必刷卷01——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（湖南长沙专用）

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2023年中考数学考前信息必刷卷01

数  学（长沙专用）

2023年长沙中考数学试卷共25题：10（选择题）+6（填空题）+9（解答题），根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在试卷难度和结构方面，和近三年的命题模式大同小异，但会增强试题开放性、灵活性，充分发挥命题的育人功能和积极导向作用，引导减少死记硬背和“机械刷题”现象。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，预测：第16题可能会考察规律的探索与总结，难度比去年的第16题会大一点；第23题将会重点考查四边形与相似三角形综合，难度比去年的第23题要大一点；第24题和第25题极大可能保持一个几何压轴题和一个函数压轴题的传统，对运算能力和分析能力要求比较高。

另外，在平时学习中要特别关注基础性（长沙中考卷有105—108分的题目考查基础知识，容易拿分，一定要拿稳）、和创新性（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列互为倒数的是（    ）

A．和 B．和 C．和 D．和

【答案】A

【详解】解：A．因为，所以3和是互为倒数，因此选项符合题意；

B．因为，所以与2不是互为倒数，因此选项不符合题意；

C．因为，所以3和不是互为倒数，因此选项不符合题意；

D．因为，所以和不是互为倒数，因此选项不符合题意．

2．下列各选项中的图形，不可以作为正方体的展开图的是（    ）

A．                 B．                C．               D．

【答案】B

【详解】解：根据正方体展开图的“田凹应弃之”可得选项B中的图形不能折叠出正方体．

3．下列说法中，正确的是（    ）

A．调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查

B．“太阳东升西落”是不可能事件

C．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图

D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次

【答案】A

【详解】解：A. 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故该选项正确，符合题意；B. “太阳东升西落”是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，不符合题意；D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次,故该选项不正确，不符合题意．

4．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：A.不是同类二次根式，不能合并，此选项运算错误，不符合题意；

B.，此选项运算错误，不符合题意；C.，此选项运算正确，符合题意；D.，此选项运算错误，不符合题意．

5．如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（　　）

A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3）

【答案】C

【详解】作出旋转后的图形如下：

∴B'点的坐标为（4，﹣1），故选：C．

6．小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：

则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（    ）

A．13，15 B．14，15 C．13，18 D．15，15

【答案】D

【详解】解：中位数为第10个和第11个的平均数，众数为15．

7．已知某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利，另一个亏损，在这次买卖中，这家商店（    ）．

A．不盈不亏 B．盈利10元 C．亏损10元 D．盈利50元

【答案】B

【详解】设第一个计算器的进价为x元，第二个计算器的进价为y元，则，，解得，．因为（元），所以盈利了10元．

8．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（    ）

A．30° B．25° C．20° D．15°

【答案】B

【详解】∵直尺的对边互相平行，∴∠1=∠3，∵∠3+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°，

∵∠1=20°，∴∠2=45°﹣∠1=25°．

9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　）

A．10 B．18 C．20 D．22

【答案】C

【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝PA+PB＝10+10＝20．

10．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】A

【详解】解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，

过D点作DH⊥AB于H点，

∵∠C=∠DHB=90°，∴DC=DH，，

∵∠C=∠DHB=90°，∠HBD=∠CBD，BD=BD，∴△BHD≌△BCD（AAS），∴ BC=BH   ，

  设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理：，代入数据：，解得，故．

二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

11．若分式有意义，则的取值范围是______．

【答案】且/x≠2且x≥-3

【详解】解：由题意得，解得，即且，

故答案为：且．

12．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________．

【答案】/

【详解】解：∵，∴，

又∵，∴，∴，

∴，∴，∵即，

∴，解得，经检验是方程的解，

故答案为：．

13．如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．

【答案】

【详解】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，

，，，，，

，，，，

．

14．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．

【答案】且．

【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

，解得．又∵该方程为一元二次方程，

，且．

15．某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查．从中抽出400人，发现有300人是符合条件的，那么则该工厂1200人中符合选拔条件的人数为________________．

【答案】900人

【详解】解：（人）．

16．观察下列各项：，，，，…，则第项是______________．

【答案】

【详解】解：根据题意可知：

第一项：，

第二项：，

第三项：，

第四项：，

…

则第项是；

故答案为：．

三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（6分）计算：．

【答案】

【详解】原式．

18．（6分）先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【详解】解：原式

，当时，原式，

故答案是： ．

19．（6分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）

（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）

（参考数据）

【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米．

【详解】解：（1）垂直于桥面，在中，，，

（米）

答：大桥主架在桥面以上的高度为米．

（2）在中，，，

，，（米）

答：大桥主架在水面以上的高度约为50米．

20．（8分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题

（1）这次被调查的学生共有多少名？

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？

（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）

【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名；

（2）喜爱“体育”的人数为（名，

补全图形如下：

（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；

（4）列表如下：

所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，

所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．

21．（8分）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，．

(1)求证：四边形是矩形；

(2)若，，求的长．

【详解】（1）解：证明：四边形是菱形，，，是的中点，是的中位线，，，，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形；

