必刷卷03——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（江苏南京专用）

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2023年中考数学考前信息必刷卷03
数 学（江苏南京专用）

2023年南京中考数学试卷结构和内容基本没变！2023年数学试卷满分120分，共27题：6（选择题）+10（填空题）+11（解答题），根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，体现数学课程标准对数学教学要求，对课标内知识的考查覆盖较为全面。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的运算及化简求值，方程不等式组的概念在选择题和填空中的比重较大，在综合题的考察方面，题型较为全面，知识点覆盖面广，主要包括方程不等式的解法、代数式的化简求值、几何的证明与计算，统计中数据的收集和处理、概率的计算，解三角形、列方程解应用题，尺规作图以及函数的考查等。最后的压轴题多为动手操作型，创新性明显。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度.同时应加强学生的作图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力. 选择题前3道涉及有理数的运算、平方根概念理解和同底数幂的乘法；第4题考查了众数和中位数的求法；第5题考查了一元二次方程根与系数的关系；第6题较难，考查了含30°角的直角三角形以及相似三角形判定与性质的综合；填空题的前4道题主要涉及求一个数的绝对值、因式分解、分式和二次根式有意义的条件以及科学记数法，第11-13题主要考查了解分式方程、加减消元法解二元一次方程组和反比例函数的性质；第14-15题主要考查了多边形内角和问题、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题；填空题第16题主要考查了矩形的性质与判定、垂径定理的推论以及锐角三角函数；解答题第17-18是基本计算，主要涉及解不等式组以及代数式的化简求值，第19题考查了全等三角形的综合以及平行四边形的判定；第20题考查了反比例函数和二次函数解析式的求解和以及图形与性质；第21-22题考查条形统计图和扇形统计图以及列表法、树状图法求概率；第23题考查了解三角形的有关应用；第24题考查了尺规作图和圆的综合。第25题主要考查了一次函数的实际应用；第26题主要考查了二次函数的解析式、折叠问题、解三角形以及相似三角形的判定与性质综合；第27题主要考查了以几何图形的操作为背景的实践探究，注重提升学生的动手能力和探究能力．

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.）
1．计算的结果等于（    ）
A．1 B． C． D．6
【答案】C
【分析】利用有理数的乘法法则，进行计算即可．
【详解】解：；
故选C．
【点睛】本题考查有理数的乘法．熟练掌握有理数的乘法法则，是解题的关键．
2．是4的（    ）
A．平方根 B．相反数 C．绝对值 D．倒数
【答案】A
【分析】根据平方根的定义即可解答．
【详解】解：根据平方根的定义可得4的平方根为．
故选A．
【点睛】本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根与算术平方根的区别是解答本题的关键．
3．计算的结果是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算求解即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法．解题的关键在于正确的运算．
4．某中学随机抽取了该校53名学生，他们的年龄如表所示：这53名学生年龄的众数和中位数分别是（　　）
年龄（单位：岁）
12
13
14
15
人数
12
14
18
9
A．13岁、14岁 B．14岁，14岁 C．14岁，13岁 D．14岁，15岁
【答案】B
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】解：这53名学生年龄中14岁的学生人数最多，故众数是14岁；
把这53名学生年龄从小到大排列，排在最中间的数是14岁，故中位数为14岁．
故选：B．
【点睛】本题考查了众数，中位数的概念．掌握这些基本概念是解题关键．
5．设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ）
A．1 B． C．2023 D．
【答案】B
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵a，b是方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
6．如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以 为斜边作，使，，连接．则面积的最大值（  ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过作，交的延长线于，易证得及，得到，，从而求得，，由面积公式求得，即可求解．
【详解】解：过作，交的延长线于，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，




