必刷卷03——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（江苏苏州专用）

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2023年中考数学考前信息必刷卷03（苏州专用）

2023年苏州中考数学试卷结构和内容延续去年，2023年数学试卷共27题：8（选择题）+8（填空题）+11，根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，会降低二次函数难度，大概率会改为动态几何+函数，动点可能会增加分值；在试卷难度方面，不会有太大变化。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，预测：
第14题考查轴对称性质，矩形性质，平行四边形判定与性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，四点共线时最短，面积桥，掌握轴对称性质，矩形性质，平行四边形判定与性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，四点共线时最短，面积桥是解题关键
第27题本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
另外，在平时学习中要特别关注基础性（一般试卷的前5-6题直接考查基础知识，容易拿分）、综合性（选填以及解答的压轴题）、应用型和创新性（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
（满分：130分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根的性质、同底数幂除法、合并同类项法则及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．
【详解】A.，故该选项计算错误，不符合题意，
B.，故该选项计算错误，不符合题意，
C.+=，故该选项计算错误，不符合题意，
D.，故该选项计算正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根的性质、同底数幂除法、合并同类项法则及幂的乘方法则，熟练掌握运算法则是解题关键．
2．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.0000000076克，将数0.0000000076用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000000076．
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，解题关键是理解n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．若，则（    ）
A．0 B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据题意可得，再把原式变形为，再把代入可得到，再次把代入可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴






故选：C
【点睛】本题考查了降次思想及整体思想，本题的关键是将高次幂通过降次全部降到一次幂截止，然后再合并同类项即可求解．
4．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？（注：绳儿折即把绳平均分成几等分．）（ ）
A．36，8 B．28，6 C．28，8 D．13，3
【答案】A
【详解】试题分析：此题不变的是井深，用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
试题解析：设绳长x米、井深y米，依题意有

解得
答：绳长36米、井深8米．
故选A．
考点：二元一次方程组的应用．
5．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为(    )

A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】根据正六方形性质可得，阴影面积=空白部分面积,根据面积比求概率..
【详解】
如图，根据正六方形的性质可得，△AOC≅△ABC（SSS）,同理△EOC≅△EDC, △AFE≅△AOE,
所以，阴影面积=空白部分面积
所以，飞镖落在白色区域的概率为
故选B
【点睛】考核知识点：几何概率.算出面积比是关键.
6．二次函数y=x2﹣bx+b﹣2图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且0x11，2x23，则满足条件的B的取值范围是（    ）

A．b﹣1 B．1b2 C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可得，
，
解得，2＜b＜，
故选：C．
7．直线，在上任选一点，将一直角三角板直角顶点放在处，，当，此时的大小是（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过作，利用平行线的性质可求解，即可得，再根据平行线的判定与性质可求解的度数．
【详解】解：过作，则∠MGE=∠BEG，