（2）四边形是菱形，，由（1）得：，四边形是矩形，，，，是的中点，，

在中，由勾股定理得：，．

22.（9分）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米．建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．

（1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？

（2）该社区拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．

【解答】解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，

根据题意得：，解得：x＝3，经检验x＝3是原方程的解，所以3+2＝5，

答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；

（2）解法一：设建A摊位a个，建造这90个摊位的费用为y元，则建B摊位（90﹣a）个，

由题意得：y＝5a×40+3×30（90﹣a）＝110a+8100，∵110＞0，∴y随a的增大而增大，∵90﹣a≥3a，

解得a≤22.5，∵a为整数，∴当a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：110×22+8100＝10520；

解法二：设建A摊位a（a为整数）个，则建B摊位（90﹣a）个，由题意得：90﹣a≥3a，解得a≤22.5，

∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，

∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，

此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，

答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．

23.（9分）如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到AN，连接DN、MN、AC，MN与边AD交于点E，与AC相交于点O．

（1）求证：△ABM≌△ADN；

（2）当AM平分∠BAC时，求证：AM2＝AC•AE；

（3）当CM＝3BM时，求的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°，∴∠BAM+∠MAD＝90°，∵将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到AN，

∴∠MAN＝90°，AM＝AN，∴∠MAD+∠DAN＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，

∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，∴△ABM≌△ADN（ASA）；

（2）证明：∵△ABM≌△ADN，∵AM＝AN，∵∠MAN＝90°，∴∠MNA＝45°，∴∠BCA＝∠MNA，

∵AM平分∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝22.5°，∵∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∴∠CAM＝∠NAD，

∴△AMC∽△AEN，∴，∴AM•AN＝AC•AE，∴AM2＝AC•AE；

（3）解：∵CM＝3BM，∴设BM＝a，则CM＝3a，∴BC＝AB＝4a，∴AC＝4a，

∴AM＝＝a，∵将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到AN，∴∠MAN＝90°，AM＝AN＝a，∴DN＝＝a，∴CN＝CD+DN＝5a，∵tan∠CNM＝，∴，

∴∴DE＝a，∴AE＝a，∵BC∥AD，∴△CMO∽△AEO，∴＝＝＝．

24．（10分）如图，∆ABD内接于半径为5的⊙O，连结AO并延长交BD于点M，交圆⊙O于点C，过点A作AE//BD，交CD的延长线于点E,AB=AM.

(1)求证：∆ABM∽∆ECA.

(2)当CM=4OM时，求BM的长.

(3)当CM=kOM时，设∆ADE的面积为, ∆MCD的面积为，求的值(用含k的代数式表示).

【详解】解：(1)∵弧CD=弧CD，∴.∵，∴.

∴，∵弧AD=弧AD，∴，∴，

(2)连接BC，作，∵半径为5，∴.∵，∴，.∴.由图可知AC为直径，,得.

，解得.在中，，则.

∴.在中，.

(3)当，即，，，∵，∴，

∴.过M作,,(以AC为直径)，可知，

∴.

25．（10分）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标倍的点称为“一中点”，例如点，，，……，都是“一中点”．例如：抛物线上存在两个“一中点”，．

(1)在下列函数中，若函数图像上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图像上不存在“一中点”的打“×”．

①________；②________；③________．

(2)若抛物线上存在“一中点”，且与直线相交于点和，令，求的最小值；

(3)若函数的图像上存在唯一的一个“一中点”，且当时，的最小值为，求的值．

【详解】（1）解：（1）①当，解得；∴点在上

∴存在一中点：，故答案为：√

②当，解得，，

∴点和在上；

∴ 上存在两个“一中点”：和

故答案为：√

③当时，∵，∴该一元二次方程无实数根；

∴上不存在“一中点”，故答案为：×

（2）解：∵抛物线上存在“一中点”，

∴，整理得：，

由题意可知：，解得：

由一元二次方程根与系数的关系可知：

，，

∴，

∵当时，随的增大而减小；∴当时，有最小值；

此时，

（3）解：∵函数的图像上存在唯一的一个“一中点”

∴关于的方程有两个相等的实数根；

整理得：，∴，

∴，当时；存在时，有最小值，最小值为：，

∴，解得：；

当时，存在时，有最小值，最小值为：，∴；解得，（舍）；

当时，存在时，有最小值，最小值为：，∴，整理得：，该方程无实数根；

综上所述：的值为或。