，
即面积的最大值为，
故选：B．

【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的应用，解直角三角形；解题的关键是熟练掌握相似三角形的证明和性质．
二、填空题：（本大题共10个小题，每小题2分，共20分.）
7．的绝对值是 _____．
【答案】43
【分析】根据绝对值的定义求解即可．
【详解】∵，
∴的绝对值是43．
故答案为：43．
【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
8．因式分解：______．
【答案】
【分析】先提取公因式m，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
9．代数式有意义，则的取值范围是 ______ ．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件是解题的关键．
10．“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为______．
【答案】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数,且比原来的整数位数少1，据此即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值．
11．分式方程的解为______________．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
【详解】解：
方程两边同时乘以，得
即
解得：，
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
12．关于的方程组，则的值等于______．
【答案】5
【分析】根据加减消元法即可求解．
【详解】解：，
得，
，
∴，
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
13．若点都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的范围是_______________．
【答案】
【分析】由的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】由反比例函数（是常数）可知图象位于一、三象限，每一象限内y随x的增大而减小．
∵点都在反比例函数（是常数）的图象上，且，
∴点不在同一象限，
∴点第一象限，点在第三象限．
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
14．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角100°，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于_______度．

【答案】80
【分析】证明∠ABE+∠ADE=180°，推出∠BAD+∠BED=180°即可解决问题．
【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转角100°，得到△ADE，
∴△ABC≌△ADE，∠BAD=100°
∴∠ABC=∠ADE，
又∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ABE+∠ADE=180°，
∴∠BAD+∠BED=360°-（∠ABE+∠ADE）=180°，
∵∠BAD=100°，
∴∠BED=180°- 100°=80°．
故答案为：80．
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点，当时，的长是______ ．

【答案】/
【分析】勾股定理求得，等面积法求得，作于根据已知得出，，进而得出，证明，进而勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，作于．

在中，，，
，
，
，
，，
，

，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
16．如图，在矩形中，，为上一点，，以为圆心，为半径的弧交 于，交于，若为弧的中点，则_______，______．

【答案】
【分析】连接，，过点作于点，设，根据过圆心且平分弦所对的弧则垂直平分弦可得出，结合矩形的性质可得出，所以，求出，根据勾股定理求出，即，由垂径定理得出，证明四边形是矩形，从而有，利用锐角三角函数求出，最后在中利用正切的定义即可得解．
【详解】连接，，过点作于点，设，
∵以为圆心，为半径的弧交于，交于，若为弧的中点，
∴，，，
∴，，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，点为圆心，
∴，，
在四边形中，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
，，，
∴，
故答案为：；．
    

【点睛】本题考查垂径定理及推论，矩形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识点．掌握锐角三角函数的定义，垂径定理及推论是解题的关键．
三、解答题：（本大题共11个小题，共88分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）
17．（本题满分6分）解不等式组：．
【答案】
【分析】分别求解出每一个不等式的解集，再取二者的公共部分即可作答．
【详解】
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了求解不等式组的解集的知识，掌握相应的求解方法是解答本题的关键．
18．（本题满分6分）计算：．
【答案】
【分析】先将括号内式子通分，再将分式除法变形为分式乘法，最后约分化简即可．
【详解】解：原式
，
．
【点睛】本题考查分式加减乘除的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则．
19．（本题满分8分）如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点，，且，．求证：四边形是平行四边形．

【答案】见解析
【分析】根据已知条件得出，，证明，得出，即可得证．
【详解】证明：，
．
．
在与中，
．
．
．
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
20．（本题满分8分）已知反比例函数的图象与二次函数的图象相交于点．
(1)求和的值；
(2)判断反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点并说明理由．
【答案】(1)，
(2)不经过，理由见解析
【分析】（1）将点分别代入函数解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得二次函数图象的顶点坐标，即可求解．
【详解】（1）将点代入，得，
，
解得：，
∴反比例数解析式为，
将点代入，得
，
解得：，
∴；
（2），则抛物线的顶点坐标为，
∵反比例数解析式为，
当时，，
∴反比例函数的图象不经过二次函数图象的顶点．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，二次函数解析式，掌握反比例函数与二次函数图象与性质是解题的关键．
21．（本题满分8分）早在年已提出基础教育课程改革，简称“新课改”，到目前仍有一些学校没有进行课程改革，现在某市某镇进行调查，从该镇某校随机选取同年级的共名学生，平均放在甲、乙两校进行学习（甲校名，乙校名），甲校使用新课改下的教育方法学习，乙校仍使用老方法教育学生，经过一学期的学习，进行同一张试卷测试，根据学生的成绩把学生划分成A，B，C，D，E五个等级（甲、乙的等级划分标准相同，每组数据包括左端点不包括右端点）．画出统计图如下：

