2023年山东省济宁市微山县中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省济宁市微山县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，，，垂足为，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  不等式组，的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  分式化简结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  现规定：，例如，则方程的根的情况为(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 必有一个正数根

8.  二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )
 

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接并延长交于点，当时，弧的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，已知是正方形中边延长线上一点，且，连接和，与交于点，是的中点，连接交于点，连接有如下结论：；∽；；其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：______．

12.  一个不透明的盒子中装有个黑球和个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一个球是黑球的概率为______ ．

13.  如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则的长为______ ．

14.  如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，则的面积是______ ．

15.  为出行方便，近日来越来越多的市民使用起了共享单车，图为单车实物图，图为单车示意图，与地面平行，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，坐垫可沿射线方向调节已知，，，车轮半径为，小明体验后觉得当坐垫离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为______ 结果精确到，参考数据：，，
 

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一外型、型号、颜色等其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机调查了部分学生，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
此次共随机调查了______ 名学生，扇形统计图中“红“所在扇形的圆心角的度数为______ 度，补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
若该校有名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到灰色收集桶的人数；
李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图或列表法求出恰好抽中，两人的概率．

18.  本小题分
如图，中，．
读下列语句，完成作图要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：
过点作；
在上取一点点在点的右侧，使点到边，所在直线的距离相等．
若，，求点到的距离．

19.  本小题分
某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现，日销量件是售价元件的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润元的四组对应值如表，此外，该网店每日的固定成本折算下来共元【注】日销售纯利润日销售量售价进价每日固定成本．

求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
求当售价是多少时，日销售纯利润最大？

20.  本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，且平分，是的切线．
求证：；
若的半径为，，求线段的长度．

21.  本小题分
阅读材料：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：比如指数式可以转化为，对数式可以转化为我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下：设，，则，，，由对数的定义得又，
解决问题：将指数转化为对数式______ ；
证明；
拓展运用：计算：

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，顶点为点．

当时，直接写出点，，的坐标；
如图，直线交轴于点，若，求的值及直线的解析式；
如图，在的条件下，若点为的中点，连接，动点在第一象限的抛物线上运动，过点作轴的垂线垂足为，交于点，交直线于点，过点作，垂足为是否存在与和的最大值？若存在，求出与和的最大值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的数是，
故选：．
正数大于，负数小于，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
本题考查了有理数的比较大小，注意两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
B.是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据中心对称和轴对称图形的定义即可解答．
本题主要考查了中心对称和轴对称图形的定义，中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定值，写成的形式即可．
本题考查了绝对值小于的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定值，确定这两个关键要素是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
根据，得到，根据，即可得的度数．
本题考查了平行线的性质，垂线，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
由得，；
由得，，
故此不等式组的解集为．
在数轴上表示为：

故选：．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：





．
故选：．
利用分式加减乘除混合运算计算即可．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
方程 可变形为：，
，
原方程没有实数根，
故选：．
先根据定义得到关于的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．
本题主要考查了新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应用是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键．
根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】
解：二次函数图象开口方向向下，
，
对称轴为直线，
，
与轴的负半轴相交，
，
的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数图象在第二、四象限，
只有选项图象符合．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，将绕点逆时针旋转，得到，
，，
，，，
四边形是菱形，，
，
解得，，
，，
，，
弧的长是，
故选：．
连接，判定四边形是菱形，，得到，，结合，得到，代入弧长公式计算即可．
本题考查了旋转的性质，菱形的判定和性质，余弦三角函数，弧长公式，熟练掌握旋转的性质，菱形的判定和性质，余弦三角函数，弧长公式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：正方形，，
，，
∽，
，
，
故正确；

