必刷卷01——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（浙江温州专用）

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绝密★启用前
2023年中考数学考前信息必刷卷01
数 学（浙江温州专用）

2023年温州中考数学没有多大变化，满分150分，题型仍然是10（选择题）+6（填空题）+8（解答题），但考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的化简求值，探究规律，方程不等式组的解法及函数知识的综合应用，直线型的相关性质，仍将是考试的重点。对于函数侧重考查一次函数、反比例函数的性质以及函数的应用、函数与方程不等式之间的联系，二次函数的综合问题常以解答的形式出现；对三角形的全等、相似的证明，特殊四边形的判定及性质的应用，也将以解答题的形式出现。此外，统计与概率也是必考内容。对圆的知识考查，尤其是圆的有关计算与证明，强化数学意识的转化和应用能力。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度.考向预测：选择题前7道属于基础题，重点考查实数的基本概念、科学计数法、整式、三视图、数据的分析、方程组的应用、圆与圆锥的计算，容易丢分的选择题以三角形、四边形综合题、二次函数的性质为主。填空题的考查主要是因式分解、解方程、统计、四边形的计算、圆的计算、锐角三角函数与生活应用.解答题仍然是8道，前几道主要是容易得分的题目，第17题以数与式的计算、第18题主要是全等三角形，涉及三角形全等的证明和性质，求线段的长度或角的度数；第19题是格点作图，常与三角形、四边形的知识融合在一起，第20题以统计为主，主要是频数分布直方图与扇形统计图，涉及数据分析的中位线、众数、平均数和方差等.第21题和22题是中等大题主要考查四边形的有关计算、反比例函数与一次函数的有关知识，最后第23和24题是压轴大题主要是函数的应用及综合题、圆与相似、三角形、四边形结合的综合性问题.

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2023的相反数是（　　）
A． B． C．﹣2023 D．2023
【分析】利用相反数的定义判断．
【详解】解：2023的相反数是﹣2023，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
2．卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．0.17×105 B．1.7×105 C．17×104 D．1.7×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：170000＝1.7×105．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列计算错误的是（　　）
A．a3•a2＝a5 B．a3+a3＝2a3 C．（2a）3＝6a3 D．a8÷a4＝a4
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、a3•a2＝a5，故A不符合题意；
B、a3+a3＝2a3，故B不符合题意；
C、（2a）3＝8a3，故C符合题意；
D、a8÷a4＝a6，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．下列几何体中，同一个几何体从正面和上面看到的图形不相同的是（　　）
A．正方体 B．四棱锥
C．圆柱 D．球
【分析】从正面看到的图形即为主视图，从上面看到的形状即俯视图，结合图形找出各图形的俯视图以及主视图，然后进行判断即可．
【详解】解：A、主视图为正方形，俯视图为正方形，不符合题意；
B、主视图为三角形，俯视图为中间有点的正方形，符合题意；
C、主视图为长方形，俯视图为长方形，不符合题意；
D、主视图为圆形，俯视图为圆形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，注意从正面看到的图形即为主视图，从上面看到的图形即为俯视图．
5．如图所示，小红要制作一个母线长为8cm，底面圆周长是12πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则她所需纸板的面积是（　　）

A．60πcm2 B．96πcm2 C．120πcm2 D．48πcm2
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【详解】解：圆锥形小漏斗的侧面积＝×12π×8＝48πcm2．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面积＝×底面周长×母线长．
6．在抗击新型冠状病毒肺炎疫情中，某社区志愿者小分队10名队员年龄统计如表：则这10名队员年龄的中位数、众数分别是（　　）
年龄（岁）
18
22
30
35
43
人数
2
3
2
2
1
A．20岁，35岁 B．26岁，22岁 C．22岁，26岁 D．30岁，30岁
【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．
【详解】解：在10名队员的年龄数据里，第5和第6个数据分别是22岁和30岁，因而中位数是＝26（岁）．
这10名队员的年龄数据里，22岁出现了3次，次数最多，因而众数是22岁；
故选：B．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：x+y＝19
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：

