好落在“84.5～99.5”这一范围，从而可判断他能获奖；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
(1)
∵“89.5～99.5”的人数和它们所占的百分比分别是：(8+4)人和24%，
∴总人数为：(人)，
∵“59.5～69.5”的人数是5人，
∴所占百分比是：，
∴“79.5～89.5”所占的百分比是：1-24%-10%-30%=36%，
故答案为： 36%；
∵“69.5～79.5”的人数是：5030%=15(人)，
∴“69.5～74.5”的人数是：15-8=7(人)，
∵“79.5～89.5”的人数是：5036%=18(人)，
∴“79.5～84.5”的人数是：18-8=10(人)，
补全频数直方图，如下所示：

(2)
能获奖．理由：
∵本次参赛选手共50人，
∴前40%的人数为（人），
由频数直方图可得84.5～99.5这一范围人数恰好人，
又88在84.5～99.5这一范围，所以能获奖；
(3)
画树状图为：

由树状图可知共有12种等可能的结果，恰好选中一男一女为主持人的结果有8种，
∴P（一男一女为主持人）．
答：恰好选中一男一女为主持人的概率为．
【点睛】本题考查了频数直方图和扇形统计图的综合运用以及树状图法求概率，解决问题的关键是熟练掌握频数直方图和扇形统计图的定义和计算方法，画树状图利用概率公式计算恰好选中一男一女为主持人的概率．
21．（6分）如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且．

(1)求证：为的切线；
(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）方法一：如图1，连接OC，OD．由，，可得，由是的直径，D是的中点，，进而可得，即可证明CF为的切线；
方法二：如图2，连接OC，BC．设．同方法一证明，即可证明CF为的切线；
（2）方法一：如图3，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在Rt△OCF中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得；
方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．，D是的中点，可得，根据勾股定理即可求得．
【详解】（1）（1）方法一：如图1，连接OC，OD．
∵，
∴．
∵，
∴．  
∵，
∴．
∵是的直径，D是的中点，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∴CF为的切线．

方法二：如图2，连接OC，BC．设．
∵AB是的直径，D是的中点，
∴．
∴．
∵，
∴．  
∴．
∵，
∴．
∴．
∵AB是的直径，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∴CF为的切线．

（2）解：方法一：如图3，过G作，垂足为H．
设的半径为r，则．
在Rt△OCF中，，
解之得．
∵，
∴．  
∵，
∴．
∴．

∴．
∵G为BD中点，
∴．
∴，．
∴．
∴．

方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．
∵AB是的直径，
∴．
∵，D是的中点，
∴．
∵G为BD中点，
∴．
∴．

【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
22．（8分）本学期初，某校为迎接4月23日的“世界读书日”，开展了主题读书活动．校德育处对本校七年级学生二月份的读书数量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书数量（单位：本）进行了统计，如图所示：

根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图；
（2）求本次所抽取学生二月份读书数量的平均数；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，二月份读书数量为5本的学生人数．
【答案】（1）补全图形见解析；（2）3；（3）120人
【分析】（1）先求出总人数，再减去读1本，2本，3本，5本的人数，得到读4本的人数，再利用读3本的人数除以总人数即可．
（2）根据加权平均数的定义即可解答
（3）根据样本中七年级每月阅读数量为5本的占比乘以总人数即可求解.
【详解】解：（1）总人数等于人
则读4本的人数为人
∵读3本的人数为21人
∴读3本的占比=

（2）有题意可得：
本次所抽取学生二月份读书数量的平均数本
（3）∵样本中阅读数量为5本的占比为10%
∴该校七年级学生中，二月份读书数量为5本的学生人数=人
答：该校七年级学生中，二月份读书数量为5本的学生人数为120人.
【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，加权平均数和用样本估计总体，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23．（8分）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，点是反比例函数图像上的一动点．过点作轴，垂足为，交直线于点．

(1)求与的值；
(2)若的面积是2，求此时点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或

【分析】（1）先把点A坐标代入正比例函数解析式求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可得到答案；
（2）设，则，则，再分如图1所示，当点P在点G上方时，如图2所示，当点P在点G下方时，求出对应的，并据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把点代入到中得：，
∴，
把代入到中得：，
∴；
（2）解：由（1）得反比例函数解析式为，
设，则，
∴，
∵是反比例函数图像上的一动点．，
∴，
如图1所示，当点P在点G上方时，
∵的面积是2，
∴，
∴，
解得（负值舍），
∴；

