专题15 海盗埋宝模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（原卷版）

这是一份专题15 海盗埋宝模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（原卷版），共13页。
专题15 海盗埋宝模型 (3种证明方法)  模型文字概述：从前，某海盗头带着众海盗，用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上。他们要把这些财物埋下。因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了。但他们发现，岛上有三棵树，一棵是A，一棵是B，一棵是C。海盗头对一个水手说：“从A到B拉一根绳子，然后从B出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度。这一点叫做1号地点。”水手这样做了。
　　海盗头又对另一个水手说：“从A到C拉一根绳子，然后从C出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度。这一点叫做2号地点。”第二个水手也这样做了。
　　等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了。
　　过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷地串通好了海盗头的小侍从，两个人回到岛上。可谁知，A被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树还在。水手非常懊恼，觉得他们的美梦要落空了。可是，小侍从却很聪明，他说：“别急，没有A，我一样能把财宝找出来！”
　　只见小侍从找到了另外两棵树连线的中点，过中点作了一条该连线的垂线，沿着该垂线在向岛内走出两棵树连线一半的距离，这时小侍从对水手说：“这儿就是藏宝的地点，我们快挖吧！”
　　水手将信将凝，顺着小侍从指的那一点试着挖了下去，谁知挖了一会儿，果然挖到了海盗们以前埋下的财宝。两个人把财宝全都挖了出来，高高兴兴地用船运走了。你能说明其中的原因吗？模型数学概述：如图，∆ABD和∆ACE是等腰直角三角形，点B、C为直角顶点，连接DE，点F为DE的中点，连接BF、CF，则∆BFC为等腰直角三角形，点F为直角顶点。证明方法一：1)如右图，延长BF至点P，使得BF=FP，连接PE、PC，延长PE交AB于点Q连接BC∵ 点F为DE的中点 ∴DF=EF     在∆BDF和∆PEF中BF=FP∠BFD=∠PFE  ∴∆BDF≌∆PEF（SAS）  ∴BD=PE ∠DBF=∠EPF DF=EF∴BD‖PE  ∴∠DBA=∠EQA∵∆ABD和∆ACE是等腰三角形 ∴AB=BD ∠DBA=90°AC=AE ∠ACE=90°∴AB=PE ∠DBA=∠EQA=90°在四边形EQAC中∵∠EQA +∠ECA =90° + 90°= 180° ∴∠QAC +∠QEC =360°-180°= 180°又∵∠PEC +∠QEC= 180°   ∴∠QAC=∠PEC在∆BAC和∆PEC中AB=PE∠BAC=∠PEC  ∴∆BAC≌∆PEC（SAS）  ∴BC=PC ∠ACB=∠ECPAC=AE∴∠ACB+∠BCE=∠ECP+∠BCE  即∠ACE=∠BCP=90°∴∆BCP为等腰直角三角形 又∵BF=PE∴CF⊥BP  CF=BF∴∆BFC为等腰直角三角形2) 如右图，延长BF至点P，使得BF=FP，连接PE、PC，延长PE交AB延长线于点Q，PQ与AC边相交于点G,连接BC∵PQ‖BD ∴∠Q=90°∴∠QAG=∠GEC （8字模型）∴∠BAC=∠PEC其它证明过程相同证明方法二（思路）：将∆DAB沿AB对称得∆PAB，将∆EAC沿AC对称得∆QAC，连接PE，DQ∵∆ABD和∆ACE是等腰直角三角形 ∴AB=BD ∠DBA=90°AC=CE ∠ACE=90°∠DAB=∠EAC=45°∵∠DAP=∠EAQ ∴∠DAP+∠EAD =∠EAQ+∠EAD 即∠PAE=∠DAQ则∆PAE≌∆DAQ（SAS）  ∴ PE=DQ ∠APE=∠ADQ  则PE⊥DQ（手拉手模型）∵BF是∆DPE的中位线，FC是∆EDQ的中位线∴BF=PE，BF‖PE，FC=DQ，FC‖DQ∴CF⊥BF CF=BF∴∆BFC为等腰直角三角形证明方法三（思路）：连接BC，以BC边中点为坐标系原点，建立如图所示坐标系，假设A点坐标（m，n），B(-1,0)，C(1,0)，过点D、A、E作BC边垂线，分别与BC边相交于点P、Q、M已知∆DBP≌∆BAQ，∆CQA≌∆EMC  （一线三垂直模型）∴BP=AQ,BQ=DP已知AQ=-n，OQ=m BO=1 CO=1∴BP=-n 则OP=1-（-n）=1+n  BQ=1+m 则DP=1+m 所以点D的坐标为（-（1+n），1+m）同理QC=EM=1-m，OM=1-（-n）=1+n所以点E的坐标为（1+n，1-m）已知点F为线段DE中点，所以点F的坐标为（0，1）∴∆BFC为等腰直角三角形【培优训练】1．（2022春·广东深圳·八年级校联考期中）如图，已知△BAD≌△EBC，∠BAD=∠BCE=90°，∠ABD=∠BEC=30°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与CN数量关系为________；（2）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；（3）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由．2．（2022秋·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．     3．（2022春·江苏·八年级专题练习）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．(1)当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．(2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)将Rt△ABC旋转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数． 4．（2020秋·辽宁盘锦·八年级统考期末）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD =∠BCE = 90°，点M为AN的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N。