预测卷01-冲刺高考数学大题突破+限时集训（新高考专用）

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预测卷01（满分：70分     建议用时： 65 分钟）一、解答题17（10分）．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】答案见解析.【分析】根据题意，分别选择其中两个作条件，另外一个做结论，利用正余弦定理化简证明即可.【详解】选①②作条件，③做结论由②，得：，而sin B > 0，所以，即，根据辅助角公式可得，，0 < A < π，所以，，则，由①知，，代入可得，，所以，即：.选①③作条件，②做结论由③，得：，，所以，则，所以，0 < A < π，所以，由③知，，所以，所以，所以， 所以，.选②③作条件，①做结论由②，得：，而sin B > 0，所以，即，根据辅助角公式可得，，所以，，由③，，所以，得：，所以，所以,，则，，即：.18（12分）．已知等差数列的首项，记的前n项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列公差，令，求数列的前n项和.【答案】(1)或(2)【详解】（1）由题意可得：，整理得，则可得或，故或.（2）∵，由（1）可得，则，故所以. 19（12分）．如图，三棱锥满足：，，，．(1)求证：；(2)若D为中点，求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）∵，，，∴，又∵，，∴，取AB中点E，连接PE、CE，如图所示，则，，又∵，、面，∴面，又∵面，∴.（2）过点P作交延长线于点O，过O作，由（1）知，面，又因为面，所以，又因为，、面，所以面，所以以点O为原点，分别以CE、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，在Rt△PEA中，,在△PEC中，，∴，，∴在中，，，∴，，，，∴，∴，，，设面的一个法向量为，，取，则，，所以，设面的一个法向量为，取，则，，所以，∴，∴.即二面角的平面角的正弦值为. 20（12分）．2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式.为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关. 男生女生合计了解  不了解  合计    (1)求n的值；(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取5人，记其中了解中国航天事业的人数为X，求X的分布列及数学期望.附表：0.100.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828 .【答案】(1)(2)分布列见解析，【详解】（1）由已知，完成列联表， 男生女生合计了解不了解合计将数值代入公式可得的观测值：，根据条件，可得，解得，因为，所以.（2）由（1）知，样本的男生中了解中国航天事业的频率为，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，了解中国航天事业的概率为，则，，，，，，.则X的分布列为X012345P .21（12分）．已知双曲线C：过点，且渐近线方程为.(1)求双曲线C的方程；(2)如图，过点的直线l交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线于点P、Q，求的值.【答案】(1)(2)1【详解】（1）∵双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线C的方程为，代入点，即，故双曲线C的方程为.（2）由双曲线C的方程为的方程可得，由题意可得点，则有：当直线l与轴垂直时，则，可得直线，令，则，即点，同理可得：点，故，即；当直线l不与轴垂直时，设直线，联立方程，消去x得，则，可得直线，令，则，即点，同理可得：点，∵，即点关于x轴对称，故，即；综上所述：的值为1.22（12分）．已知函数，．(1)证明：存在唯一零点；(2)设，若存在，使得，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）由题意可得，记，则，因为时，恒成立，所以在上单调递增，因为，所以在上恒小于0，在上恒大于0，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以有唯一零点0．（2）由可得，若是方程的根，则是方程的根，因为，都单调递增，所以，，设，，所以的解为，的解为，所以在上递减，在上递增，所以的最小值为，即的最小值为．故原不等式成立.