2023年四川省攀枝花市第十二中学中考数学一模试卷

这是一份2023年四川省攀枝花市第十二中学中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了计算，1，0，9，16，，48，平面直角坐标系中，点M等内容，欢迎下载使用。

2023年初三学业水平监测数学试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（　　）
A． B． C． D．80%
2．计算（﹣0.125）2020×82021的结果是（　　）
A．8 B．0.125 C．﹣8 D．﹣0.125
3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a+b|+|a+1|的结果为（　　）

A．b﹣1 B．﹣2a﹣b﹣1 C．1﹣b D．﹣2a+b﹣1
4．一个立体图形，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是．要搭成这个立体图形需要（　　）个小正方体．

A．4 B．5 C．6 D．7
5．1942年河南爆发特大蝗灾，数量达到2500亿只，今年东非蝗灾的威力一点不比1942年那场弱，历史为我们敲响警钟，请大家一起保护环境，敬畏自然！数据2500亿用科学记数法表示为（　　）
A．25×1010 B．2.5×1011 C．2500×108 D．2.5×1012
6．1，0，9，16，（　　），48
A．33 B．25 C．36 D．42
7．一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了10次，成绩如图所示，对于这10次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（　　）

A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8 D．方差是1
8．如图，要测量河中礁石A离岸边B点的距离，可以采用如下方法：顺着河岸方向任取一线段BC，作∠CBA'＝∠CBA，∠BCA'＝∠BCA，可得△A'BC≌△ABC，所以A'B＝AB，因此测量的A'B的长就是AB的长，判定图中两三角形全等的理由是（　　）

A．SSS B．AAS C．SAS D．ASA
9．平面直角坐标系中，点M（2，5）绕坐标原点O顺时针旋转90°，得到对应点的坐标是（　　）
A．（5，﹣2） B．（5，2） C．（﹣5，﹣2） D．（﹣5，2）
10．每年3月12日是“植树节”，某班为响应“绿水青山就是金山银”的理念，在植树节这天组织学生开展植树活动，老师提前购买了一定数量的小树苗，在分发树苗的过程中，若每人种3棵，则多出86棵，若每人种5棵，则有一人可分得但不足3棵，则这批小树苗共有（　　）
A．122棵 B．186棵 C．212棵 D．221棵
11．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．2
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．c＝0
B．当x＞﹣1时y随x的增大而增大
C．图象的对称轴是直线x＝﹣2
D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜1
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根分别为m，n，则+的值为　 　．
14．如果x：y：z＝1：3：5，那么＝　 　．
15．如图，是一个可以自由转动、自动停止的转盘，转盘被分成了几个面积相等的扇形，则指针指向黄色区域扇形的概率是 　 　．

16．如图，已知正方形ABCD的边长为5，E为CD边上一点（点E不与端点C，D重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．以下各结论：①DE+BG＝EG，②若CF＝FG，则△GEC是等腰直角三角形，③若AG∥CF，则DE＝，④BG•DE+AF•GE＝25．正确的有 　 　（填序号）．

三．解答题（共8小题，满分70分）
17．（8分）解方程：
（1）+1＝，
（2）+＝．
18．（8分）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 　 　名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 　 　度，
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数），
（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数，
（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
19．（8分）如图是三国时期的数学家赵爽用四个两直角边分别为a、b（a≤b）．斜边为c的直角三角形拼成的正方形图形，并用此图证明勾股定理，请你用此“弦图”写出证明勾股定理的过程．

20．（8分）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果保留整数，参考数据：≈1.732，≈1.414）

21．（8分）如图，已知反比例函数y＝的图象过点（﹣1，4）
（1）求反比例函数的解析式：
（2）若直线y＝ax+4（a≠0）的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求OA：OB的值．

22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法），
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．

23．（10分）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C，P是线段BC上一点，PA＝PD，且∠APD＝90°．
（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AB+CD＝BC，
（2）如图1，若∠B＝∠C＝90°，问AB2、CD2、AD2之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并给予证明，
（3）如图2，若∠B＝∠C＝45°，且PB＝PC，问AB2、CD2、AD2之间有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想即可，不需要证明．

24．（12分）如图1，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2）连接BC．
（1）求抛物线的解析式与直线BC的解析式，
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点（不与B，C重合），当PD⊥BC于点D时，求出PD的最大值，并求此时点P的坐标，
（3）如图2，连接AC，抛物线的对称轴为直线EF，点M是直线EF右侧抛物线上一点，连接AM交EF于点Q，过点M作MN⊥EF于点N，是否存在这样的点M，使得△QMN与△ACO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．


