2023高考压轴卷——数学（文)（全国甲卷）（Word版附解析）

2023全国甲卷高考压轴卷

数学（文科）

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. i为虚数单位，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知平面向量与，若，，，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 在独立性检测中，我们常用随机变量来判断“两个分类变量有关系”.越大关系越强；越小关系越弱.（附：，其中）下面有甲乙丙丁四组关于“秃顶与患心脏病的列联表”（单位：人）

甲：

乙：

丙：

丁：

最能说明秃顶与患心脏病有关的一组数据是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5. 设，分别是双曲线的左、右焦点．为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

6. 正项等比数列与正项等差数列，若，则与的关系是（    ）

A.  B.  C.  D. 以上都不正确

7. 抛物线C：，若直线l：与C交于A，B（左侧为A，右侧为B）两点，则抛物线C在点A处的切线的斜率为（    ）

A. -3 B. 1 C. 3 D. -1

8. 已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且， 则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示，在空间直角坐标系中，三棱锥各个顶点坐标分别为，，，，则该三棱锥俯视图的面积为（    ）

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

10. 定义在上的奇函数，满足，当时，则的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

11. 在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为，则下列结论正确的是（    ）（参考数据：，）

①

②

③2020年小王的年利润约为40000元

④两年后，小王手中现款约达41万

A. ②③④ B. ②④ C. ①②④ D. ②③

12. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 平面区域，则的面积为___________.

14. 函数的极大值点为___________.

15. 甲､乙､丙三人去图书馆借书，他们每人借的不是杂志就是小说（每人只能借其中一种）.

（1）如果甲借的是杂志，那么乙借的就是小说.

（2）甲或丙借的是杂志，但是不会两人都借杂志.

（3）乙和丙不会两人都借小说.

则同时满足上述三个条件的不同借书方案有___________种.

16. 在在△ABC中，，.则的取值范围为___________.（结果用区间表示）

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的外接圆的半径为1，且.

（1）求a的值；

（2）若，求△ABC的面积.

18. 四川省凉山州各种特产、小吃尤其丰富，凉山州会理市羊肉粉早在清代中叶就名扬遐迩．凡来会理市品尝过会理市羊肉粉的人，无不交口称赞．尤其在冬季，吃一碗滚烫的羊肉粉，浑身暖和．羊肉粉的主要原料是羊肉和米粉制作有特殊的讲究，要选择山坡放养，体重在八九十斤左右的黑山羊宰杀，将羊头、羊腿、羊蹄、羊油、羊下水全部放进能装一、两百斤的大铁锅，掺上几里路运来优质山泉水，加上老姜、花椒、胡椒、白扣，等佐料，先要猛火烧开，用漏瓢捞出汤上面的泡沫，再用中火慢慢炖，时间达六、七个小时熬制呈乳白色米汤-样的原汤；羊肉粉的米线，是用会理农村本地产的稻谷跟大米制作出来，韧性好，饭粒不生硬，入口柔和，口味有大米的天然芳香；米粉要经过特殊处理：将水烧开，放入米粉，烧开捞起，放入冷水里（不停换水，直至冷却）．会理市某羊肉粉店每天早晨处理好当天的米粉，以12元碗的价格售出，每碗获利5元，当天卖不出的米粉则每碗亏损2元，该店记录了30天的日需求量（单位：碗），整理如下表：

（1）以样本估计总体，求该店采粉日需求量的平均数；

（2）以30天记录的日需求量的频率为概率，该店每天准备100碗米粉，记该店每天获得的利润为Y（单位：元），写出Y的所有可能值，并估计Y低于450元的概率．

19. 如图所示，已知在△ABC是边长为6的等边三角形，点M、N分别在，上，，O是线段的中点，将△AMN沿直线进行翻折，A翻折到点P，使得平面平面，如图所示.

（1）求证：；

（2）若，求点M到平面的距离.

20. 已知中心为坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆相交于A，B两点，，，且点在椭圆上，求直线的方程．

21. 已知函数，其中，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．

请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑

选修4－4：坐标系与参数方程

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线和直线的直角坐标方程；

（2）已知点，直线和曲线相交于、两点，求的值

选修4－5：不等式选讲

23. 已知，，．函数．

（1）当，时，解关于的不等式．

（2）当的最小值为1时，证明．

【KS5U答案1】B

【分析】利用一元二次不等式的解法，先求出集合，再根据交集的定义即可求解.

【KS5U解析】解：因为集合，又集合，

所以，故选：B.

