必刷卷01——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（浙江杭州专用）

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绝密★启用前
2023年中考数学考前信息必刷卷01
数 学（浙江杭州专用）

2023年杭州中考数学没有太大变化，满分120分，试卷结构为10道（选择题）+6道（填空题）+7道（解答题），考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，随着数学教学的逐步深入，为体现数学课程标准对数学教学课改的要求，课程内容的学习，不会单纯考查学生死记硬背的机械记忆力，重视学生的数学活动，发展学生的情感、符号感、空间观念、统计观念以及推理能力。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的化简求值，探究规律，方程不等式组的解法及函数知识的综合应用，直线型的相关性质，仍将是考试的重点。对于函数侧重考查一次函数、反比例函数的性质以及函数的应用、函数与方程不等式之间的联系，二次函数的综合问题常以解答的形式出现；对三角形的全等、相似的证明，特殊四边形的判定及性质的应用，也将以解答题的形式出现。此外，统计与概率也是必考内容。对圆的知识考查，尤其是切线的性质、圆与相似三角函数的综合，强化数学意识的转化和应用能力。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度..同时应加强学生的画图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力.选择题1-5题分别是相反数的定义、科学计数法、不等式的性质、平行线的性质、三角形的基本线段，6-8题考查了分式的化简、方程的应用、一次函数与旋转坐标，第9题考查了二次函数的性质，第10题考查三角形与坐标系综合；填空题第11-12题考查了因式分解、比例的性质，第13题考查概率公式，第14题考查投影的计算、第15题考查弧长与生活应用，第16题考查菱形与翻折问题；解答题第17题考查数与式的计算、第18题考查统计，第19题考查三角形的计算与证明，第20题考查反比例函数和一次函数结合问题，第21题考查四边形的计算与证明，第22题考查二次函数的推理计算，第22题考查圆的压轴问题.

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．的相反数是（　　）
A．2022 B． C． D．﹣2022
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【详解】解：﹣的相反数是．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．
2．“天问一号”是中国行星探测任务中的首次火星探测任务，引起广泛关注．已知火星半径约为3395000米，是地球的53%，用科学记数法可将3395000表示为（　　）
A．3.395×103 B．3.395×106 C．33.95×105 D．0.3395×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：3395000＝3.395×106．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列变形中，正确的是（　　）
A．由2x＞﹣x+1得2x﹣x＞1 B．由2﹣x＜3得﹣x＞3﹣2
C．由﹣3x≥﹣6得x≤2 D．由2x≥3得
【分析】根据不等式的性质对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A，由2x＞﹣x+1得2x+x＞1，故A选项错误；
B，由2﹣x＜3得﹣x＜3﹣2；故B选项错误；
C，由﹣3x≥﹣6得x≤2，故C选项正确；
D，由2x≥3得x≥，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
4．如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠B＝37°，则∠E的大小是（　　）

A．53° B．63° C．73° D．83
【分析】先根据三角形内角与外角的性质求出∠CAE的度数，再根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵∠CAE是△ABC的外角，∠C＝26°，∠B＝37°，
∴∠CAE＝∠C+∠B＝26°+37°＝63°．
∵AC∥ED，
∴∠E＝∠CAE＝63°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质．解题的关键是掌握三角形内角与外角的关系及平行线的性质．
5．在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．
【详解】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高，所以画法正确的是D．
故选：D．
【点睛】考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．
6．计算﹣1的结果是（　　）
A． B．﹣ C． D．
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
7．一道来自课本的习题：
从甲地到乙地先有一段上坡路后有一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟，甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，采用间接设法：
设坡路有xkm，平路有ykm，则全程为（x+y）km．已经列出一个方程＝，则另一个方程正确的是（　　）
A．＝ B． C． D．＝
【分析】根据时间＝路程÷速度结合从乙地到甲地需42分钟，即可得出关于x，y的二元一次方程组，即可得出结论．
【详解】解：依题意有：另一个方程正确的是+＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B的对应点B′坐标为（　　）