答案解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．【考点】有理数
【分析】依据实数的分类方法进行判断即可．
解：A、﹣是分数，不符合题意，
B、是分数，不符合题意，
C、是无理数，不是分数，符合题意，
D、80%＝是分数，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是实数，掌握实数的相关概念和分类方法是解题的关键．
2．【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．据此计算即可．
解：（﹣0.125）2020×82021
＝
＝
＝12020×8
＝1×8
＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
3．【考点】实数与数轴，绝对值
【分析】先根据a、b在数轴上的位置，确定a+b和a+1的符号，去掉绝对值，然后进行化简即可．
解：由a、b在数轴上的位置可得：
a+b＜0，a+1＜0，
∴|a+b|+|a+1|＝﹣（a+b）﹣（a+1）＝﹣a﹣b﹣a﹣1＝﹣2a﹣b﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查数轴的性质，关键是要牢记数轴上的点从左到右依次增大，然后才能判断绝对值里面的符号，再去掉绝对值就可以化简了．
4．【考点】由三视图判断几何体
【分析】利用俯视图，写出小正方体的个数，可得结论．
解：这个几何体需要小正方体的个数为2+1+1+1＝5（个），

故选：B．
【点评】本题考查由三视图判定几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
5．【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将2500亿用科学记数法表示为：2.5×1011．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据1+0＝12，0+9＝32，9+16＝52，判断（　　）里的数符合连续奇数的平方这一规律，算出数即可．
解：∵1+0＝12，0+9＝32，9+16＝52，
∴16+33＝72，33+48＝92，
故选：A．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，归纳出前几项数字的变化规律是解题的关键．
7．【考点】众数，方差，算术平均数，中位数
【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得出答案．
解：由图可得，数据8出现4次，次数最多，所以众数为8，故A正确，
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B正确，
平均数为（6+7×2+8×4+9×2+10）＝8，故C正确，
方差为[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝1.2，故D不正确，
不正确的有1个，
故选：D．
【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．
8．【考点】全等三角形的应用
【分析】结合图形根据三角形全等的判定方法解答．
解：在△A′BC和△ABC中，
，
∴△A′BC≌△ABC（ASA）．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．【考点】坐标与图形变化﹣旋转
【分析】根据要求作出图形，利用图象法解决问题即可．
解：如图，点A′（5，﹣2）．

故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
10．【考点】一元一次不等式组的应用
【分析】设有x人植树，则这批小树苗共有（3x+86）棵，根据“如果每人种5棵，则有一人可分得但不足3棵”，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出结论．
解：设有x人植树，则这批小树苗共有（3x+86）棵，
由题意得：，
解得：44＜x＜45，
又∵x为正整数，
∴x＝45，
∴3x+86＝221，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
11．【考点】圆的认识，勾股定理，矩形的性质
【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．
解：如图，连接OC．

∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6，
∴OC＝OA＝＝10，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故选：C．
【点评】本题考查圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式（组），二次函数的性质
【分析】根据抛物线与y轴的交点在x轴上方可对A进行判断，先利用抛物线与x轴的交点坐标可得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，再根据抛物线的增减性即可对B、C进行判断，观察函数图象得到当﹣3＜x＜1时，y＞0，即ax2+bx+c＞0，于是可对D进行判断．
解：A、抛物线与y轴的交点在x轴上方，则c＞0，所以A选项错误，
B、因为抛物线过（﹣3，0），（1，0），则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，而抛物线开口向下，所以当x＞﹣1时y随x的增大而减小，所以B选项错误，
C、抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以C选项错误，
D、当﹣3＜x＜1时，y＞0，即ax2+bx+c＞0，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点，当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点，当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【考点】根与系数的关系
【分析】由根与系数的关系可求得m+n和mn的值，代入求值即可．
解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝4，mn＝3，
∴+＝＝
故答案为：．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之积等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
14．【考点】比例的性质
【分析】根据x：y：z＝1：3：5，可以设x＝k，y＝3k，z＝5k，把这三个式子代入所要求的式子，进行化简就可以求出式子的值．
解：∵x：y：z＝1：3：5，
设x＝k，y＝3k，z＝5k，
则＝＝﹣．
【点评】掌握本题的设法，把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题，是解题的关键．
15．【考点】几何概率
【分析】首先确定在图中黄色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向黄色区域的概率．
解：∵转盘被分成了8个面积相等的扇形，其中黄色部分占3份，
∴指针指向黄色区域扇形的概率是．
故答案为：．
【点评】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
16．【考点】四边形综合题
【分析】由折叠的性质可得AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，由“HL”可证Rt△ABG≌Rt△AFG，可得BG＝GF，可得EG＝EF+FG＝DE+BG，故①正确，由等腰三角形的性质可得∠FGC＝FCG，由余角的性质可得∠FEC＝∠FCE，可证EF＝FC＝GF＝BG＝DE，可得GC＝EC，即△GEC是等腰直角三角形，故②正确，由平行线的性质和折叠的性质可得BG＝GC＝GF＝2，由勾股定理可求DE＝，故③错误，由S正方形ABCD＝S△EGC+2（S△ADE+S△AGF），可得BG•DE+AF•GE＝25，故④正确，即可求解．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝5，∠B＝∠D＝∠BCD＝90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFG＝∠B＝90°，AF＝AB，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG＝GF，
∴EG＝EF+FG＝DE+BG，故①正确，
若CF＝FG，
∴∠FGC＝FCG，
∵∠GCE＝90°，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴EF＝FC，
∴EF＝FC＝GF，
∴BG＝DE，
又∵BC＝CD，
∴GC＝EC，
∴△GEC是等腰直角三角形，故②正确，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠AGB＝∠AGF，BG＝GF，
若AG∥CF，
∴∠AGB＝∠GCF，∠AGF＝∠GFC，
∴∠GFC＝∠GCF，
∴GC＝GF＝BG＝，
∵EG2＝GC2+EC2，
∴（DE+）2＝+（5﹣ED）2，
∴DE＝，故③错误，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴S△ADE＝S△AFE，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴S△ABG＝S△AFG，
∵S正方形ABCD＝S△EGC+2（S△ADE+S△AGF），
∴25＝（5﹣BG）（5﹣DE）+2××（GF+EF）×AF，
∴50＝25﹣5（BG+DE）+BG•DE+2GE•AF，
∴BG•DE+AF•GE＝25，故④正确，
故答案为①②④．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用面积的和差关系求线段的数量关系是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分70分）
17．【考点】解分式方程
【分析】（1）先确定最简公分母为（x+1）（x﹣1），给分式方程两边同时乘以最简公分母后，求解关于x的一元一次方程2（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝x（x+1），再把所得x的值代入最简公分母中进行验根，即可得出答案，
（2）先把分式方程中的分母进行因式分解，可得，再确定最简公分母为a（a+1）（a﹣1），给分式方程两边同时乘以最简公分母后，求解关于x的一元一次方程2（a﹣1）+（a+1）＝4a，再把所得a的值代入最简公分母中进行验根，即可得出答案．
解：（1）方式方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1），
得2（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝x（x+1），
化简得x＝3，
把x＝3代入（x+1）（x﹣）≠0，
所以x＝3是源分式方程的解，
（2）原分式方程可化为，
，
给分式方程两边同时乘以a（a+1）（a﹣1），
得2（a﹣1）+（a+1）＝4a，
化简得 a＝﹣1，
把a＝﹣1代入a（a+1）（a﹣1）＝0，
所以原分式方程无解．
【点评】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握分式方程求解的方法进行计算，注意需验根是解决本题的关键．
18．【考点】条形统计图，列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图
【分析】（1）由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例，
（2）根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形，
（3）用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可，
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）此次调查一共随机采访学生44÷22%＝200（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝198°，
故答案为：200，198，
（2）绿色部分的人数为200﹣（16+44+110）＝30（人），
补全图形如下：

（3）估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数3600×＝288（人），
（4）列表如下：

A
B
C
D
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，
所以恰好抽中A，B两人的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
19．【考点】勾股定理的证明
【分析】利用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题．
解：由图可知：
S正方形＝4×ab+（b﹣a）2
＝2ab+b2+a2﹣2ab
＝a2+b2．
S正方形＝c2，
所以a2+b2＝c2．
【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，利用图形面积得出是解题关键．
20．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】在两个直角三角形中求出AO、BO，进而计算出AB，最后求出速度即可．
解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，
在Rt△AOD中，
∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，
∴OA＝AD＝2000（米），OD＝AD＝2000（米），
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，
∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004（米），
∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），
答：火箭的速度约为335米/秒．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，理解两个直角三角形之间的关系是解决问题的关键．
21．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）把点（﹣1，4）代入反比例函数y＝得k的值，进而确定反比例函数的关系式，
（2）将反比例函数和一次函数的关系式联立的方程组有唯一解，即转化为一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式为0，求出a的值，确定一次函数的关系式，进而求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，使问题得以解决．
解：（1）把点（﹣1，4）代入反比例函数y＝得，
k＝﹣4，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
（2）由题意得，方程组有唯一解，
即，方程﹣＝ax+4有唯一解，
由b2﹣4ac＝0得，a＝1，
∴一次函数的关系式为y＝x+4，
当x＝0时，y＝4，因此点A（0，4），即OA＝4，
当y＝0时，x＝﹣4，因此点B（﹣4，0），即OB＝4，
∴OA：OB＝1：1．
【点评】考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的根的判别式等知识，把点的坐标代入，是确定函数关系式常用的方法．
22．【考点】解直角三角形，勾股定理，三角形中位线定理，作图—基本作图
【分析】（1）利用尺规作图，作线段AC的垂直平分线即可，
（2）根据垂径定理、勾股定理可求出直径AB＝10，AE＝EC＝3，由三角形中位线定理可求出OE，即点O到AC的距离，在直角三角形CDE中，求出DE，由勾股定理求出CD，再根据锐角三角函数的定义可求出答案．
解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O，
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．
∴AB＝＝10，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝AC＝4，
又∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝3，
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
即点O到AC的距离为3，
连接OC，在Rt△CDE中，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，
∴CD＝＝＝2
∴sin∠ACD＝＝＝．

