必刷卷03——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（湖南株洲专用）

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2023年中考数学考前信息必刷卷03

数  学（株洲专用）

2023年株洲中考数学试卷共26题：10（选择题）+8（填空题）+8（解答题），根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：命题要求贯彻课程理念和教学要求，切合教学实际，不出偏题、怪题，引导减少死记硬背和“机械刷题”现象，切实减轻学生课业负担。注重试题素材与生活实践的紧密结合，注重考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，优化情境设计，增强试题开放性、灵活性，注重考查学科核心知识和通用方法，注重考查实验操作技能和学科精神，注重考查学生对学科知识结构体系的整体把握能力。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，预测：第18题可能会继续考查圆与多边形的综合题；第25题将会重点考查圆与相似三角形综合，本份试卷选取的是一道圆与射影定理相综合的模拟试题；第26题极大可能保持一个函数与几何相综合的压轴题，对运算能力和分析能力要求比较高。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．实数a的绝对值是，的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：∵，∴．故选：D．

2．下列各数：，，0，，其中比小的数是（　　）

A． B． C．0 D．

【答案】A

【详解】解：∵∣﹣4∣=4，4＞3＞2.8，∴﹣4＜﹣3＜﹣2.8＜0＜∣﹣4∣，∴比﹣3小的数为﹣4，

故选：A．

3．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：A：∵，∴，选项错误，不符合题意；

B：∵，∴，选项错误，不符合题意；

C：∵，∴（乘以负数，不等号方向改变），选项正确，符合题意；

D：，比如，，，选项错误，不符合题意；

故答案为C．

4．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：

关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的（）

A．方差是1 B．平均数是 C．中位数是5 D．众数是5

【答案】D

【详解】解∶这组数据的方差为，因此选项A不符合题意；

这组数据的平均数为吨，因此选项B不符合题意；

将这20户的用水量从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为吨，因此选项C不符合题意；

这组数据出现次数最多的是5吨，共出现8次，所以用水量的众数是5吨，因此选项D符合题意；

故选∶D．

5．下列计算正确的是（　    　）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：A，，故A不符合题意；B，，故B不符合题意；

C，，故C不符合题意；D，，故D符合题意．故选：D．

6．如图，直线经过点，，则不等式的解集是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：∵直线y=kx+b交x轴于A（-2，0），

结合函数图形可知不等式kx+b＞0解集对应直线在x轴上方部分图象上点的横坐标的集合；

∴不等式kx+b＞0的解集是x＞-2，故选：D．

7．用代入法解方程组使得代入后，化简比较容易的变形是（      ）

A．由①得 B．由①得

C．由②得 D．由②得

【答案】B

【详解】解：观察可知，由①得代入后化简比较容易．故选：B．

8．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（    ）

A．138° B．121° C．118° D．112°

【答案】C

【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O，∴ ，∵ ，∴，

∴，故选：C

9．如图，菱形中，对角线相交于点O，E为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ）

A．3.5 B．4 C．7 D．14

【答案】A

【详解】∵菱形的周长为28，∴，，∵为边中点，∴是的中位线，∴，故选：A．

10．二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【详解】解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；

②∵对称轴为直线x= =1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；

③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；④∵抛物线经过点，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点，∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），∴一元二次方程的两根分别为，5，故④正确，综上，上述结论中正确结论有①③④，故选：C．

二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

11．计算＝_____．

【答案】1

【详解】解：原式＝＝1．

12．分解因式：_________．

【答案】

【详解】解：．

13．有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是_________．

【答案】

【详解】解：根据题意列表如下：

共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，

所以P（抽取的两张卡片上的字母相同）＝＝．

14.知一组数据4，13，24的权数分别是，则这组数据的加权平均数是________。

【解答】加权平均数：一般地，若n个数x1，x2，...xn的权数分别是W1，W2，..，Wn，则叫做这n个数的加权平均数.故答案为17.

15．如图，PA，PB是的切线，A，B为切点．若，则的大小为______．

【答案】60°/60度

【详解】 PA，PB是的切线，A，B为切点， ， ，

，， 。故答案为：60°．

16．如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 _____．

【答案】

【详解】解：根据题意得：，∴，∵图象位于第二象限内，∴，∴该反比例函数的解析式为．故答案为：．

17．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．

【答案】36

【详解】解：∵正五边形ABCDE，∴∠ABC＝∠EAB==108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，

∴∠ACB＝∠BAC==36°，∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，∴DE∥AC，又∵DE＝AE＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE∥DF，

∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案为：36°．

18．如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．

【答案】

【详解】解：连接AC，OD，∵四边形BCD是正方形，∴∠B=90°，∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，

∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，∴∠PAO=∠PDO=90°，∴四边形AODP是矩形，∵OA=OD，

∴矩形AODP是正方形，∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，∴∠E=∠ACB=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，

∵AB=2，∴AC=2AO=2，DE=CD=2，∴AP=PD=AO=，∴PE=3，

∴图中阴影部分的面积

故答案为：5-π．

三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19．（6分）计算：

【答案】2

【详解】解：原式．

20．（8分）先化简，再求值：，其中．

【答案】；

【详解】解：原式 ，

当时，原式．

21．（8分）如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接、、．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若，，连接，求的长．