综上：，
故选：A．
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，则线段DE的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．
【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵AB＝5，
∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE＝BE＝AE．
9．已知在二次函数y＝ax2﹣2x﹣3a的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，﹣3），且x1＜﹣1，0＜x2＜3，则y2﹣y1的值为（　　）
A．正数 B．负数 C．0 D．非负数
【分析】用待定系数法求出抛物线的解析式，分别求得y1、y2、y3的值，代入（y2﹣y1）即可求得定值．
【详解】解：∵点C（0，﹣3）在二次函数y＝ax2﹣2x﹣3a的图象上，
∴﹣3a＝﹣3，
解得a＝1，
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，且与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∵x1＜﹣1，0＜x2＜3，
∴y1＞0，y2＜0，
∴y2﹣y1＜0，
即为负数，
故选：B．
【点睛】本题考查求二次函数解析式和求定值，掌握待定系数法求二次函数的表达式是解题关键．
10．如图，在正方形ABCD中，延长DC至点G，以CG为边向下画正方形CEFG．延长AB交边FG于点H，连结CF，AF分别交AH，CE于点M，N．收录在清朝四库全书的《几何通解》利用此图得：2AB2+2BH2＝AH2+MH2．若正方形ABCD与CEFG的面积之和为68，CN＝3NE，则AH的长为（　　）

A．4 B．8 C．8 D．16
【分析】根据题意可得AB∥EF，所以△ABN∽△FEN，可得＝，设AB＝a，CG＝b，根据CN＝3NE，可得NE＝b，CN＝b，所以BN＝CN﹣CB＝b﹣a，然后列式计算可得b＝a，然后根据正方形ABCD与CEFG的面积之和为68，可得a和b的值，进而可以解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，延长AB交边FG于点H，
∴AB∥EF，
∴△ABN∽△FEN，
∴＝，
设AB＝a，CG＝b，
∵CN＝3NE，
∴NE＝b，CN＝b，
∴BN＝CN﹣CB＝b﹣a，
∴＝，
∴b＝a，
∵正方形ABCD与CEFG的面积之和为68，
∴a2+b2＝68，
∴a2+（a）2＝68，
解得a＝3，
∴b＝5，
∴a+b＝8，
则AH的长为8．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABN∽△FEN．
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：x2﹣＝　＝（x+）（x﹣）　．
【分析】运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【详解】解：x2﹣＝（x+）（x﹣）．
故答案为：（x+）（x﹣）．
【点睛】本题考查因式分解．当被分解的式子只有两项平方项；符号相反，且没有公因式时，应首要考虑用平方差公式进行分解．
12．分式方程的解为　x＝﹣2　．
【分析】去分母，化分式方程为一元二次方程，求解方程并验根即可
【详解】解：去分母，得x+1+x2﹣1＝2，
整理，得x2+x﹣2＝0，
∴（x+2）（x﹣1）＝0
∴x1＝﹣2，x2＝1
当x＝﹣2时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣2是原方程的解；
当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1不是原方程的解．
故答案为：x＝﹣2．
【点睛】本题考查了分式方程及一元二次方程的解法．掌握分式方程和一元二次方程的解法，是解决本题的关键．
13．为了解某校1000名学生对禁毒知识的掌握情况，随机抽取100名学生参加问卷测试，成绩进行整理得到频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，则该校成绩为80分及以上的学生约有 　520　人．

【分析】用总人数乘以样本中成绩为80分及以上的学生人数所占比例即可．
【详解】解：由题意知该校成绩为80分及以上的学生约有1000×＝520（人），
故答案为：520．
【点睛】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是根据频数分布直方图得出样本中成绩为80分及以上的学生人数．
14．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ABC＝120°，BD＝4，则菱形ABCD的面积是 　8　．
【分析】利用菱形的性质可求得∠ABO＝60°，BO＝2，再在Rt△AOB中可求得AO的长，进而可求得AC的长，则可求得菱形的面积．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABO＝∠ABC＝60°，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝BD＝2，
∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝30°，
∴AB＝2BO＝4，
∴AO＝＝＝2，
∴AC＝2AO＝4，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×4×4＝8，
故答案为：8．

【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出AO的长是解题的关键．
15．如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将△DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上．若AB＝6，则AE：ED＝　1：2　，OB的长为 　　．

【分析】由正方形的性质得到∠ABC＝90°，即可判定BC是⊙O的切线，连接OE、OD′，作OH⊥ED′于H，通过证得△AEO≌△HEO（AAS），AE＝EH＝ED＝2，设OB＝OE＝x．则AO＝6﹣x，根据勾股定理得x2＝22+（6﹣x）2，解方程即可求得结论．
【详解】解：连接OE、OD′，作OH⊥ED′于H，

∴EH＝D′H＝ED′
∵ED′＝ED，
∴EH＝ED
∵正方形ABCD，
∴∠A＝90°，AB＝AD＝6，
∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
∴∠OEH+∠D′EF＝90°，∠AEO+∠DEF＝90°，
∵∠DEF＝∠D′EF，
∴∠AEO＝∠HEO，
在△AEO和△HEO中