正方形，，
，，
，，
是的中点，
，
，
，
，，，
，，
∽，
故正确；

∽，
，
过点作于点，

，，
，
，
，
故错误；

，
，
，，
，
是的中点，
，
设，则，，
，
故正确；
故选：．
证明∽可判定正确；运用两边对应成比例及其夹角相等可判定；根据∽得到，过点作于点，根据三角函数可判定；根据，设，则，可判定．
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中线的性质，锐角三角函数，熟练掌握相应的知识是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
首先提取公因式，再进一步运用平方差公式进行因式分解．
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．
一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，得随机摸出一个球是黑球的概率为．
故答案为：．
根据简单概率计算求解即可．
本题考查了概率公式，正确掌握计算方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：矩形，，正方形和矩形，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，
，
设，则，
根据题意，得，
解得．
故答案为：．
设，则，根据题意，得计算即可．
本题考查了矩形的性质，正方形的性质，弧长公式，圆锥侧面展开，熟练掌握上述知识是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点是的中点，
，，
，
点是双曲线上一点，，
，
的面积是，
故答案为：．
根据中线与三角形的面积关系，结合反比例函数的几何意义计算即可．
本题考查了反比例函数的几何意义，三角形中线的性质，熟练掌握的几何意义，三角形中线的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作，交于，交地面于，

由题意可知，当时，，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
过点作，交于，交地面于，构造直角三角形，利用三角函数，求出，再用减去即可．
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，将所给角放到直角三角形中是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
 

【解析】先根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、立方根、特殊角的三角函数值等考点的运算．
 

17.【答案】   

【解析】解：人，
，
故答案为：，．
绿色的人数为：人，补图如下：
．
该校学生将用过的餐巾纸投放到灰色收集桶的人数：人．
画树状图如下：

抽中，两人的概率是．
根据样本容量频数所占百分数，求得样本容量后，利用扇形统计图的意义计算圆心角，计算出绿色的学生数，完善统计图即可．
利用样本估计总体的思想计算即可．
利用画树状图计算即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．
 

18.【答案】解：根据尺规作图画图如下：则即为所求．

过点作于点，在中的作图上，作，，

在和中，
，
≌，
，，画图如下，
则点即为所求．

如图，过点作于点，过点作于点，

，，
，
，
，
，
解得．
故点到的距离是． 

【解析】利用同位角相等，两直线平行解决问题即可；先作出平行线间的高，再构造全等三角形即可．
过点作于点，根据勾股定理得到，根据计算即可
本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：设一次函数解析式为，
把，代入解析式，得，
解得，
故一次函数的解析式为．
设进价为元，根据题意，得，
解得，
根据题意，得，
故当元时，有最大值．
答：当售价是时，日销售纯利润最大． 

【解析】设一次函数解析式为，选，代入求解即可．
设进价为元，根据求得，由此列式构造二次函数求最值即可．
本题考查了一次函数解析式的确定，二次函数的最值，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，如图所示：

是的切线，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，即；

解：连接，如图所示，
为的直径，
，
的半径为，，即，
，
，
在中，． 

【解析】连接，根据题意易得，，则有，然后问题可求证；
连接，由题意易得，然后根据勾股定理可得，则有，进而问题可求解．
本题主要考查切线的性质、圆周角的性质及三角函数，熟练掌握切线的性质、圆周角的性质及三角函数是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故答案为：．
设，，则，，
，由对数的定义得．
又，
．




．
根据新定义公式计算即可．
仿照乘法的证明去解答即可．
根据公式依次计算即可．
本题考查了新定义运算，正确理解新运算法则是解题的关键．
 

22.【答案】解：把代入抛物线得，
令时，则，
则，，
点在点的左侧，
，
令时，则，即，
当时，
则，
，
综上，点，，；
过点作于点，过点作于点，如图所示：

，
，
，
，
由可知顶点，
令时，则，即，
，，
，，
，
解得：，
，
设直线的解析式为，
则有：，
解得：，
直线的解析式为；
存在，理由如下：
由可知：直线的解析式为，，，
，，
令时，则，
解得：，，
，
点为的中点，
，
设直线的解析式为，
则有：，
解得：，
直线的解析式为，
，，
，即，
，
，
设，即，则有，
，，
，
，
，且，
综上所述，存在，当时，有最大值，最大值即为． 

【解析】把代入抛物线解析式得，然后问题可求解；
过点作于点，过点作于点，由题意易得顶点，，则有，，然后根据三角函数可求的值，进而根据待定系数法求解直线的解析式即可；
由可知二次函数的解析式为，则有，，然后可得直线的解析式为，设，则有，进而可得，则可得，最后根据二次函数的性质可进行求解．
本题主要考查二次函数与几何的综合及解直角三角形，熟练掌握二次函数与几何的综合及解直角三角形是解题的关键．