，，
，
∴∠MGE=20°，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
8．如图，正方形边长为8，为中点，线段在边上从左向右以1个单位/秒的速度运动，，从点与点重合时开始计时，到点与点重合时停止，设运动时间为秒，连结，在运动过程中，下列4个结论：①当时，；②只有当时，以点构成的三角形与相似；③四边形的周长最小等于；④四边形的面积最大等于38．其中正确的有（     ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据“SAS”即可判断①；根据相似三角形的性质，列出比例式，即可判断②，用含t的代数式表示出EP+ BQ，结合两点间的距离公式以及对称性，即可求出EP+ BQ的最小值，进而即可判断③；用含t的代数式表示四边形的面积，结合，即可判断④．
【详解】解：由题意得：当时，CQ=8-3-1=4，AE=AD=×8=4，
∴AE=CQ，
∵在正方形中，∠A=∠C=90°，AB=CB，
∴，故①正确；
∵∠D=∠C=90°，
∴点构成的三角形与相似时，或，
∴或，解得：或无解，
∴②正确；
∵EP=，BQ=
∴EP+ BQ可以看作是点(t，0)到点(0，4)与点(5，8)的距离之和，
∴EP+ BQ的最小值=点(0，-4)与点(5，8)的距离=，
∴四边形的周长最小值=BE+PQ+13=+3+13=，
故③正确；
∵四边形的面积==
=，
又∵，
∴四边形的面积最大值=，
故④正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的性质以及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式以及相似三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．若是方程的一个根，则的值等于__．
【答案】5
【分析】根据a是方程的一个根，把a代入方程得到，代入式子结果为5．
【详解】∵a是方程的一个根，
，
即，
．
故答案为5．
【点睛】本题考查了方程的根的概念，解决问题的关键是熟练掌握方程根适合原方程．把a代入方程得到，代入待求式子，求出结果．
10．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．已知二次函数的图象上有两个“等值点”，则的取值范围为 ___________．
【答案】
【分析】由题意可得，横、纵坐标相等的点在函数的图象上，则二次函数与有两个交点，即有两个不相等的根，利用判根公式求解即可．
【详解】解：由题意可得，横、纵坐标相等的点在函数的图象上，
∴二次函数与有两个交点，即有两个不相等的根，
∴，
∴，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象，一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于根据题意构造一元二次方程．
11．已知关于x的分式方程的解不大于2，则m的取值范围是______．
【答案】m≤0，且m≠-3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解不大于2且最简公分母不为0，求出m的范围即可．
【详解】解：
去分母得：m+3=2x-1，
解得：x=，且2x-1≠0，即x≠ ，
根据题意得：≤2，且x≠
解得：m≤0，且m≠-3，
故答案为：m≤0，且m≠-3．
【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
12．如图，将沿斜边翻折得到，为斜边的中点，连接并延长使，连接，已知，，则______．

【答案】##
【分析】连接交于点，首先证明四边形是矩形，进而得出，，再根据“角角边”，得出，进而得出，即，，，然后设，则，根据勾股定理，列出方程，解出得到，再根据余弦的定义，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接交于点，

在四边形中，
∵为斜边的中点，，
∴四边形是平行四边形，
又∵沿斜边翻折得到，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵沿斜边翻折得到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，，，
设，则，
在中，
，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了翻折的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元一次方程、锐角三角函数，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
13．如图，二次函数与轴交于两点（点在点左边），与轴交于点，若点坐标为，以点为圆心，为半径作圆，为上一动点，当面积最小为5时，则______．

【答案】
【分析】过点D作DM⊥CA，交CA的延长线于点M，DM交于点P，由∠ACO=∠DCM，得，解得：DM=，进而即可求解．
【详解】过点D作DM⊥CA，交CA的延长线于点M，DM交于点P，此时面积最小，

∵二次函数与轴交于两点（点在点左边），与轴交于点，
∴A(-2，0)，C(0，-4)，即：OA=2，OC=4，AC=，
∵点坐标为，
∴OD=2，
∵∠ACO=∠DCM，
∴sin∠ACO=sin∠DCM，即：，
∴DM=CD×=6×=．
∵面积最小值为5，
∴，解得：R=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，添加辅助线，找出面积最小值为5时，点P的位置，是解题的关键．
14．如图，矩形中，，，在边上运动，、在对角线上运动，且，连接、，则的最小值为______．

【答案】
【分析】作点C关于BD的对称点C′，连结CC′，连结C′M，过E′作EF⊥BC于F，过E作EE′∥NM，过M作ME′∥NE，交点为E′，则四边形MNEE′为平行四边形，求出EE′=MN=，当C′、M、E′、F四点在同一直线时最短， 由勾股定理，由面积求CC′=，可证△BDC∽△C′CF，解得，可证△EFE′∽△BCD，求E′F=1即可 ．
【详解】解：作点C关于BD的对称点C′，连结CC′，连结C′M，过E′作EF⊥BC于F，过E作EE′∥NM，过M作ME′∥NE，交点为E′，
则四边形MNEE′为平行四边形，
∴EE′=MN=，
∴当C′、M、E′、F四点在同一直线时最短，此时C′F⊥BC，
CM+EN =C′F-E′F，
∵BC=4，CD=2，
由勾股定理，
∴，
∴，
∴CC′=，
∵CC′⊥BD，CF⊥BC，∠C′FC=∠DCB=90°，
∴∠C′+= ∠DBC+∠BCG=90°，
∴∠C′=∠DBC，
∴△BDC∽△C′CF，
∴即，
解得，
∵EE′∥BD，
∴∠E′EF=∠DBF，∠E′FE=∠DCB=90°，
∴△EFE′∽△BCD，
∴即，
∴E′F=1，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题考查轴对称性质，矩形性质，平行四边形判定与性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，四点共线时最短，面积桥，掌握轴对称性质，矩形性质，平行四边形判定与性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，四点共线时最短，面积桥是解题关键．
15．如图，是等腰直角三角形，，，点D是斜边AB上一点，且，将绕点D逆时针旋转90°得到，交AB于点E，其中点C的运动路径为弧，则弧的长度为______．