∴△AEO≌△HEO（AAS），
∴AE＝EH＝ED，即AE：ED＝1：2，
∴AE＝AD＝2，
设OB＝OE＝x．则AO＝6﹣x，
在Rt△AOE中，x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴OB＝，
故答案为：1：2，．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定、正方形的性质、勾股定理，方程，全等三角形的判定与性质等知识；关键是作出辅助线利用三角形全等证明．
16．图1是一折叠桌，桌板DEIJ固定墙上，支架AD，HE绕点D，E旋转时，AD∥HE，桌板边缘AH∥BG∥CF∥DE，桌脚AN⊥AH，桌子放平得图2．图3是打开过程中侧面视图，当点N在直线CF上时，点N到墙OE的距离为 　69　cm．视图中以C，K为顶点的长方形表示一圆柱体花瓶，桌子打开至点M，C，F在同一直线时，桌板边缘GL恰卡在点K，为不影响桌板BG收放，则至少将花瓶沿CF方向平移 　15　cm．

【分析】根据题意连接CN，延长 AN，DE交于点O，首先根据题意求出AB＝BC＝CD＝DE＝＝37.5，然后证明△ANC∽△AOD，即可得出答案；
如图所示，连接CM，此时点K与点G重合，根据勾股定理求出MC＝45，然后证明出△AMC∽△KPF，利用相似三角形对应边成比例求出PF＝22.5，进而可求出CP的长度．
【详解】解：如图，当点N在直线CF上时，连接CN，延长 AN，DE交于点O，

由由题图2可得，AB+BC+CD+DE＝150，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝＝37.5，
∴AC＝AB+BC＝75，AN＝72，
又∵AN⊥CN，
∴CN＝＝21，
由题意可得，NC∥OD，
∴∠ANC＝∠O，∠ACN＝∠ADO，
∴△ANC∽△AOD，
∴＝＝，即＝，
∴OD＝31.5，
∴OE＝OD+DE＝31.5+37.5＝69，
∴点N到墙OE的距离为69cm．
由题意可得，如图，连接CM，此时点K与点G重合，

∴AM＝AN﹣MN＝60，
∵AM⊥MC，
∴MC＝＝＝45，
∵AM∥KP，
∴∠AMC＝∠KPF＝90°，
∵AC∥GF，
∴∠ACM＝∠GFP，
∴△AMC∽△KPF，
∴＝＝2，即＝2，
∴PF＝22.5，
∴CP＝CF﹣PF＝37.5﹣22.5＝15，
∴至少将花瓶沿CF方向平移15cm．
故答案为：69；15．
【点睛】此题考查了勾股定理的运用，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的运用，相似三角形的性质和判定．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（7）计算：|﹣1|+2cos30°﹣（﹣3）0+（）﹣2．
（2）化简：（x﹣2）2﹣x（4﹣x）．
【分析】（1）利用绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义和负整数指数幂的意义解答即可；
（2）先利用完全平方公式和单项式乘以多项式的法则去掉括号，再合并同类项即可．
【详解】解：（1）原式＝1+2×﹣1+4
＝1+﹣1+4
＝4+；
（2）原式＝x2﹣4x+4﹣4x+x2
＝2x2﹣8x+4．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义和负整数指数幂的意义，完全平方公式和单项式乘以多项式的法则，正确使用上述法则进行运算是解题的关键．
18．如图，在四边形ABED中，∠B＝∠E＝90°，点C是BE边上一点，AC⊥CD，CB＝DE．
（1）求证：△ABC≌△CED．
（2）若AB＝5，CB＝2，求AD的长．

【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△CED；
（2）由全等三角形的性质可得AB＝CE＝5，AC＝CD，由勾股定理可求AC的长，再由勾股定理可求AD的长．
【详解】解：（1）证明：∵∠B＝∠E＝90°，
∴∠BAC+∠1＝90°．
∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠BAC＝∠2．
在△ABC和△CED中，

∴△ABC≌△CED（AAS）．
（2）∵△ABC≌△CED，
∴AB＝CE＝5，AC＝CD，
∵BC＝2，
∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝，
∴，
∴在Rt△ACD中，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明△ABC≌△CED是本题的关键．
19．如图，在7×7的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上．请按照以下要求画图．
（1）在图1中画格点△BCP，使△BCP与△ABC关于某条直线对称．
（2）在图2中画格点△BCQ，使△BCQ的面积为△ABC面积的2倍．

【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图1中画格点△BCP，使△BCP与△ABC关于某条直线对称．
（2）根据网格，利用三角形面积即可在图2中画格点△BCQ，使△BCQ的面积为△ABC面积的2倍．
【详解】解：（1）如图，△BCP即为所求；