A．（3，4） B．（7，4） C．（7，3） D．（3，7）
【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，4），A点坐标为（3，0），则OA＝3，OB＝4，再根据旋转的性质得∠OAO′＝90°，∠AO′B′＝∠AOB＝90°，AO′＝AO＝3，O′B′＝OB＝4，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点B′坐标．
【详解】解：当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，则B点坐标为（0，4）；
当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3，则A点坐标为（3，0），
则OA＝3，OB＝4，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，
∴∠OAO′＝90°，∠AO′B′＝∠AOB＝90°，AO′＝AO＝3，O′B′＝OB＝4，
即AO′⊥x轴，O′B′∥x轴，
∴点B′坐标为（7，3）．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
9．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+4）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（　　）
A．若k＞2，m＜0，则二次函数y的最大值小于0
B．若k≠2，m＜0，则二次函数y的最大值大于0
C．若k＜2，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
D．若k≠2，m＞0，则二次函数y的最大值大于0
【分析】由函数解析式可得抛物线对称轴，从而可得函数最大值的表达式，进而求解．
【详解】解：∵y＝﹣（x﹣k+4）（x+k）+m，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，
∴当x＝﹣2时，函数最大值为y＝（k﹣2）2+m，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握求二次函数最值的方法．
10．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（2，0），C（0，2），AD、BE、CF分别是△ABC三边的高线，连接DE，EF，DF，得到△DEF，则△DEF周长是（　　）
A．3 B．6 C．3 D．6
【分析】根据题意作出图形，结合图形解答．
【详解】解：如图所示：AC的斜率是2，BC的斜率是﹣1，
∴AC：y＝2x+2，BC：y＝﹣x+2，
则：BE的斜率为﹣0.5，AD的斜率为1，
则直线AD：y＝x+b过点A（﹣，0），
∴b＝，
解﹣得，
∴D（，），
同理得：E（﹣，），
∴OE＝，OD＝2，DE＝，
∴△DEF周长是：OD+OE+ED＝6．
故选：B．

【点睛】本题考查了坐标与图形性质，数形结合思想与两点间的距离公式是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．把x2﹣1分解因式为 　（x+1）（x﹣1）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：x2﹣1
＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
12．已知，则的值是 　　．
【分析】利用内项之积等于外项之积得到＝，然后根据分比性质求解．
【详解】解：∵，
∴＝，
∴＝＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
13．如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 　3　个．
【分析】先根据题意可知指针指向红色的概率是，而共有12个等分区，结合概率公式即可求出答案．
【详解】解：12×＝3（个）．
故涂上红色的小扇形有3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了概率公式，掌握概率公式的求法，即概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键，是一道常考题型．
14．如图所示，在阳光下，某一时刻大树AB的影子的顶端落在墙DE上的C点，同一时刻1.2m的标杆影长为3m．已知CD＝2m，BD＝6m，则大树的高度为 　4.4　m．

【分析】作CF⊥AB于F，如图，利用四边形BDCF为矩形得到CF＝BD＝6，BF＝CD＝4，再根据在同一时刻物高与影长的比相等”得到＝，然后求出AF，从而得到AB的长．
【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
易得四边形BDCF为矩形，
∴CF＝BD＝6m，BF＝CD＝4m，
∵同一时刻1.2m的标杆影长为3m，
∴＝，即＝，
解得AF＝2.4，
∴AB＝AF+BF＝2.4+2＝4.4（m）．
故答案为：4.4．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
15．如图，圆弧形弯道两边的直道在连接点处与弯道相切，测得∠AEB＝120°，圆弧的半径是2千米，则该段圆弧形弯道的长为　　千米（结果保留π）．

【分析】如图，设圆心为O，连接OA，OB，根据切线的性质和弧长的计算公式即可得到结论．
【详解】解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，
∵EA，EB是切线，
∴∠EAO＝∠EBO＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
由题意：＝π，
答：弯道圆弧的半径为π千米．

【点睛】本题考查了切线的性质，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．如图，在菱形ABCD中，sinB＝，M，N分别在边AB，CD上，将四边形AMND沿MN翻折，使AD的对应线段EF经过顶点C，当EF⊥CD时，则的值是 　　．