【答案】##
【分析】如图所示，过点C作于F，连接，先利用勾股定理得到，则，再求出，即可求出，，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于F，连接，
∵，，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∴弧的长度为，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了求弧长，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形求出的长是解题的关键．
16．如图，在中，，，与轴交于点，，点在反比例函数的图象上，且轴平分，求_____．

【答案】
【分析】要求k的值，通常可求A的坐标，可作x轴的垂线，构造相似三角形，利用CD=4AD和C（0，-4）可以求出A的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值．
【详解】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，

∵C（0，-4），
∴OC=4，
∵∠AED=∠COD=90°，∠ADE=∠CDO
∴△ADE∽△CDO，
,
∴AE=1；
又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，
∴BO=OD，
∵∠ABC=90°，
∴∠OCD=∠DAE=∠ABE=∠BCE，
∵∠DOC=∠ADE=90°
∴△ABE～△COD，
∴
设DE=n，则BO=OD=4n，BE=9n，
∴，
∴,
∴OE=5n=,
故点A(，1),
∴k=×1=
故答案为：.
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求A的坐标，依据A在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出k的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．

三、解答题（本大题共11小题，共82分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：+2cos60°．
【答案】﹣4．
【分析】根据二次根式、绝对值、负指数幂、特殊角三角函数值进行化简计算即可
【详解】原式=﹣3 +2﹣﹣3+2×，
=﹣3+2﹣﹣3+1，
=﹣4．
【点睛】本题考查二次根式、绝对值的性质、特殊角三角函数值、负指数幂的综合计算，熟练掌握相关知识是解题关键.
18．（5分）解方程：．
【答案】
【分析】分式方程两边同乘3(x+1)，解出x的解，再检验解是否满足.
【详解】解：方程两边都乘，
得：，
解得：，
经检验是方程的解，
原方程的解为．
【点睛】本题考查的知识点是分式方程的求解，解题关键是解出的解要进行检验.
19．（6分）已知x是一元二次方程的一个正根，现定义二阶行列式的运算法则，求二阶行列式的值．
【答案】
【详解】解：原式＝
＝＝………………………(3分)
∵∴………(5分)
∴原式＝………………(6分)
20．（6分）为了倡导“节约用水，从我做起”，某社区决定对该辖区户家庭用水情况进行调查．调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
月平均用水量（吨）
3
4
5
6
7
频数（户数）
4
a
9

7
频率


b
c


请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
(1)填空：______，______，本组数据的中位数是______；
(2)根据样本数据，估计该辖区户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户?
(3)该社区决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出所有等可能的结果．
【答案】(1)；；5
(2)户；
(3)见解析；

【分析】（1）求出抽查的户数，由中位数的定义求解即可；
（2）由总户数乘以月平均用水量不超过5吨的户数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有种等可能的结果，列举出来，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，被调查样本数为：（户）
∴，
∴中位数是（吨）
故答案为：；；5；
（2）解：因为（户）
根据样本数据，估计该辖区户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有：（户）
∴月平均用水量不超过5吨的约有户；
（3）解：画出树状图：

由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有种，即：（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）、（丁，甲）、（丁，乙）（丁，丙），这些结果出现的可能生相等．其中恰好选到甲、丙两户的有2种．
∴P（恰好选到甲、丙两户）．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、平均数、众数、中位数以及频数分布表等知识点，能正确画出树状图是解此题的关键．
21．（6分）如图，是直径，E，C是上的两点，是的切线，于点D， ， 交的延长线于点G．

(1)①若，，求直径的长；
②探究，，三者之间的数量关系．
(2)若，当点C在半圆上运动时，问四边形的面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②，理由见详解
(2)存在最大值，最大值为50