（2）如图，△BCQ即为所求．
【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
20．某中学九年级学生进行了五次体育模拟测试，甲同学的测试成绩如表（一），乙同学的测试成绩折线统计图如图所示．

表（一）
次数
一
二
三
四
五
分数
46
47
48
49
50
（1）请根据甲、乙两同学五次体育模拟测试的成绩填写下表：

中位数
平均数
方差
甲
　48　
　48　
2
乙
　48　
48
　　
（2）甲、乙两位同学在这五次体育模拟测试中，谁的成绩较为稳定？请说明理由．
【分析】（1）根据中位数，平均数，方差的定义进行计算即可得出答案；
（2）根据方差的定义进行判定即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意可得，甲同学的中位数为48，平均数为，
乙同学的成绩由低到高为47，47，48，49，49，中位数为48，方差为S2＝+（47﹣48）2+（48﹣48）2+（49﹣48）2+（49﹣48）2]＝．
故答案为：48，48，48，；
（2）乙的成绩较为稳定．
因为乙的方差小于甲的方差，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【点睛】本题主要考查了折线统计图、中位数，平均数、方差，熟练应用折线统计图、中位数，平均数、方差的定义进行求解是解决本题的关键．
21．反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y＝的图象于点M，△AOM的面积为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1，若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y＝的图象上，求t的值．

【分析】（1）根据点A（1，0）、△AOM的面积为3，可求出点M的坐标，即可求解．
（2）分情况讨论即可．
【详解】解：（1）∵点A（1，0）、△AOM的面积为3．
∴OA＝1，．
∴AM＝6．
∴M（1，6）．
将M坐标代入反比例函数解析式得：k＝6．
∴反比例函数的解析式y＝．
（2）分类讨论：
①如图：
此时顶点C在反比例函数上时．

∵B（t，0），t＞1．
∴OB＝t．OA＝1．
∴BC＝AB＝OB﹣OA＝t﹣1．
∴C（t，t﹣1）．
将点C坐标代入y＝．
∴t•（t﹣1）＝6．
∴t＝3，或﹣2（舍去）．
②如图：

此时顶点与M重合时，AB＝AM＝6．
∴OB＝7．
∴t＝7．
综上：t＝3或7．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质等知识．关键在于结合图形找点的坐标．
22．如图，▱ABCD中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG∥AF交DA的延长线于点G．
（1）求证：四边形AGEF是平行四边形；
（2）若sin∠G＝，AC＝10，BC＝12，连接GF，求GF的长．

【分析】（1）根据已知条件，可得EF是△ABC的中位线，根据中位线定理可得EF∥AG，又因为EG∥AF，即可得证；
（2）过点F作FH⊥AD于点H，根据已知条件求出HF的长，再根据平行四边形的性质可得AG的长，进一步求出GH的长，根据勾股定理，即可求出GF的长．
【详解】（1）证明：∵点E是AB中点，点F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴EF∥AD，
∵EG∥AF，
∴四边形AGEF是平行四边形；
（2）过点F作FH⊥AD于点H，如图所示：

