初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明4 角平分线一课一练

北师大版数学八年级下册课时练习

1.4《角平分线》

一              、选择题

1.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是(　　)

A.PQ＞5        B.PQ≥5         C.PQ＜5       D.PQ≤5

2.如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是(      )

A.PC＝PD     B.∠CPD＝∠DOP    C.∠CPO＝∠DPO    D.OC＝OD

3.如图，用直尺和圆规作∠AOB的角平分线，能得出射线OC就是∠AOB的角平分线的根据是(　　)

A.SSS         B.SAS         C.ASA         D.AAS

4.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是(      )

A.线段CD的中点

B.OA与OB的垂直平分线的交点

C.OA与CD的垂直平分线的交点

D.CD与∠AOB的平分线的交点

5.如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在(　　)

A.AC，BC两边高线的交点处

B.AC，BC两边中线的交点处

C.AC，BC两边垂直平分线的交点处

D.∠A，∠B两内角平分线的交点处

6.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于(      )

A.1：1：1                      B.1：2：3                    C.2：3：4                        D.3：4：5

7.如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝(   )

A. 6         B. 3         C. 2         D. 1.5

8.如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝70°，则∠BPC的度数为(        )

A.25°                       B.30°                        C.35°                        D.40°

二              、填空题

9.如图，已知OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点.若PA＝2，则PQ的最小值为　　，理论根据为　　          .

10.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45cm2，AB＝16cm，AC＝14cm，则DE＝　　　　　　.

11.如图，在△ABC中，已知AD是角平分线，DE⊥AC于E，AC＝4，S△ADC＝6，则点D到AB的距离是________.

12.如图，△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝8cm，BC＝6cm，S△ABC＝14cm2，则DE的长是         cm.

13.三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线     一点，且该点在三角形     部.

14.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，

则下列结论：

①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AB＋AC＝2AE中正确的是         .

三              、作图题

15.如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等。请用尺规作图作出点P(不写作法，保留作图痕迹).

四              、解答题

16.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF.

求证：(1)△BED≌△CFD；

(2)AD平分∠BAC.

17.已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.

求证：AB＝AC.

18.如图，AC平分∠BCD，AB＝AD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F. 

(1)若∠ABE＝60°，求∠CDA的度数.

(2)若AE＝2，BE＝1，CD＝4.求四边形AECD的面积.

19.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.

(1)求证：∠EFA＝90°﹣∠B；

(2)若∠B＝60°，求证：EF＝DF.

20.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD.

(1)求证：△BCE≌△DCF；

(2)求证：AB＋AD＝2AE.

参考答案

1.B

2.B

3.A.

4.D

5.C

6.C

7.D.

8.C

9.答案为：2，角平分线上的点到角两边的距离相等.

10.答案为：3.

11.答案为：3.

12.答案为：2.

13.答案为：相交于，外.

14.答案为：①②④.

15.解：如图所示：

16.证明；(1)∵D是BC的中点，

∴BD＝CD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

在Rt△BED和Rt△CFD中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，

(2)∵Rt△BED≌Rt△CFD，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC，

又∵D为BC的中点，

∴AD平分∠BAC..

17.证明：在Rt△BOF和Rt△COE中，

，

∴Rt△BOF≌Rt△COE，

∴∠FBO＝∠ECO，

∵OB＝OC，

∴∠CBO＝∠BCO，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC.

18.解：(1)∵AC平分∠BCD，AE⊥BC AF⊥CD， 

∴AE＝AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE＝AF，AB＝AD.

∴Rt△ABE≌Rt△ADF，

∴∠ADF＝∠ABE＝60°，

∴∠CDA＝180°﹣∠ADF＝120°；

(2)由(1)知：Rt△ABE≌Rt△ADF， 

∴FD＝BE＝1，AF＝AE＝2，CE＝CF＝CD＋FD＝5，

∴BC＝CE＋BE＝6，

∴四边形AECD的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积＝10.

19.证明：(1)∵∠BAC＋∠BCA＝180°﹣∠B，

又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA，

∴∠FAC＋∠FCA＝×(180°﹣∠B)＝90°﹣∠B，

∵∠EFA＝∠FAC＋∠FCA，

∴∠EFA＝90°﹣∠B.

(2)如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M.

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴FG＝FH＝FM，

∵∠EFH＋∠DFH＝120°，

∠DFG＋∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，

∴∠EFH＝∠DFG，

在△EFH和△DFG中，

，

∴△EFH≌△DFG(AAS)，

∴EF＝DF.

20.证明：(1)∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，

在Rt△BCE和Rt△DCF中，

∴△BCE≌△DCF；

(2)解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴∠F＝∠CEA＝90°，

在Rt△FAC和Rt△EAC中，

，

∴Rt△FAC≌Rt△EAC，

∴AF＝AE，

∵△BCE≌△DCF，

∴BE＝DF，

∴AB＋AD＝(AE＋BE)＋(AF﹣DF)＝AE＋BE＋AE﹣DF＝2AE.