【详解】（1）证明：∵点为边中点，∴，∵，∴四边形是平行四边形，

∵，∴四边形是菱形；

（2）解：如图，连接，过点作于点，

∵，∴，∵四边形是菱形，∴∴，

∴四边形是矩形，∵，，∴，

∴，∵四边形是菱形，  ∴，

∴，∴，∵，是的中点，

∴，∴的长为．

22．（10分）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，是水平地面，其中是测温区域，测温仪安装在校门上的点处，已知，．

(1)___________度，___________度．

(2)学生身高米，当摄像头安装高度米时，求出图中的长度；（结果保留根号）

(3)为了达到良好的检测效果，测温区的长不低于米，请计算得出设备的最低安装高度是多少？（结果保留位小数，参考数据：）

【答案】(1)；；(2)米；(3)设备的最低安装高度是米。

【详解】（1）解：依题意，，∵，．∴，

∴；，故答案为：；；

（2）解：∵，∴，在中，，

∴米；

（3）解：∵，，∴,∴，

∴（米），∴设备的最低安装高度是米．

23.（10分）本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，将目标效果测试中第二类选考项目（足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项）的情况进行统计，并将统计结果绘制成统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：

(1)学校参加本次测试的人数有 　 　人，参加“排球垫球”测试的人数有 　 　人，“篮球运球”的中位数落在 　 　等级；

(2)今年参加体育中考的人数约为万人，你能否估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有多少人？若能，求出其人数；若不能，请说明理由；

(3)学校准备从“排球垫球”和“篮球运球”较好的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生演示动作，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．

【详解】（1）解：∵参加“篮球运球”测试的人数有（人），∴学校参加本次测试的人数有（人）．参加“排球垫球”测试的人数有（人）．

∵“篮球运球”的105个数据按从小到大排列后，第53个数据落在“良好”等级，∴“篮球运球”的中位数落在良好等级．故答案为：300；165；良好．

（2）解：能估计今年全市选择“篮球运球”的考生人数，（万人），∴今年全市选择“篮球运球”的考生大约会有万人．

（3）解：设两名男生和两名女生分别记为A，B，C，D，画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽取到一名男生和一名女生的结果有：，共8种，∴恰好抽取到一名男生和一名女生的概率为．

24.（10分）如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．

(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；

(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；

(3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．

【答案】(1)y=x+，y=；(2)△AOB的面积为；(3)1<x<3．

【详解】（1）解：将点A ( 1，2 )代入y =，得m=2，∴双曲线的表达式为： y=，

把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：y=，解得：，∴直线的表达式为：y=x+；

（2）解：联立 ，解得，或，∵点A 的坐标为（1，2）， ∴点B的坐标为

（3，）， ∵=，∴△AOB的面积为；

（3）解：观察图象可知：不等式kx+b>的解集是1<x<3．

25．（10分）如图，在中，，是的中点，经过、、三点，的延长线交于点.

（1）求证：；

（2）与相切于点，交的延长线于点.

 ①若，求的直径

②若，求.

【解答】（1）证明：连接DE，∵∠ABC＝90°∴∠ABE＝90°∴AE是⊙O直径∴∠ADE＝90°

∴DE⊥AC又∵D是AC的中点∴DE是AC的垂直平分线∴AE＝CE；

（2）解：在△ADE和△EFA中，∵∠ADE＝∠AEF＝90°，∠DAE＝∠FAE∴△ADE∽△EFA

∴即∴AE＝2cm；

（3）解：∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，∴∠ADE＝∠AEF＝90°∴Rt△ADE∽Rt△EDF

∴∵，AD＝CD∴CF＝nCD∴DF＝（1+n）CD∴DE＝CD

在Rt△CDE中，CE2＝CD2+DE2＝CD2+（CD）2＝（n+2）CD2

∴CE＝CD∵∠CAB＝∠DEC∴sin∠CAB＝sin∠DEC＝＝＝．

26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（ ，0），C（，0），且，直线 轴，在 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当0＜t≤8时，求 APC面积的最大值；

（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．

【详解】解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，∴x1+x2=8，由，解得：

∴B（2，0）、C（6，0），则4m﹣16m+4m+2=0，解得：m=， ∴该抛物线解析式为：y=；．

（2）可求得A（0，3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵，∴；

∴直线AC的解析式为：y=﹣ x+3，要构成 APC，显然t≠6，分两种情况讨论：

当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），

∵P（t，），∴PF=，∴S△APC=S△APF+S△CPF=

==，此时最大值为：，

②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，

∴S△APC=S△APF﹣S△CPF===，

当t=8时，取最大值，最大值为：12，

综上可知，当0＜t≤8时， APC面积的最大值为12；

（3）如图，连接AB，则AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），

①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，若：，则：，即：，

∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=2（舍），

②当t＞6时， =t，，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，

∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=14，

∴t=或t=或t=14。