2023年广东省深圳市南山外国语学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省深圳市南山外国语学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，是负数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是九章算术中“堑堵”的立体图形，它的左视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  深圳盐田半程马拉松于年月日在深圳市盐田区举行，以盐田区行政文化中心广场为起点，以大梅沙海滨公园为终点，全程大约米，请用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  九班一合作学习小组有人，初三上期数学期中考试成绩数据分别为、、、、、、则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列命题是真命题的是(    )

A. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是且
C. 若关于的一元一次不等式组无解，则的范围是
D. 若点是线段的黄金分割点，则

8.  在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法正确的是(    )

A. 密度随体积的增大而增大
B. 密度和体积的关系式为
C. 密度时，体积的范围为
D. 体积时，密度的范围为
 

9.  如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点若，面积为，则长度的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论；
中正确的是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：        ．

12.  若与互为相反数，则的值是______ ．

13.  如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是______ ．

14.  如图，某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，此时无人机在高地面米的点处，操控者站在点处，无人机测得点的俯角为测得教学楼楼顶点处的俯角为，操控者和教学楼的距离为米，则教学楼的高度是______ 米

15.  如图，在一次数学实践课中，某同学将一块直角三角形纸片的三个顶点放置在反比例函数的图象上且过点，点是边上的中点，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算；．

17.  本小题分
先化简，再求值；，其中．

18.  本小题分
随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据所给的信息解答下列问题：
这次活动共调查了______ 人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为______ ；
将条形统计图补充完整；
小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

19.  本小题分
清明是二十四节气之一，也是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗清明节前市场上肉松蛋黄青团比芝麻青团的进价每盒便宜元，某商家用元购进的芝麻青团和用元购进的肉松蛋黄青团盒数相同在销售中，该商家发现芝麻青团每盒售价元时，每天可售出盒，当每盒售价提高元时，每天少售出盒．
求芝麻青团和肉松蛋黄青团的进价；
已知芝麻青团每盒的售价不高于元，表示该商家每天销售芝麻青团的利润单位；元，芝麻青团每盒售价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？

20.  本小题分
如图，点在以为直径的上，点是的中点，连接并延长交于点，作，交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

21.  本小题分
请阅读下列解题过程；解一元二次不等式；．
解；设，解得；，．
则抛物线与轴的交点坐标为和．
画出二次函数的大致图象如图所示．
由图象可知；当时函数图象位于轴下方，
此时，即．
所以一元二次不等式的解集为：．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
用类似的方法解一元二次不等式；．
某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下；
列表；与的几组对应值如表，其中 ______ ．

如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
结合函数图象，解决下列问题；不等式的解集为：______ ．
 

22.  本小题分
已知矩形，点为直线上的一个动点点不与点重合，连接，以为一边构造矩形按逆时针方向排列，连接．
如图，当时，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系；
如图，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由；
如图，在的条件下，连接，，分别取线段，的中点，，连接，，，若，，请直接写出的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、既不是正数也不是负数，本选项不符合题意；
B、是负数，本选项符合题意；
C、是正数，本选项不符合题意；
D、是正数，本选项不符合题意；
故选：．
根据有理数的分类，进行判断即可．
本题考查有理数的分类．熟练掌握有理数的分类，是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：

故选：．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：这组数从小到大排列为：、、、、、、，
这组数据的中位数是，
故选：．
把这组数从小到大排列，找出中间的数即可．
本题考查了计算一组数据的中位数的知识，掌握找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
B、本选项不符合题意；
C、本选项不符合题意；
D、本选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘法则，积的乘方法则，负整数指数幂及同底数幂相除法则计算判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除，积的乘方，负整数指数幂，正确掌握以上知识是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，
又，
，
又，
，
．
故选：．
在中，由两角互余得，根据直线得，再由三角形外角的性质即可求解．
本题综合考查了平行线的性质，三角形的外角的性质等相关知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形的外角的性质等知识．
 

7.【答案】 

【解析】解：三角形的内心到三角形三边的距离相等，原命题是假命题，故此选项不符合题意；
B.当时，方程为，方程有一个实数根；当时，关于的方程有实数根，则，解得：，综上所述，的取值范围是，原命题是假命题，故此选项不符合题意；
C.若关于的一元一次不等式组无解，则的范围是，原命题是真命题，故此选项符合题意；
D.若点是线段的黄金分割点且，则，原命题是假命题，故此选项不符合题意．
故选：．
利用三角形的内心的性质，一元二次方程根的判别式，一元一次不等式组的解法，黄金分割的概念进行判断即可．
本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．掌握三角形的内心的性质，一元二次方程根的判别式，一元一次不等式组的解法，黄金分割的概念是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：观察图象，密度是体积的反比例函数，且经过点，
设反比例函数的关系式为，则，
函数关系式为，
A、密度随体积的增大而减少，原说法错误，本选项不符合题意；
B、密度和体积的关系式为，原说法错误，本选项不符合题意；
C、密度时，体积的范围为，正确，本选项符合题意；
D、体积时，密度的范围为，原说法错误，本选项不符合题意；
故选：．
求得反比例函数的关系式，根据反比例函数的性质解答即可．
本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求得比例函数的关系式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，交直线于点，设交于点，
由题意得，直线为线段的垂直平分线，
，，
当点与点重合时，长度最小，最小值即为的长．
，为的中点，
，
，面积为，
，
解得．
故选：．
连接，交直线于点，设交于点，当点与点重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可．
本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称最短路径问题是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：延长至，使，