【分析】（1）①连接，，过点C作于点F，由题意易得，，然后可得，则有，进而可得，最后根据全等三角形的性质可进行求解；②同理①可得；
（2）由（1）可知四边形的面积等于，由及题意可进行求解．
【详解】（1）解：①连接，，过点C作于点F，如图所示：

∵是直径，是的切线，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②，理由如下：
同理①分别证，，
∴，，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∴四边形的面积等于，
∵，
∴四边形的面积等于，
∵，
∴，
当时，四边形的面积取得最大，
∵，
∴，
∴此时四边形的面积为．
【点睛】本题主要考查切线的性质、全等三角形的性质与判定及圆周角有关的性质，熟练掌握切线的性质、全等三角形的性质与判定及圆周角有关的性质是解题的关键．
22．（8分）河南省对居民生活用电采用阶梯电价，鼓励居民节约用电，其中年用电量为2160千瓦时及以下执行基础电价0.56元/千瓦时；2160~3120千瓦时的部分按0.61元/千瓦时收费；超过3120千瓦时的部分按0.86元/千瓦时收费．为了解某小区居民生活用电情况．调查小组从该小区随机调查了200户居民的月平均用电量x（千瓦时），并将全部调查数据分组统计如下：
组别






频数（户数）
28
42
a
30
20
10

把这200个数据从小到大排列后，其中第96到第105（包含第96和第105这两个数据）个数据依次为：
148   148   150   152   152   154   160   161   161   162
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查中，该小区居民月平均用电量的中位数为______________，上表a=___________________．
(2)估计该小区能享受基础电价的居民占全小区的百分比．
(3)国家在制订收费标准时，为了减轻居民用电负担，制订的收费标准能让85%的用户享受基础电价．请你根据以上信息对该小区居民的用电情况进行评价，并写出一条建议．
【答案】(1)153，70；
(2)该小区能享受基础电价的居民占全小区的百分比为70%；
(3)用电量较多；天气不是太热或太冷时少开空调．

【分析】（1）根据中位数的定义直接求中位数即可，根据总户数为200计算即可；
（2）根据年用电量为2160千瓦时，求出月平均电量为180千瓦时，再求能享受基础电价的户数为140，计算比例即可；
（3）根据（2）中的享受基础电价的居民占全小区的百分比与85%比较可知，该小区的用电量大．
（1）
解：根据中位数的定义，中位数为按照从小到大排好顺序的数据的第100个和第101个数的平均值，
∴中位数为：．
∵，
∴，
故答案为：153，70；
（2）
解：年用电量为2160千瓦时及以下执行基础电价，
∴每月平均电量为2160÷12=180（千瓦时），
从表中可知，200户中，能享受基础电价的户数为：28+42+70=140，
∴该小区能享受基础电价的居民占全小区的百分比为：；
（3）
解：∵70%＜85%，
∴不能达到让85%的用户享受基础电价的目标，
故该小区用电量较多，应该节约用电，例如天气不是太热或太冷时少开空调．
【点睛】本题考查了频数分布表，中位数的意义，样本估计总体，统计的应用，理解各个数量之间的关系是正确解答的前提．
23．（8分）如图，已知双曲线与直线相交于A、B两点，AC⊥x轴，垂足为C，直线与x轴交于点D．若的面积为1，．

(1)求k的值；
(2)若点B的纵坐标为，求该直线的函数表达式；
(3)在（2）条件下，直接写出当x为何值时？
【答案】(1)
(2)直线的函数表达式为
(3)当或时，

【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义即可求得；
（2）利用三角形面积求得A的坐标，把代入反比例函数的解析式求得B的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）∵的面积为1，．
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
∵直线过A、B两点，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为；
（3）解：观察图象，当或时，．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
24．（8分）[理解概念]
如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE即为的“矩形框”．

(1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的________；
(2)钝角三角形的“矩形框”有________个；
(3)[巩固新知]
如图①，的“矩形框”ABDE的边，，则周长的最小值为________cm：
(4)如图②，已知中，，，，求的“矩形框”的周长；
(5)[解决问题]
如图③，锐角三角形木板ABC的边，，，求出该木板的“矩形框”周长的最小值．
【答案】(1)或一半
(2)1
(3)
(4)14cm或
(5)

