专题14 将军饮马问题-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（原卷版）

专题14 将军饮马问题

模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。问如何行走才能使总的路程最短。

模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。

模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。

方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’ P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’ P’’的长。

模型四 如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。

方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’ Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。

模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。

模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值

方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。

模型六：已知点P在直线AB、BC的内侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值

方法：如右图，作点P关于直线AB的对称点P’，过点P’作P’N⊥BC，垂足为点N，P’N与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’N的长。

模型五、模型六的理论依据：垂线段最短。

模型七（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值

方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB

模型八（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’

模型七、模型八的理论依据：在三角形中两边之差小于第三边。

模型九 在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最小值。

方法：如右图，作线段AB的垂直平分线与直线L相交于点P，|PA-PB|最小值为0。

模型九的理论依据：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。

模型十：如图，一条宽度相同的河流两侧有A、B两个营地，将军令下属在河流间搭建一座垂直于河岸的桥梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何处搭建桥梁才能完成任务呢？

方法：如右图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A’，连接A’B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B+MN

模型十一：线段MN在直线L上可移动，且MN=a，当MN移动到什么位置时，求AM+MN+NB最小值。

方法：如右图，将点A向右平移a个单位长度得点A’，作B关于直线L的对称点B’，连接A’B’，交直线L于点N，将点N向左平移a个单位长度得点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B’+MN

模型十、十一的理论依据：平行四边形的性质+两点之间线段最短。

【培优训练】

1．（2022秋·广东韶关·八年级校考期中）如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________．

2．（2022·广东·九年级专题练习）已知点，，在x轴上的点C，使得最小，则点C的横坐标为_______．

3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．

4．（2021秋·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____．

5．（2022春·浙江台州·八年级校考开学考试）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．

6．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．

7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，∠AOB＝45°，角内有一点P，PO＝10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是____；当△PQR周长最小时，∠QPR的度数＝__．

8．（2019·黑龙江伊春·统考中考真题）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．

9．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，在中，，，的面积为12，的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为______．

10．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________．

11．（2021秋·山东济南·八年级济南市章丘区实验中学校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是_____．

12．（2021秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，若有一点，当的值最小时， ________．

13．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P．

（1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号）

（2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹）

14．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）．

15．（2021秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块儿指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路的值最小．

(1)请在图中画出最短路径，标出点P的位置；

(2)证明这时最小．

16．（2020秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．

（1）画出△ABC关于直线MN对称的．

（2）若B为坐标原点，请写出、、的坐标，并直接写出的长度．．

（3）如图2，A，C是直线同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使最小．（保留作图痕迹）

17．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点．

（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；

（2）若点P为AB的中点，当∠BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由．

18．（2021春·河北承德·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．

（1）在图中作出关于轴的对称图形；

（2）写出点，，的坐标，并求出的面积；

（3）若在轴上存在点使最小，则点的坐标为______．

19．（2023秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴交于两点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，？

(3)设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，点为的中点，点、分别为轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接、、，求四边形周长最小时点、的坐标．

21．（2021春·云南红河·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，矩形纸片AOBC按如图方法放置，点A、B分别在y轴和x轴上，已知OA=2，OB=4，点D在边AC上，且AD=1．

解答下列问题．

（1）点C的坐标为 _______；

（2）在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最短，求出点E的坐标及直线CE的解析式．

（3）在平面直角坐标系内是否存在点P，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

22．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、、，点、分别是直线和轴上的动点，求周长的最小值．

23．（2022·江苏泰州·校考模拟预测）直线和双曲线交于点，．

(1)求，，的值；

(2)在坐标轴上有一点，使的值最小，直接写出点的坐标．

24．（2021·全国·九年级专题练习）如图，正方形的边长为4，、为对角线上的动点，且，连接、，求周长的最小值．

25．（2022秋·八年级课时练习）（1）【问题解决】已知点在内，过点分别作关于、的对称点、.

①如图1，若，请直接写出______；

②如图2，连接分别交、于、，若，求的度数；

③在②的条件下，若度（），请直接写出______度（用含的代数式表示）.

（2）【拓展延伸】利用“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3，在中，，点是内部一定点，，点、分别在边、上，请你在图3中画出使周长最小的点、的位置（不写画法），并直接写出周长的最小值.

26．（2021·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；

(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

27（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________．

28．（2021秋·广东中山·九年级广东省中山市黄圃镇马新初级中学校考期中）已知，抛物线，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．

（1）求的长度和点D的坐标；

（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，求出的值最小时P点的坐标；

（3）点M是第三象限抛物线上一点，当最大时，求点M的坐标，并求出的最大值．

29．（2022·浙江衢州·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．

(1)求证：MD是⊙O的切线；

(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；

(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．