四边形是正方形，
，，
≌，
，，，
，
，即，
又，
≌，
，正确；
，
，
，正确；
设，
为中点，
，
，，
在中，由勾股定理得，
解得，即，不正确；
，，
，
又，
∽，
，
，
，
，正确；
综上，正确的有，
故选：．
延长至，使，证明≌，推出，，，利用证明≌，可判断；利用余角关系可判断；在中，由勾股定理计算可判断；证明∽，利用相似三角形的性质可判断．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
，
故答案为：．
利用互为相反数两数之和为列出等式，再利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解即可得到与的值．
此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，设点上方个单位的格点为，
连接、，根据圆周角定理可得，

每个小正方形的边长都是，点、、均在网格交点上，
，，
，
故答案为：．
根据圆周角定理将转换到直角三角形中，即可求得的值．
本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数等知识点，将根据圆周角定理转换到直角三角形中是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，过点作于，

由题意得，，，，
在中，，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，
在中，，
，
，
米．
教学楼的高度为米，
故答案为：
过点作于，过点作于，根据正切的定义求出，根据题意求出，根据等腰的性质求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
经过原点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
设，则，，

解得，
，则，，
作轴于，轴于，
，
而，
，
，
，，
，
故答案为．
连接，易证得是等边三角形，得到，故设，则，，根据得到，求得，即可得到、、的坐标，进而求得的面积，即可得到．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的判定和性质，求得、、的坐标是解题的关键．
 

16.【答案】解：

． 

【解析】分别利用绝对值的性质、求特殊角的三角形函数值、二次根式的乘法法则及负整数指数幂的运算法则进行化简计算，再合并即可得出结果．
本题考查了绝对值、特殊角的三角形函数值、二次根式的乘法及负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题的关键．
 

17.【答案】解：


，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解，注意：代入的数值要使分式有意义．
 

18.【答案】   

【解析】解：人，
所以这次活动共调查了人；
在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数；
故答案为：，；
用公交卡支付的人数为人，
用现金支付的人数为人，
条形统计图补充为：

小明和小亮用甲和乙表示，“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式分别用，，，表示，画树状图如下：

由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的有种结果，所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
用支付宝、微信和其它支付的人数除以它们所占的百分比的和得到调查的总人数，然后用乘以喜欢用微信的人数的百分比得到“微信”支付的扇形圆心角的度数；
先计算出用公交卡和现金支付的人数，然后补全条形统计图；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一种支付方式的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

19.【答案】解：设芝麻青团的进价为每盒元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的根，
此时，
答：芝麻青团的进价为每盒元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒元；
设芝麻青团每盒售价元，
根据题意得：，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为，
芝麻青团每盒售价为元时，一天获得利润最大，最大利润是元． 

【解析】设芝麻青团的进价为每盒元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒元，根据商家用元购进的五仁月饼和用元购进的豆沙月饼盒数相同列出分式方程，解方程即可；
由题意得，当时，每天可售出盒，设芝麻青团每盒售价元，则每天可售盒，列出每天销售芝麻青团的利润与芝麻青团每盒售价元的函数关系式，根据二次函数的性质及的取值范围求利润的最大值．
本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售芝麻青团的利润与芝麻青团每盒售价的函数关系式．
 

20.【答案】解：证明：为直径，
，
又为中点，为中点，
故，，
．
，
，
又，，
，
又，
．
，
，
．
又为半径，
故是的切线．
，
由得，
又，
．
，，
．
，即，
．
．
故的半径为． 

【解析】由为直径，可得，又为中点，为中点，可得，从而由得，又，，所以，又，得又，从而可得，即则可证为切线；
由可得，从而，可证明，从而得比例，解得，最后由勾股定理可求半径．
本题属于主要考查了圆周角定理，三角形中位线性质定理，等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点．
 

21.【答案】  或 

【解析】解：设，
解得；，，
则抛物线与轴的交点坐标为和，
画出二次函数的大致图象如图所示，

由图象可知；当时函数图象位于轴上方，
此时，即，
所以一元二次不等式的解集为：；
当时，，即
列表；
 

故答案为：；
描点，连线，函数图象如图：

由图象可知；由图象可知：当或时函数的图象位于与之间，此时，即．
一元二次不等式的解集为：或．
故答案为：或．
依照例题，先求得的解，再画出的草图，观察图象即可求解；
当时，代入数据求解即可；
描点，连线，即可画出函数图象；
观察图象即可求解．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意得：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
≌，
，，
，
，
；
，，理由如下：
由得：，
，
∽，
，，
，
，
；
如图，

作于，
，
设，，
在中，
，
，，
在中，
，
，
，
，
，
，
由得：，，
，
，
在和中，点是的中点，点是的中点，
，
，
≌，
是的中位线，
，
∽，
，
． 

【解析】证明≌，进一步得出结论；
证明∽，进一步得出结论；
解斜三角形，求得，根据可得，从而得出三角形的面积，可证得≌，与的面积比等于：，进而求得结果．
本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是类比的方法．