如图2所示，当点P在点G下方时，则，
∴，
∴，
；
综上所述，点P的坐标为或．

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数比例系数的几何意义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
24．（8分）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低元．
（1）填表：（不需化简）

（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【答案】解：（1），， ；（2）70元．
【详解】解：（1）由题意得80-x；200+10x；800-200-（200+10x）；
（2）根据题意，得
80×200+（80-x）（200+10x）+40[800-200-（200+10x）] -50×800=9000．
整理，得x2-20x+100=0，解这个方程得x1= x2=10，
当x=10时，80-x=70＞50．
答：第二个月的单价应是70元．
25．（10分）如图(甲)，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．
(1)求证:；
(2)在如图(甲)中，若在上，且，则成立吗？
证明你的结论．(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题:
如图(乙)四边形中，∥(＞)，，,点是上一点，且，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）5
【分析】（1）因为ABCD为正方形，所以CB=CD，∠B=∠CDA=90°，又因为DF=BE，则△BCE≌△DCF，即可求证CE=CF；
（2）因为∠BCD=90°，∠GCE=45°，则有∠BCE+∠GCD=45°，又因为△BCE≌△DCF，所以∠ECG=∠FCG，CE=CF，CG=CG，则△ECG≌△FCG，故GE=BE+GD成立；
（3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长.
【详解】解：（1）在正方形ABCD中 CB=CD，∠B=∠CDA=90°，
∴∠CDF=∠B=90°．
在△BCE和△DCF中，

∴△BCE≌△DCF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．理由如下：
∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°．
∵△BCE≌△DCF（已证），
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．
∴∠ECG=∠FCG=45°．
在△ECG和△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=FG．
∵FG=GD+DF，
∴GE=BE+GD．
（3）①如图2，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，

由（2）和题设知：DE=DG+BE，
设DG=x，则AD=6-x，DE=x+3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，
∴（6-x）2+32=（x+3）2，
解得x=2．
∴DE=2+3=5.
【点睛】此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的判定和全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．
26．（10分）如图，在矩形中，，，是上一点，．是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为．

(1)若，，则的值是__________．
(2)若时，求的最大值．
(3)在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，求此时的值．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）先证明，由相似三角形的性质得到，再与的值代入得到关于的方程，求解即可；
（2）由（1）知：，当时，可得到，再利用二次函数的最值求解即可；
（3）根据题意可得的最大值是，再由（1）知：，根据二次函数的最值可得，当时，的最大值是，从而得到关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，设的长为，的长为，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
故答案为：．
（2）由（1）知：，
当时，，
∵，
∴当时，有最大值，的最大值是．
∴的最大值是．
（3）∵在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，
∴的最大值是，
由（1）知：，
当时，即，有最大值，
当时，的最大值是，
∴，
∴．
∴此时的值为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，二次函数的最值．根据相似三角形的性质建立与的函数关系式是解题的关键．
27．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A在x轴正半轴上，且满足BC=BA，

(1)求抛物线的解析式：
(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
(3)如图②所示，在抛物线上一点D（在对称轴AC的右侧），有∠ACD=30°，求出D点的坐标：并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD=60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，存在，或

【分析】(1)由题意可设抛物线解析式为y=a(x−3)2+6，将B(0,3)代入可得a，则可求解析式；
(2)连接PO，设，分别求出，，，再由及二次函数的性质，即可求得最大值；
(3)设点D的坐标为，过D作对称轴的垂线，垂足为G，可求得DG、CG，在Rt△CGD中，根据勾股定理可求得CG，可得方程，解方程可得点D的坐标，可求得AG、GD，连接AD，在Rt△ADG中，AD=AC=6，∠CAD=120°，可知点Q在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点上，此时，∠CQD=60°，设Q(0,m)，AQ为圆A的半径，AQ2=OA2+QO2=9+m2=36，解方程求出m的值，即可求得点Q的坐标．
【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为C(3,6)，
故可设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+6，
将B(03)代入，可得，
故；
（2）解：如图：连接PO，

由题意可知，BO=3，BC=BA，
由勾股定理得：，
∴OA=3，
设，
则，
，
，



，
当时，的面积最大，最大为；
（3）解：存在；
设D点坐标为，
过点D作对称轴的垂线，垂足为G，
则DG=t-3，，
，
，
在中，，
，
解得，t=3(舍去)，
，
，，
连接AD，在中，，

，，
点Q在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点上，
此时，，
设Q(0,m)，AQ为圆A的半径，
，
，
，
解得或
综上，Q点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键．