【KS5U答案2】B

【分析】利用复数的乘法和除法运算法则，运算即得解

【KS5U解析】由题意，，故选：B

【KS5U答案3】C

【分析】根据平面向量数量积的定义和运算性质，结合平面向量模的坐标表示公式进行求解即可.

【KS5U解析】因为，所以，

由，

解得：，故选：C

【KS5U答案4】A

【分析】根据公式分别计算四组数据对应的值，然后比较大小即可得KS5U答案.

【KS5U解析】解：由题意，，，

，，

因为， 所以，所以最能说明秃顶与患心脏病有关的一组数据是甲组，故选：A.

【KS5U答案5】A

【分析】利用双曲线的定义及标准方程，得到，，结合勾股定理表示出和 的关系即可.

【KS5U解析】利用双曲线的定义及标准方程，得到,

又，

因为，所以；故，即故KS5U答案为：

【KS5U答案6】C

【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质可将已知等式化为，由此可得结果.

【KS5U解析】设等差数列公差为，则，

又，，均为正项数列，.故选：C

【KS5U答案7】D

【分析】利用解方程组法求出点A的坐标，结合导数的几何意义进行求解即可.

【KS5U解析】直线l与抛物线C方程联立，得或，

因为左侧为A，右侧为B，，所以，由，

所以抛物线C在点A处的切线的斜率为，故选：D

【KS5U答案8】C

【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得进而求得的大小.根据三角恒等变换化简，由此求得取值范围.

【KS5U解析】依题意，由正弦定理得，所以，

由于三角形是锐角三角形，所以.由.

所以

，由于，所以，

所以.故选：C

【KS5U答案9】B

【分析】根植俯视图的定义，结合三角形的面积公式进行求解即可.

【KS5U解析】点在平面平面的射影的坐标为：，点在平面平面的射影的坐标为：，点在平面平面的射影的坐标为：，

因此三棱锥的俯视图为：，根据空间两点间距离公式可得：，，，因此是等腰三角形，底边上的高为：，

所以的面积为：，故选：B

【KS5U答案10】C

【分析】根据题意求得函数是周期为4的函数，且图象关于对称，进而画出函数的图象，得到当时，求得的解，进而求得不等式的解集.

【KS5U解析】由题意，函数满足，可得，

所以函数是周期为4的函数，又由为上的奇函数，可得，

所以，可得函数的图象关于对称，

因为当时，可函数的图象，如图所示，

当时，令，解得或，所以不等式的解集为.故选：C.

【KS5U答案11】A

【分析】由题可知，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为之间的递推关系为，，进而根据递推关系求出通项公式即可得KS5U答案.

【KS5U解析】对于①选项，元，故①错误

对于②选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故②正确；

对于③选项，由得

所以数列是首项为公比为1.2的等比数列，

所以，即

所以2020年小王年利润为元，故③正确；

对于④选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故④正确.故选：A.

【KS5U答案12】D

【分析】由，可得，构造函数，利用函数的导数与单调性的关系，可得在上单调递增，进而可得，，从而即可得KS5U答案.

【KS5U解析】解：因为，所以；

令，，所以在上单调递增，

因为，所以，即，

所以，所以；

同理，所以，即，也即，

所以，所以.

综上，，故选：D.

【KS5U答案13】

【分析】作出不等式组约束的平面区域，进而求解即可.

【KS5U解析】解：如图，作出不等式组约束的平面区域（阴影部分），

所以联立方程得，易得，

所以的面积为 ，故KS5U答案为：

【KS5U答案14】

【分析】利用导数可求得的单调性，根据单调性可得极大值点.

【KS5U解析】由题意知：定义域为，

，

当时，；当时，；

在，上单调递增，在上单调递减，是的极大值点.

故KS5U答案为：.

【KS5U答案15】

【分析】采用假设法和排除法，分别假设甲借的是杂志和小说，根据条件依次判断即可.

【KS5U解析】①假设甲借的是杂志，

由（1）知：乙借的是小说；由（2）知：丙借的是小说；与（3）的结论矛盾，不合题意；

②假设甲借的是小说，

由（2）知：丙借的是杂志；则乙可借杂志，也可借小说，共种方案；

综上所述：满足上述三个条件的不同借书方案有种.故KS5U答案为：.

【KS5U答案16】

【分析】利用正弦定理角化边和三角形三边关系可知的范围，利用余弦定理表示出，将所求数量积化为关于的函数的形式，利用二次函数值域求解方法得到结果.

【KS5U解析】，则由正弦定理可得：，令，则

又，，即；，

，

，，即取值范围为.故KS5U答案为：.

【KS5U答案17】（1）   ，（2）

【分析】（1）由正弦边角关系、和角正弦公式化简得，结合三角形内角性质、正弦定理求a值；

（2）余弦定理求得，再应用三角形面积公式求面积.