(1)补齐直方图，求a的值及相应扇形的圆心角度数；
(2)选择合适的统计量，比较甲乙两校的教学质量，并说明试验结果；
(3)请你结合甲乙两校的试验结果进行简要分析，如果你去上学，你会选择哪个学校？
【答案】(1)见解析，，
(2)见解析
(3)甲校
【分析】（1）由图中的数据，易求出B等级的人数为6名，，相应扇形的圆心角为：．
（2）进行样本比较，能估算总体，一般选择平均数或方差比较．
（3）思想积极，言之有理即可．
【详解】（1）（名）
即B等级的人数为6名．
，即，
相应扇形的圆心角为：．

（2），
，
，由样本估计总体的思想，说明通过新课改下的教育方法甲校的教学质量高于乙校教学质量．
（3）由（2）可知，通过新课改下的教育方法甲校的教学质量高于乙校教学质量，应选甲校．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数的求法，由样本估计总体的思想，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．（本题满分8分）有三枚普通硬币，其面值数字分别为1，1，2．现规定：掷一枚硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字为面值数字；若该硬币反面朝上，则所得的数字为0．
(1)若用其中一枚硬币，随机掷10次，其中正面朝上的次数为6次，则在这10次掷币中，该硬币正面朝上的频率为______；
(2)若依次掷出这三枚硬币，用画树状图的方法，求掷出这三枚硬币所得数字之和是2的概率．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据频率频数总数进行求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，该硬币正面朝上的频率为，
故答案为：
（2）解：画树状图如下：

由树状图可知一共有8种等可能性的结果数，其中掷出这三枚硬币所得数字之和是2的结果数有2种，
∴掷出这三枚硬币所得数字之和是2的概率为．
【点睛】本题主要考查了求频率，树状图法求解概率，正确画出树状图是解题的关键．
23．（本题满分8分）如图，某校数学兴趣小组需测量一古塔的高度．该古塔旁有一个小山坡，在山脚处C观测塔的顶端A的仰角为，已知米，（点B，C，D在同一直线上）.

(1)求古塔的高度；（结果保留根号）
(2)小明站在古塔的顶端A处观测山坡的顶端E的俯角为，该山坡的坡度，求山坡的高度．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数解直角即可；
（2）作交的延长线于点M，根据特殊角三角函数值可得，，再通过等量代换列出关于的一元一次方程，求出，进而可得山坡的高度．
【详解】（1）解：由题意知，，
在中，
，
即古塔的高度为；
（2）解：如图，作交的延长线于点M，

小明站在古塔的顶端A处观测山坡的顶端E的俯角为，
，
由题意得，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
即山坡的高度为．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．
24．（本题满分8分）如图，为的直径，为上的一点．

(1)过点作的切线，交的延长线于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，垂足为，，，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）以为圆心，小于的长为半径画弧，与直线有两个交点，再以这两个交点为圆心，大于这两点的长的一半为半径画弧，两弧的交点和点的连线所在的直线交的延长线于点；
（2）由垂径定理得，则为的中位线，得，由圆周角定理得，根据切线的性质得，推出，从而利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图，为所作；

（2）解：，
，
，
为的中位线，
，
为的直径，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
即的长为．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
25．（本题满分8分）为了学生的身体健康，学校新进了一批课桌椅，可以根据人的身高调节高度，配套课桌椅的高度都是按一定的关系科学设计的．桌椅的高度配套时，以每档的椅高的值为横坐标，桌高的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描点如图：

(1)你认为桌高y与椅高x满足什么函数关系？请你求出这个函数的关系式（不要求写出x的取值范围）.
(2)小明测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为，椅子的高度为，请你判断它们是否配套？如果配套，说明理由；如果不配套，请说明可以如何调整桌子或椅子的高度使得它们配套．
【答案】(1)是一次函数关系.
(2)不配套.将椅子的高度升高2cm才能配套.
【分析】（1）设,利用图中的数据，建立方程组，即可求解．
（2）令（1）中的或，求出函数值或自变量的值，再进行比较，作出判断即可．
【详解】（1）解：是一次函数关系.       
设函数表达式为.
把代入得：
，解得，
所以，函数表达式为．
（2）解：不配套.                     
理由如下：
方法1：把代入得，
所以，桌子和椅子的高度不配套.             
，将桌子的高度降低才能配套.      
方法2：把代入得，           
所以，桌子和椅子的高度不配套.
，将椅子的高度升高才能配套.
【点睛】此题考查一次函数的应用，难度中等，本题只需仔细分析题意，利用方程组即可求解．
26．（本题满分10分）一张矩形纸片（如图1），，．点E是边上的一个动点，将 沿直线折叠得到，延长交直线于点G，直线与直线交于点Q．
初步探究