【分析】由菱形的性质得出∠B＝∠D，AD＝DC，由折叠的性质得出∠D＝∠F，AD＝EF，DN＝NF，得出sinB＝sinF＝，设CN＝4x，NF＝DN＝5x，则CF＝3x，CD＝9x，则可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AD＝DC，
∵将四边形AMND沿MN翻折，
∴∠D＝∠F，AD＝EF，DN＝NF，
∴∠B＝∠F，
∴sinB＝sinF＝，
设CN＝4x，NF＝DN＝5x，
∴CF＝3x，CD＝9x，
∴EF＝9x，
∴CE＝EF﹣CF＝9x﹣3x＝6x，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质，菱形的性质以及解直角三角形，正确表示出CE的长是解题关键．
三、解答题（本题有7小题，共66分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（1）计算：．
（2）化简：（a﹣2）2﹣a（a﹣4）．
【分析】（1）先化简绝对值、二次根式，同时乘方运算、零指数幂运算，再加减运算即可求解；
（2）利用完全平方公式和单项式乘多项式运算法则计算，再整式的加减运算即可求解．
【详解】解：（1）
＝
＝；
（2）（a﹣2）2﹣a（a﹣4）
＝a2﹣4a+4﹣a2+4a
＝4．
【点睛】本题考查实数的混合运算、整式的混合运算，熟记完全平方公式，掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
18．为了解八年级各班男生引体向上情况，随机抽取八（1）班、八（2）班各5名同学进行测试，其有效次数分别为：八（1）班：7，10，8，10，10；八（2）班：9，9，8，9，10．现从平均数、众数、中位数、方差四个统计量对两个班男生的测试数据做如下分析．
组别
平均数
众数
中位数
方差
八（1）班
9
a
9
c
八（2）班
9
9
b
0.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请直接写出a，b，c的值．
（2）如果男生引体向上有效次数10次的成绩为满分，不考虑其他因素，请以这10名同学的成绩为样本，估计八年级300名男生引体向上成绩达到满分的人数．
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数、方差的计算方法分别计算结果，得出答案，
（2）用总人数乘以样本中甲、乙班男生引体向上成绩达到满分的人数所占比例即可．
【详解】解：（1）八（1）班的测试数据中，10的次数最多，因此甲的众数是10，b＝10，
八（2）班的平均数a＝×（9+9+8+9+10）＝9，
将八（2）班的测试数据从小到大排列为8，9，9，9，10，处在第3位的数是9，因此中位数是9，即c＝9，
八（1）班的方差d＝[（7﹣9）2+（8﹣9）2+3×（10﹣9）2]＝1.6；
∴a＝9，b＝10，c＝9，d＝1.6；
（2）300×＝120（人）．
答：估计八年级300名男生引体向上成绩达到满分的人数为120人．
【点睛】本题考查了中位数、众数和平均数、方差的概念和计算方法，明确各个统计量的意义，反映数据的特征以及计算方法是正确解答的关键．
19．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积．

【分析】（1）根据AD∥BE，可以得到∠A＝∠B，然后根据SAS即可证明结论成立；
（2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到DE的长，CF⊥DE，再根据三角形的面积计算公式即可计算出△DCE的面积．
【详解】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）；
（2）解：由（1）知△ADC≌△BCE，
∴DC＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF＝EF，
∴CF垂直平分DE，
∵CF＝3，DF＝4．
∴DE＝2DF＝8，
∴S△DCE＝＝＝12，
即△DCE的面积是12．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出△ACD≌△BEC需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．

【分析】（1）把A，B两点的坐标代入y＝中可计算k和m的值，确定点B的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
（2）如图，设AB与x轴交于点D，证明CD⊥x轴于D，根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD即可求得．
【详解】解：（1）将A（2，﹣4），B（﹣4，m）两点代入y＝中，得k＝2×（﹣4）＝﹣4m，
解得，k＝﹣8，m＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
将A（2，﹣4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b中得，
解得，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣2；
（2）如图，设AB与x轴交于点D，连接CD，
由题意可知，点A与点C关于原点对称，
∴C（﹣2，4）．
在y＝﹣x﹣2中，当x＝﹣2时，y＝0，
∴D（﹣2，0），
∴CD垂直x轴于点D，

∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为线段CB延长线上一点，连结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝∠BAC．
（1）求证：CF•CA＝CB•CE；
（2）如果AC＝DE，∠BAC＝35°，则∠DFC＝　70　度．

【分析】（1）利用平行四边形性质，得到∠ADE＝∠E．结合已知找到∠BAC＝∠E．即可证明△ACB∽△ECF．从而得到结论．
（2）先证明△ADF∽△CEF．利用对应边成比例，结合已知AC＝DE，得EF＝CF，由三角形的外角定理得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠E，
∵∠ADE＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠E，
∵∠ACB＝∠ECF，
∴△ACB∽△ECF，
∴AC：EC＝CB：CF，
∴CF•CA＝CB•CE；
（2）由（1）知∠ADE＝∠E，
∵∠DFA＝∠EFC，
∴△ADF∽△CEF，
∴，
∴，
∵AC＝DE．
∴EF＝CF．
∴∠E＝∠ACB，
∵∠BAC＝∠E＝35°，
∴∠DFC＝∠E+∠ACE＝70°，
故答案为：70．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质和菱形的判定等知识，关键在于熟悉各个知识点在本题中运用．
22．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝　2　；
（2）当1≤x≤4时，y的最大值是2，求当1≤x≤4时，y的最小值；
（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴公式计算即可；
（2）构建方程求出a的值即可求得解析式，把x＝4代入即可解决问题；
（3）当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，推出当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，可得t≥﹣1，t+1≤5，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）对称轴x＝﹣＝2．
故答案为：2．

（2）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2．
∴4a﹣8a+3a＝2．
解得a＝﹣2，
∴二次函数为y＝﹣2x2+8x﹣6，
当x＝4时，y＝﹣2×42+8×4﹣6＝﹣6，
∴当1≤x≤4时，y的最小值是﹣6；

（3）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，
∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，
∴t≥﹣1，t+1≤5，
∴﹣1≤t≤4．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连结DB，DC，DB交AC于点F．
（1）求证：DB＝DC；
（2）若DA＝DF，
①当∠BAC＝α，用α的代数式表示∠ABC；
②设BC＝6，cos∠DAC＝，求AD的长．

【分析】（1）利用圆内接四边形的性质可得∠CAD＝∠BCD，而∠CAD＝∠DBC，可得∠DBC＝∠BCD，则BD＝CD；
（2）利用三角形的内角和定理可知∠ADF＝∠BDC，从而得出答案；
（3）连接DO，并延长交BC于点H，可知DH垂直平分BC，再根据cos∠DBC＝cos∠DAC＝，得BD＝3，再利用△BCF∽△BDC，得BC2＝BD•BF，从而解决问题．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠DAE＝∠CAD，
由圆内接四边形ABCD得：∠DAE＝∠BCD，
∴∠CAD＝∠BCD，
∵，
∴∠CAD＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BCD，
∴BD＝CD；
（2）解：①∵DA＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴180°﹣∠DAF﹣∠DFA＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB，
∴∠ADB＝∠BDC，
∴∠ACB＝∠ADB＝∠BDC＝∠BAC＝α，
∴∠ABC＝180°﹣2α；
②如图，连接DO，并延长交BC于点H，

∵DB＝DC，
∴，
∴DH垂直平分BC，
在⊙O中，∠DBC＝∠DAC，
∴cos∠DBC＝cos∠DAC＝，
∴，
∴BD＝3，
∵∠BCF＝∠BDC，∠FBC＝∠CBD，
∴△BCF∽△BDC，
∴BC2＝BD•BF，
∴BF＝，
∴DF＝BD﹣BF＝，
∴AD＝DF＝．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数等知识，证明△BCF∽△BDC是解题的关键．