【点评】本题考查尺规作图，直角三角形的边角关系以及三角形中位线定理，掌握直角三角形的边角关系以及三角形的中位线定理是解决问题的前提．
23．【考点】四边形综合题
【分析】（1）证明△ABP≌△PCD（AAS），推出AB＝PC，PB＝CD，可得结论．
（2）猜想：AB2+CD2＝AD2．利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理，可得结论，
（3）结论：AB2+CD2＝AD2．如图2中，过点A作AN⊥BC由点N，过点D作DM⊥BC由点M．利用（2）中结论以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．
（1）证明：如图1中，

∵∠B＝∠C＝∠APD＝90°，
∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC，
在△ABP和△PCD中，
，
∴△ABP≌△PCD（AAS），
∴AB＝PC，PB＝CD，
∴AB+CD＝PC+PB＝BC，
（2）猜想：AB2+CD2＝AD2．
理由：在Rt△APD中，∵PA＝PD，∠APD＝90°，
∴AD2＝PA2+PD2，
∴PD2＝AD2，
在Rt△DCP中，PD2＝PC2+CD2，
∵AB＝CP，
∴AB2+CD2＝AD2，
（3）结论：AB2+CD2＝AD2．
理由：如图2中，过点A作AN⊥BC由点N，过点D作DM⊥BC由点M．

∵∠B＝∠C＝45°，∠ANB＝∠DMC＝90°，
∴△ABN，△DMC都是等腰直角三角形，
∴AB2＝2AN2，CD2＝2DM2，
由（2）可知，AN2+DM2＝AD2，
∴2AN2+2DM2＝AD2，
∴AB2+CD2＝AD2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将点A（﹣1，0），C（0，﹣2）代入，由待定系数法可得二次函数的表达式为，即可得B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，用待定系数法得直线BC的解析式为，
（2）过点P作PG⊥x轴于G，交BC于点H，设P（），则H（），，由△PDH∽△BCO，有，可得PD＝，根据二次函数性质可得答案，
（3）设M（t，t2﹣t﹣2），则N（1，t2﹣t﹣2），MN＝t﹣1，设直线AM解析式为y＝kx+n，可得直线AM解析式为y＝（）x+t﹣2，即得Q（1，t﹣4），NQ＝|﹣t2+t﹣2|，当＝时，|﹣t2+t﹣2|＝2（t﹣1），可得M（6，14），当＝时，t﹣1＝2|﹣t2+t﹣2|，可得M（，﹣）或（，）．
解：（1）将点A（﹣1，0），C（0，﹣2）代入得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
令y＝0时，，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将点B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为，
（2）过点P作PG⊥x轴于G，交BC于点H，如图：

设P（），则H（），
∴，
∵PG⊥x轴，
∴PG∥y轴，
∴∠PHD＝∠BCO，
∵∠PDH＝∠BOC＝90°，
∴△PDH∽△BCO，
∴，
∵B（3，0），C（0，﹣2），
∴OB＝3，OC＝2，
∴BC＝，
∴，
∴PD＝，
∴当时，PD最大为，
此时P（），
（3）存在点M，使得△QMN与△ACO相似，理由如下：

抛物线y＝x2﹣x﹣2的对称轴为直线x＝1，
设M（t，t2﹣t﹣2），则N（1，t2﹣t﹣2），
∴MN＝t﹣1，
设直线AM解析式为y＝kx+n，将M（t，t2﹣t﹣2），A（﹣1，0）代入得：
，
解得，
∴直线AM解析式为y＝（）x+t﹣2，
在y＝（）x+t﹣2中，令x＝1得y＝t﹣4，
∴Q（1，t﹣4），
∴NQ＝|t﹣4﹣t2+t+2|＝|﹣t2+t﹣2|，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），
∴OA＝1，OC＝2，
∵∠AOC＝90°＝∠MNQ，
∴△QMN与△ACO相似，只需＝＝或＝＝，
当＝时，NQ＝2MN，
∴|﹣t2+t﹣2|＝2（t﹣1），
解得t＝0（舍去）或t＝1（舍去）或t＝6，
∴M（6，14），
当＝时，MN＝2NQ，
∴t﹣1＝2|﹣t2+t﹣2|，
解得t＝1（舍去）或t＝或t＝，
∴M（，﹣）或（，），
综上所述，M坐标为：（6，14）或（，﹣）或（，）．