【小问1KS5U解析】

由已知及正弦定理得：.

又，即.

又，所以.因为△ABC的外接圆的半径为1，所以，

所以，得，又，所以，则.

【小问2KS5U解析】

在△ABC中，由余弦定理得：，且，，

所以，解得或（舍去），所以△ABC的面积为.

【KS5U答案18】（1）96；    （2）可能取值为360，430，500，.

【分析】（1）利用求平均数的公式即得；

（2）分别求得日需求量碗，碗和100碗以上时的日利润和对应概率，即得.

【小问1KS5U解析】

该米粉店日需求量的平均数为：；

【小问2KS5U解析】

当日需求量为80碗时，该店每天获利

当日需求量为90碗时，该店每天获利（元）；

当日需求量为100碗以上时，该店每天获利（元）．

所以，Y的可能取值为360，430，500

所以，Y低于450元的概率为．

【KS5U答案19】

【分析】（1）由，证得，利用面面垂直的性质，证得平面，进而证得；

（2）设点到平面的距离为，结合，求得的值，结合平面，利用点到平面的距离与点到平面的距离相等，即可求解.

【小问1KS5U解析】

证明：因为是边长为6的等边三角形，且，

在中，可得，

又因为点是线段的中点，所以，

因为平面平面，且平面，平面平面，

所以平面，

又因为平面，所以.

【小问2KS5U解析】

解：由是边长为6的等边三角形，可得的高为，

因为,，可得，,

则的面积为，

又由平面，且，

所以三棱锥的体积为，

在直角中，，可得，

所以的面积为，

设点到平面的距离为，

因为，可得，解得，

又由，且平面，平面，所以平面，

则点到平面的距离与点到平面的距离相等，

所以点到平面的距离为.

【KS5U答案20】（1）   ，

（2）

【分析】（1）根据题意设椭圆的方程，代入点列式运算，求解即可得结果；

（2）设，，根据题意整理可得，结合直线方程以及韦达定理运算求解，注意讨论直线的斜率是否存在.

【小问1KS5U解析】

由题意可设椭圆的方程，∵椭圆经过，两点，则，即，解得，

∴椭圆的方程为．

【小问2KS5U解析】

设，，则，，

∵点A、B均在椭圆上，则，，

且点E在椭圆上，则，

即，可得.当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立方程，消去得，

则，，，

∵，

则，∴，解得，

故所求直线的方程为；

当直线斜率不存在时，则直线的方程为，即，

可得，该方程组无解，不合题意；

综上所述：所求直线的方程为．

【KS5U答案21】（1）单调递减区间为，单调递增区间为   

（2）

【分析】（1）直接通过求导判断单调区间即可；

（2）先对原方程进行同构变形，将换元后的方程通过构造函数求导判断其有唯一零点，从而将原方程简化为方程有两个不相等的实数解，最后对取对变换化简后的方程再构造函数，根据零点个数求参数的取值范围.

【小问1KS5U解析】

当时，．∴．∵，∴当时，；当时，．

∴函数单调递减区间为，单调递增区间为．

【小问2KS5U解析】

∵，，，令，则．令，则．

∴当时，；当时，．

∴函数在上单调递增，在上单调递减．∵，∴方程有唯一解．

∴方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．

等价于方程有两个不相等的实数解．

构造函数，则．

∵，∴当时，；当时，．

∴函数在上单调递增，在上单调递减．

∵，；，．

∴只需要，即．

构造函数，则．

∴当时，；当时，．

∴函数在上单调递减，在上单调递增．

∵，∴当时，恒成立．∴的取值范围为．

【KS5U答案22】（1），；   （2）

【分析】（1）消去参数得普通方程，利用公式可化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）把直线方程化为标准参数方程，代入曲线的直角坐标方程，利用参数几何意义计算．

【小问1KS5U解析】

由得

利用，得，即为的普通方程，

由，得，

即，即，直线直角坐标方程为；

【小问2KS5U解析】

点在直线上，可得其参数方程为（为参数），

把代入得，，

所以，，不同号．

．

【KS5U答案23】

【分析】（1）利用绝对值的性质，运用分类讨论思想进行求解即可；

（2）利用绝对值的性质，结合基本不等式进行证明即可.

【小问1KS5U解析】

当，时，，

，

当时，；

当时，，显然不成立；

当时，，

所以不等式的解集为：；

【小问2KS5U解析】

因为，，，所以有：

，

当的最小值为1时，即当时，

（当且仅当时取等号），

，

当且仅当时取等号，

所以.