【分析】（1）利用面积公式可直接得到答案；
（2）由钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，从而可得答案；
（3）如图，作A关于DE的对称点M，连接BM，交DE于C，则此时的周长最短，且 再利用勾股定理可得答案；
（4）当AC或BC与“矩形框”一边重合时，利用矩形的性质直接可得答案；当AB与“矩形框”一边重合时，如答图④，作交AB于D．再利用等面积法求解CD，从而可得答案；
（5）分三种情况讨论：当AB与“矩形框”一边重合时，如答图⑤，作交AB于F．再利用勾股定理求解．可得此时矩形框的周长为： 当BC与“矩形框”一边重合时，作交BC于D．求解．可得此时矩形框的周长为： 当AC与“矩形框”一边重合时，作交AC于E．求解．可得此时矩形框的周长为： 从而可得答案．
（1）
解：

故答案为：或一半；
（2）
由矩形框的含义可得：钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，
所以钝角三角形的矩形框只有1个，
故答案为1
（3）
如图，作A关于DE的对称点M，连接BM，交DE于C，则此时的周长最短，


由对称的性质可得 而

此时：
故答案为：
（4）
当AC或BC与“矩形框”一边重合时，周长为；
当AB与“矩形框”一边重合时，如答图④，作交AB于D．

∵在中，，
∴，
∴．
∵．
∴，
∴周长为．
综上，的“矩形框”的周长为14cm或．
（5）
当AB与“矩形框”一边重合时，如答图⑤，作交AB于F．

设，则，
在中，∵，∴．
在中，∵，∴．
∴，解得，
∴．
此时矩形框的周长为：
当BC与“矩形框”一边重合时，作交BC于D．
∵．
∴．
此时矩形框的周长为：
当AC与“矩形框”一边重合时，作交AC于E．
∵，
∴．
此时矩形框的周长为：
∴当BC与“矩形框”一边重合时，周长最小，
可知该木板的“矩形框”周长的最小值为
【点睛】本题考查的勾股定理的应用，矩形的性质，二次根式的化简，清晰的分类是解本题的关键．
25．（10分）为庆祝五四青年节，某校九年级（1）班将举行班级联欢活动，决定到水果店购买A、B两种水果，据了解，购买A种水果3千克，B种水果4千克，则需180元；购买A种水果2千克，B种水果8千克，则需280元．
（1）求A、B两种水果的单价分别是多少元？
（2）经初步测算班级联欢活动需要购买A、B两种水果10千克，但九年级班委会目前只有班级经费230元，则A种水果至少需要购买多少千克？
（3）考虑到实际情况，经九年级（1）班班委会商定，决定购买A、B两种水果共12千克供同学们食用．水果店销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买多少千克B种水果，B种水果每千克就降价多少元，请你为九年级（1）班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【答案】（1）A种水果的单价为20元，B种水果的单价为30元；（2）A种水果至少需要购买7千克；（3）本次购买至少准备216元钱，最多准备265元钱．
【分析】（1）设A种花苗的单价为x元，B种花苗的单价为y元，根据“购买A种水果3千克，B种水果4千克，则需180元；购买A种水果2千克，B种水果8千克，则需280元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种水果需要购买a千克，则B种水果需要购买（10−a）千克，根据九年级班委会目前只有班级经费230元，列出不等式计算即可求解；
（3）设本次购买准备n元，购买B种水果m千克，则购买A种水果（12−m）盆，根据总价＝单价×数量，即可得出关于n和m的函数关系式，根据二次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）设A种水果的单价为x元，B种水果的单价为y元，
依题意得：，解得：．
答：A种水果的单价为20元，B种水果的单价为30元；
（2）设A种水果需要购买a千克，则B种水果需要购买（10−a）千克，
依题意得：20a＋30（10−a）≤230，解得a≥7．
答：A种水果至少需要购买7千克；
（3）设本次购买准备n元，购买B种水果m千克，则购买A种水果（12−m）千克，
则n＝20（12−m）＋（30−m）m＝−m2＋10m＋240＝−（m−5）2＋265（0≤m≤12），
当m＝12时，n最小，此时为216元；
当m＝5时，n最大，此时为265元．
答：本次购买至少准备216元钱，最多准备265元钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出关于n和m的二次函数关系式．
26．（10分）如图1，二次函数的图像与x轴交于点O、点A，顶点为B， 点M、N的坐标分别为（0 ，m）、（0 ，n）．