∵EG∥AF，
∴∠HAF＝∠AGE，
∵sin∠G＝，
∴sin∠HAF＝＝，
∵AC＝10，F是AC的中点，
∴AF＝5，
∴HF＝3，
在Rt△AHF中，根据勾股定理，得AH＝4，
∵BC＝12，
∴EF＝6，
∵四边形AGEF是平行四边形，
∴AG＝EF＝6，
∴GH＝6+4＝10，
在Rt△HGF中，根据勾股定理，得GF＝．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，涉及解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
23．某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元，分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道销售．线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完，线上旗舰店的产品售价y（元）与月销量x（件）满足关系：y＝﹣x+230．（销售利润＝销售收入﹣成本）
（1）分别用含a，b的代数式表示：
①线下直营店的月销量为a件．若0≤a≤400，这a件产品的销售利润为 　30a　元：
若400＜a≤800，这a件产品的销售利润为 　（90a﹣29000）　元．
②线上旗舰店的月销量为b件，这b件产品的销售利润为 　（﹣b2+130b）　元．
（2）假设800件产品每月都能售出．
①若平均分配给两个渠道进行销售，求这800件产品的销售总利润．
②请设计一种与①不同的分配方案，根据方案评价表，确定方案类型并填表，（不同方案得分不同，具体见表）
表一：
线下直营店分配数量
线上旗舰店分配数量
你的方案类型 （填优秀、良好或合格）
　300　件
　500　件
　合格　
表二：方案评价表（利润单位：元）
优秀方案
月总利润＞46190
4分
良好方案
44000＜月总利润≤46190
2分
合格方案
40000＜月总利润≤44000
1分
【分析】（1）①根据题意列出相应式子即可；②根据题意列出相应式子即可；
（2）①根据（1）所列式子，代值计算即可；②根据题意设计一种方案计算即可．
【详解】解：（1）①当0≤a≤400时，
∵每件的成本为100+60＝160元，
∴a件的成本为160a元，
∵a件的售价为190a元，
∴a件的利润为190a﹣160a＝30a元，
当400＜a≤800时，
∵前400件的每件成本为160元，每件售价为190元，
∴前400件的利润为（190﹣160）×400＝12000元，
∵超过400件的每件成本为100元，每件售价为190元，一次性投入成本为5000元，
∴超过400件的利润为（190﹣100）（a﹣400）﹣5000＝（90a﹣41000）元，
∴a件的利润为12000+90a﹣41000＝（90a﹣29000）元，
故答案为：30a；（90a﹣29000）．
②∵线上旗舰店的产品售价y（元）与月销量x（件）满足关系：y＝﹣x+230，
∴线上旗舰店的月销量为b件时，售价为（﹣b+230）元，
∵每件产品成本100元，
∴每件产品利润为﹣b+230﹣100＝（﹣b+130）元，
∴b件产品的销售利润为（﹣b+130）b＝（﹣b2+130b）元，
故答案为：（﹣b2+130b）．
（2）①线下利润为30×400＝12000元，
线上利润为400×（﹣×400+230﹣100）＝32000元，
∴总利润为12000+32000＝44000元．
②线下销售300件，线上销售500件，
∴线下的利润为30×300＝9000元，
线上的利润为﹣×5002+130×500＝33750元，
∴总利润为9000+33750＝42750元，
∴这个方案是个合格的方案．
【点睛】本题考查列代数式和代数式求值，解题的关键是能够正确读懂题意．
24．【证明体验】
（1）如图1，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，在上取一点P，连结AP，BP，CP．求证：∠APB＝∠PAC+∠PCA；
【思考探究】
（2）如图2，在（1）条件下，若点P为的中点，AB＝6，PB＝5，求PA的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，⊙O的半径为5，弦BC＝6，弦CP＝5，延长AP交BC的延长线于点E，且∠ABP＝∠E，求AP•PE的值．


【分析】（1）利用等弦对等弧和同弧所对的圆周角相等的性质解答即可；
（2）延长BP至点D，使PD＝PC，连接AD，设PA＝x，则PD＝x，BD＝5+x，利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）连接OP，OC，过点C作CH⊥BP于点H，利用等边三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求得BP，再利用相似三角形的判定与性质，通过证明△EPC∽△BPA即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
∴．
∴∠APB＝∠ABC．
∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABP＝∠ACP，∠CBP＝∠PAC，
∴∠ABC＝∠PAC+∠PCA．
∴∠APB＝∠PAC+∠PCA．
（2）解：延长BP至点D，使PD＝PC，连接AD，如图，

∵点P为的中点，
∴．
∴PA＝PC，∠ABP＝∠CBP．
∴PA＝PD．
∴∠D＝∠PAD．
∴∠APB＝∠PAD+∠D＝2∠PAD．
∵AB＝AC，
∴．
∴∠APB＝∠ABC．
∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP＝2∠ABP，
∴∠PAD＝∠ABP．
∵∠D＝∠D，
∴△DAP∽△DBA，
∴．
∵∠D＝∠PAD，∠PAD＝∠ABP，
∴∠D＝∠ABP．
∴AD＝AB＝6．
设PA＝x，则PD＝x，BD＝5+x，
∴．
∴x2+5x﹣36＝0．
解得：x＝4或﹣9（负数不合题意，舍去）．
∴PA＝4；
（3）连接OP，OC，过点C作CH⊥BP于点H，如图，

∵⊙O的半径为5，CP＝5，
∴OP＝OC＝PC＝5，
∴△OPC为等边三角形．
∴∠POC＝60°．
∴∠PBC＝∠POC＝30°．
在Rt△BCH中，
BH＝BC•cos30°＝6×＝3，
CH＝BC＝3．
在Rt△PCH中，
PH＝＝4．
∴PB＝PH+BH＝4+3．
∵四边形ABCP是圆的内接四边形，
∴∠PCE＝∠BAP．
∵∠E＝∠ABP，
∴△EPC∽△BPA．
∴．
∴AP•PE＝PC•BP＝5（4+3）＝20+15．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，依据题意构造恰当的辅助线是解题的关键．