(1)求证：是等腰三角形；
(2)设，当时，计算m的值；
深入探究
(3)将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图2所示），点B与点О重合，边、分别与x轴、y轴正半轴重合．点H在边上，将沿直线折叠得到．
①当经过的中点N时，求点P的坐标；
②在①的条件下，已知二次函数的图象经过A、D两点．若将直线右侧的抛物线沿对折，交y轴于点M，请求出的长度．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由题意易得，然后根据折叠的性质及平行线的性质可进行求证；
（2）过点F作，交于点K、L，由题意易证，则有，设，则有，然后利用勾股定理可建立方程求解；
（3）①过点P作，交x轴于点J，交于点T，由题意易得，则有，然后根据矩形的性质及等腰直角三角形的性质可求解；②设与抛物线的交点为，连接，根据折叠性质可知点M与点关于对称，由①及折叠的性质可知，则有，把点A、D的坐标代入求得二次函数解析式，过点作轴于点R，则，设点，然后根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：过点F作，交于点K、L，如图所示：

∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则有，
∴，
在中，由勾股定理得，
解得：（负根舍去），
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①过点P作，交x轴于点J，交于点T，如图所示：

在矩形中，，，
∴同理（2）可得，四边形是矩形，
∴，
∵经过的中点N时，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴也为等腰直角三角形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴；
②设与抛物线的交点为，连接，根据折叠性质可知点M与点关于对称，如图所示：

∴，
由可得点，代入二次函数得：
，
解得：，
∴，
由①可知，过点作轴于点R，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点，则，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、二次函数的综合、矩形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握折叠的性质、二次函数的综合、矩形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
27．（本题满分10分）旋转的思考．
【探索发现】
（1）已知，将绕点逆时针旋转得到．小美，小丽探索发现了下列结论．
小美的发现
如图①，连接对应点，，则．

小丽的发现
如图②，以为圆心，边上的高为半径作，则与相切．

（i）请证明小美所发现的结论．
（ii）如图②，小丽过点作，垂足为．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

【问题解决】
（2）在中，，是的中点，将绕点逆时针旋转得到．
（i）如图③，当边恰好经过点时，连接，则的长为__________．
（ii）在旋转过程中，若边所在直线恰好经过点，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线．（保留作图痕迹，不写作法）

【拓展研究】
（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线，交于点，则的最大值为__________．
【答案】（1）（i）见解析；（ii），；（2）（i）；（ii）见解析；（3）．
【分析】（1）（i）通过证明即可判定；（ii）利用切线的判定方法，结合题意上下文，即可求解；
（2）（i）连接BM，，作，利用相似三角形的性质，求解即可；（ii）连接BM，在BM的上方作，再以M为圆心，分别以BM，CM为半径画弧，即可求解；
（3）连接BM，，根据相似三角形的性质可以得到，确定P的运动轨迹，即可求解．
【详解】解：（1）（i）由旋转的性质可得：，，
∴
∴，
∴，
（ii）∵，
∴，
又∵，
∴（AAS）
∴，
又∵为半径，，
∴与相切，
故答案为：，；
（2）（i）连接BM，，作，如图，

由题意可得：，，
由勾股定理可得：，为等腰直角三角形，
由旋转的性质可得
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
（ii）由题意可得，当边所在直线恰好经过点时，可得，
由此可得，作图如下：

（3）连接BM，，如下图：

由（2）可得：，

以为斜边，向下作等腰直角三角形，并以O为圆心，以OB长为半径，作圆O，如图：

当P在BC的上方时，，当P在BC的下方时，
∴点P的轨迹为以O为圆心，以OB长为半径的圆，
所以当BP为直径时，BP最大，
由勾股定理可得，
则，
∴BP的最大值为
【点睛】此题考查了三角形旋转的综合应用，涉及了直角三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，圆切线的判定，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，解题的关键是综合利用相关性质进行求解．