（1）求点B的坐标．
（2）如图2，将函数图像在y轴左侧部分沿x轴翻折，图像其余部分保持不变，得到的新图像记为G．
①过点M作y轴的垂线l，当m 时，直线l与图像G有且只有两个交点．
②请求出翻折后图像的函数关系式．
（3）如图3，点Q是第二象限内图像上的动点，当m＞1 ，n＜0，且∠QMB＝90°时，是否存在点M，使得△QMB与△ABN相似．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）B（2，1）；（2）①m=1或m=0；②；（3）存在，M（0，9）或 ．
【分析】（1）由顶点坐标公式直接求解；
（2）①由图象知m=0或1，②根据沿x轴翻折，开口方向相反，顶点（2，1）变成（2，-1）即可得出关系式；
（3）若∠ABN=90°，由A，B坐标，构造出K型相似可知：，由△QMB与△ABN相似，且∠QMB=90°时，分两类和，分别表示出Q的坐标代入函数解析式即可．若∠BAN=90°，算法完全一样．
【详解】解：（1）∵，
∴当时，，
∴B（2，1）；
（2）①∵B（2，1），过点M作y轴的垂线l，
∴m=1或0时，直线l与图象G有且只有两个交点，
②∵B（2，1），
∴抛物线 ，
将函数图像在y轴左侧部分沿x轴翻折，翻折后的抛物线与原抛物线开口方向相反，顶点（2，1）变成（2，-1），
∴；
（3）如图，当∠ABN=90°时，

过B作CD∥x轴交y轴于D点，过点A作AC∥y轴，过M作EF∥x轴，QF∥y轴，BF∥y轴，
∵B（2，1），A（4，0），
∴BD=BC=2，AC=1，
由△ABC∽△BNE知：，
∵△QMB与△ABN相似，且∠QMB=90°时，
∴当时，
∵M（0，m），
∴BE=m-1，ME=2，
∵△BEM∽△MFQ，
∴，QF=1，
∴Q(，m−1)，
∵Q在抛物线 上，
∴，
∴m2-10m+9=0，
解得m1=9，m2=1（舍），
∴M（0，9），
当时，
同上可得：MF=2m-2，QF=4，
∴Q（2-2m，m-4），
∴，
方程无解，
当∠BAN=90°时，同理可得或时，
同理可得M．
综上所述：M（0，9）或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查顶点坐标公式，图象的翻折特征，以及三角形相似的判定与性质，构造K型相似是解决本题的关键．
27．（10分）对于平面内三点M，N，P，我们规定：若将点M绕点P顺时针旋转α（0° < α < 360°）后能与点N重合，就将其简记为：R(P，α)：M→N．在平面直角坐标系xOy中，P(1，0)，S(－1，0)，解决下面的问题：
（1）如图1，若R(P，90°)：S→T，画出点T并直接写出点T的坐标；
（2）如图2，A(0，)，B(0，)，直线与x轴的交点为C．
①若R(P，α)：S→Q，且点Q落在直线上，求α的值：
②若点E在四边形ASBP的边上运动，在直线上存在相应的点F，使得R(P，α)：E→F，请直接写出点E的横坐标的取值范围．

【答案】（1）画图见解析，T（1，2）；（2）①150°或210°；②
【分析】（1）将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出图形即可解决问题．
（2）①解直角三角形求出即可解决问题．当点在轴下方时同法可得．
②如图3中，过点作于，当点在上时，时，过点作于．求出的长，点的坐标即可判断．
【详解】解：（1）如图1中，

，，
，，
由题意，，
．
（2）①如图2中，

，，，
，，
，
，
，

，
，
．
当点在轴下方时同法可得．
②如图3中，过点作于，当点在上时，时，过点作于．

，，
，
，

，同法可证，
，
，是等边三角形，四边形是菱形，
，

观察图象可知，当在，上运动时，满足条件，
在中，，，
，
，
，
，，
观察图象可知，满足条件的点的横坐标为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型