数学八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形完整版课件ppt

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等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）.
等腰三角形的概念：两边相等的三角形是等腰三角形.
1、理解等腰三角形的性质，体会等腰三角形性质和等边三角形性质的联系.2、探索并掌握等边三角形性质的过程，并用以解决实际问题.
思考1：如果把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
结论：等边三角形的三条边都相等，是一种特殊的等腰三角形.所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质.
思考2：等边三角形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴呢？
结论：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
思考3：等边三角形的内角都相等吗？为什么？
结论：等边三角形的三个内角都相等，且都是60°.
如图，∵AB=BC=CA，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°.
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
几何语言：如图，在△ABC中， AB=BC=AC， ∠A=∠B=∠C=60°.
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质.（2）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“三线合一”；每条边上的中线和高的长度相等，且所在的直线都是等边三角形的对称轴.
例1：如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.
证明：∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°. ∵在△ABE和△CBD中，AB=CB， ∠ABE=∠CBD， BE=BD， ∴△ABE≌△CBD（SAS）. ∴AE=CD.
如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求CE的长.
分析：利用等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理的推论，求出∠CDE=∠E，从而将求CE的长转化为求CD的长.
解：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴∠ABC=∠ACB=60°，BD为∠ABC的平分线，∴∠DBE= ∠ABC=30°. ∵DE=DB， ∴∠E=∠DBE=30°.∵∠ACB=∠CDE+∠E, ∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°.∴∠CDE=∠E. ∴CD=CE.∵等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点, ∴CE=CD= .
如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=（ ） A.15° B.20° C.25° D.30°
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°. ∵CG=CD， ∴∠CGD =∠CDG. ∴∠ACB =∠CGD+∠CDG=2∠CDG. 同理可得∠CDG=2∠E， ∴∠ACB =4∠E=60°. ∴∠E=15°.
如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ） A.15° B.30° C.45° D.60°
分析：△ABC是等边三角形，所以三个内角均为60°.通过证明△EDB≌△EDC，可求出∠ECB的度数，∠ACE=∠ACB-∠ECD即可求解.
解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∠EDB=∠EDC，∠ACB=60°.∵在△EDB和△EDC中， ED=ED， ∠EDB=∠EDC， BD=CD，∴△EDB≌△EDC（SAS）.∴∠ACE=∠ACB-∠ECD=60°-45°=15°.
如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE的大小是多少？
分析：△ABC是等边三角形，所以三个内角均为60°，三边相等.通过证明△ADC≌△CEB，可求出∠CBE=∠ACD，则∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB.
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，且AB=BC=AC.∵在△ADC和△CEB中， AC=CB， ∠A=∠BCE， AD=CE，∴△ADC≌△CEB（SAS），∠CBE=∠ACD.∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°.
正三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交于点F，则∠BFC的度数是多少？
解：∵△ABC是正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.∵BD和CE是正三角形ABC的角平分线，∴∠ECB=30°，∠DBC=30°.在△BFC中，∠BFC=180°-∠ECB-∠DBC =180°-30°-30° =120°.
如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数.
分析：首先利用等腰三角形的性质得出∠ADE＝∠E＝50°，∠DAF＝∠EAF＝40°，进而利用等边三角形各内角度数求出∠BAD即可，再利用三角形外角性质得出答案．
解：∵DE⊥AC, ∴∠DFA=∠EFA=90°. ∵AD=AE，∠DAE=80°, ∴∠ADE=∠E=50°. ∴∠DAF=∠EAF=40°. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°. ∴∠BAD=∠BAC-∠DAF=20°. ∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC， ∴∠EDC=60°+20°-50°=30°.
如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=60°.求△AEF的周长.
分析：由∠BDC=120°和∠EDF=60°，得到∠BDE+∠CDF=60°.想把这两个三角形拼在一起构造全等三角形，即延长AC至点P，使得CP=BE，证明△DEF≌△DPF，得到EF=PF，从而把△AEF的周长转化为△ABC的边长表示.
解：延长AC至点P，使得CP=BE，连接PD∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°.∵BD=CD，∠BDC=120°, ∴∠DBC=∠DCB=30°.∴∠EBD=∠DCF=90°. ∴∠DCP=∠DBE=90°. 在△BDE和△CDP中 ， BD=CD ∠DBE=∠DCP BE=CP ∴△BDE≌△CDP.