2022-2023学年安徽省合肥市蜀山区琥珀中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市蜀山区琥珀中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥市蜀山区琥珀中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点和点间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是(    )A. 勾股定理
B. 三角形内角和定理
C. 勾股定理的逆定理
D. 直角三角形的两锐角互余3.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(    )A. 三内角之比为：： B. 三边长之比为：：
C. 三内角之比为：： D. 三边长的平方之比为：：5.  估算的结果(    )A. 在和之间 B. 在和之间 C. 在和之间 D. 在和之间6.  如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为，点，，均为格点，以点为圆心，长为半径作弧，交格线于点，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小小同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中据此规律，当时，的值是(    )  A.  B.  C.  D. 8.  若一元二次方程有解，则的取值范围是(    )A.  B.  C. 且 D. 且9.  空地上有一段长为米的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园如图，已知木栅栏总长为米，所围成的长方形菜园面积为平方米若，，则(    )A. 有一种围法 B. 有两种围法
C. 不能围成菜园 D. 无法确定有几种围法10.  勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一如图，以的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作，左下不重叠部分的面积记作，若，则的值是(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  二次根式有意义，则的取值范围是          ．12.  计算 ______ ．13.  如图是某路口草坪的一角，当行走路线是时，有人为了抄近道在草坪内走出了一条不该有的“捷径”某学习实践小组通过测量得的长约为米，的长约为米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在，处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌则提示牌上的“多行数步”是指多行______ 米14.  设，是方程的两个根，则 ______ ．15.  如图，正方体盒子的棱长为，为的中点，现有一只蚂蚁位于点处，它想沿正方体的表面爬行到点处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为______ ．
 16.  已知实数，且满足，请解决下列问题：
当时，的值为______ ；
当时，的值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：
；
．18.  本小题分
解方程：
；
．19.  本小题分
为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．
求出空地的面积；
若每种植平方米草皮需要元，问总共需投入多少元？
20.  本小题分
阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道，
例题：求的值．
解：设，两边平方得：
，
即，，
．
，．
请利用上述方法，求的值．21.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
若方程有两个实数根、，且，求的值．22.  本小题分
一款服装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件．
设每件衣服降价元，则每天销售量增加______ 件，每件商品盈利______ 元用含的代数式表示；
在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元；
商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．23.  本小题分
中，，是边上一点，连接，将沿翻折得，连接．
请根据题意，在图中补全图形；
求证是直角三角形；
若，，求的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 2.【答案】 【解析】解：若，
则是直角三角形，且，
故选：．
由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，即可得得出结论．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：、，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的乘法，加法，减法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：、三内角之比为：：，最大内角是，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、三内角之比为：：，最大内角是，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、三边长的平方之比为：：，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
．
故选：．
先估算出的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了勾股定理；由勾股定理求出是解决问题的关键．
由勾股定理求出，即可得出的长．
【解答】
解：连接，如图所示：

，
，
；
故选：．  7.【答案】 【解析】解：由表格中的数据得：，，
，
当时，，
．
故选：．
满足的三个正整数，称为勾股数；由表格中的规律，得到，由，即可求出的值．
本题考查勾股数，关键是掌握表格中数的变化规律．
 8.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有解，
且，
解得且，
故的取值范围且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质列出算式，计算即可求解．
本题考查的是一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 9.【答案】 【解析】解：如图所示，设矩形的边为米，则宽为米，

根据题意得：，
即：，
解得：，，
而，
，

所以只有一种围法，
故选：．
设矩形的边为米，则宽为米，根据矩形面积公式列方程，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：设的直角边，，．
，
面积为的矩形的长和宽分别是，，
，
面积为的正方形的边长是，
，
，
，
，
．
故选：．
设的直角边，，得到，，由完全平方公式，勾股定理，即可求解．
本题考查勾股定理，完全平方公式，多项式的乘法，关键是应用勾股定理，完全平方公式进行计算．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，得，
解得，；
故答案为：．  12.【答案】 【解析】【分析】
直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【解析】
解：原式
．
故答案为：．  13.【答案】 【解析】解：在中，，米，米，
米，
米，
提示牌上的“多行数步”是指多行米，
故答案为：．
由勾股定理求出米，即可解决问题．
本题主要考查勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：由题意知，，，



．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入求值即可．
本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
正方体的棱长为，为的中点，
，，，
由勾股定理得，
答：蚂蚁需爬行的最短路程为，
故答案为：．
先把图中展开，根据勾股定理求出的长即可．
此题考查了平面展开最短路径问题，以及线段的性质：两点之间线段最短，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解．
 16.【答案】   【解析】解：，，
，，
，
，
，
，是一元二次方程的两个根，
，
故答案为：；
，，
，，
，
，
，是一元二次方程的两个实数根，且，
，，
，
，
故答案为：．
根据，，可知，，进一步可知，是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系求解即可；
根据，，，，进一步可知，是一元二次方程的两个实数根，且，根据根与系数的关系可得，，从而可得的值，进一步计算即可．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
 17.【答案】解：

；




． 【解析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
先根据二次根式的乘法法则进行计算，再算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 18.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，即，
，
，． 【解析】利用因式分解法求解即可；
利用配方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 19.【答案】解：连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，
则，


平方米；
答：空地的面积平方米；
需费用元，
答：总共需投入元． 【解析】连接，在直角三角形中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到三角形为直角三角形，四边形面积等于三角形面积三角形面积，求出即可；
由求出的面积，乘以即可得到结果．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
 20.【答案】解：设，
则，
，
，
． 【解析】根据给定的方法求解即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
 21.【答案】证明：

，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
解：由根与系数的关系得出：，，
由得：，
解得：． 【解析】根据根的判别式得出，据此可得答案；
根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
 22.【答案】   【解析】解：设每件衣服降价元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，；
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又需要让利于顾客，
．
答：每件服装降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利元；
商家不能达到平均每天盈利元，理由如下：
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
，
此方程无解，
即不可能每天盈利元．
根据每件服装降价元，那么平均每天可多售出件，可得结论；
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合需要让利于顾客，即可得出每件服装应降价元；
商家不能达到平均每天盈利元，设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出此方程无解，即不可能每天盈利元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
 23.【答案】解：补全图形如下：

证明：，
，
根据折叠的性质，可得，
，
是直角三角形；
设，
，，
，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
，，
，，
，
，
，
根据折叠的性质，可得，
在中，根据勾股定理，得． 【解析】根据题意补全图形即可；
根据折叠的性质，可得，根据，即可得证；
设，在中，根据勾股定理列方程，求出的值，可得，根据折叠的性质可得，再根据勾股定理可得的长．
本题考查了翻折变换折叠问题，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．