（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：AD=NE ； （2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。        5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图1，已知等腰中，E为边AC一点，过E点作于F点，以为边作正方形，且，．(1)如图1，连接，求线段的长；(2)连接，M点为的中点，连接、，求与关系．(3)将等腰绕A点旋转至如图2的位置，连接，M点为的中点，连接、，求与关系．    6．（2020·山东济南·中考真题）在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．（1）当∠CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是　   　．线段BE与线段CF的数量关系是　   　；②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．     7．（2020·河南·统考中考真题）将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，如图1，当时，的形状为          ，连接，可求出的值为        ；当且时，①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．     8．（2019·广西贵港·中考真题）已知：是等腰直角三角形，，将绕点顺时针方向旋转得到，记旋转角为，当时，作，垂足为，与交于点（1）如图1，当时，作的平分线交于点.①写出旋转角的度数；②求证：；（2）如图2，在（1）的条件下，设是直线上的一个动点，连接，，若，求线段的最小值.（结果保留根号）       9．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）在中，是边的中点．(1)如图，，分别是的两条高，连接，，则与的数量关系是          ；若，则          ；(2)如图，点，在的外部，和分别是以，为斜边的直角三角形，且，连接，．①判断(1)中与的数量关系是否仍然成立，并证明你的结论；②求的度数；(3)如图，点，在的内部，和分别是以，为斜边的直角三角形，且，连接，，直接写出的度数（用含的式子表示）．    10．（2018·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考二模）阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E．求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵四边形ABCD是垂美四边形∴AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．拓展探究：（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；问题解决：如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．求GE长．    11．（2018秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考期中）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点P为边BC的中点，分别以AB和AC为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠DAB=∠EAC=α，连结PD，PE，DE．（1）如图1，若α=45°，则=　   　；（2）如图2，若α为任意角度，求证：∠PDE=α；（3）如图3，若α=15°，AB=8，AC=6，则△PDE的面积为　   　．       12．（2021春·北京·八年级期中）在△ABC中，M是BC边的中点．（1）如图1，BD，CE分别是△ABC的两条高，连接MD，ME；则MD与ME的数量关系是             ．（2）如图2，点D，E在∠BAC的外部，△ABD和△ACE分别是以AB，AC为斜边的直角三角形，且∠BAD=∠CAE=30°，连接MD，ME．①判断（1）中MD与ME的数量关系是否仍然成立，并证明你的结论；②求∠DME的度数．  13． 如图①，在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，其中，DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD，ME，MF，MG．则下列结论正确的是__________（填写序号）①四边形AFMG是菱形；②△DFM和△EGM都是等腰三角形；③MD=ME；④MD⊥ME．（2）数学思考：如图②，在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．（3）类比探究：如图③Rt△ABC中，斜边BC=10，AB=6，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABD和ACE，请直接写出DE的长．        14．（2022秋·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，在的同侧以、为底边向外作等腰、，其中，为的中点，连接、．(1)如图，当时，直接写出与的关系．(2)如图，当时，（1）的结论还成立吗？请你做出判断并说明理由；(3)如图，当，，连接，取其中点，若动点A从的位置运动到时停止，则点的运动路径长为______．         15．（2022秋·浙江·八年级专题练习）数学活动课中，老师给出以下问题： （1）如图1，在中，D是边的中点，若，则中线长度的取值范围______．（2）如图2，在中，D是边的中点，过D点的射线交边于E，再作交边于点F，连结，请探索由三条线段    、、构成的三角形的形状，并说明理由．（3）已知：如图3，且，F是线段的中点．求证：．          16．（2021·安徽·九年级专题练习）如图，为锐角三角形，分别以AB、AC为斜边向外作等腰直角三角形，分别为和，D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点，连接MN.（1）求证：；（2）求证：；（3）如图，若，，求MN的长.