小学数学开学

这是一份小学数学开学，共28页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

东北师大附中2019级初三年级下学期数学综合练习（一）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 若a与2互为相反数，则a+1的值为（　　）
A. ﹣3． B. ﹣1． C. 1． D. 3．
【答案】B
【解析】
【分析】先依据相反数的定义求得a的值，然后再依据有理数加法法则计算即可．
【详解】解：∵a与2互为相反数，
∴a＝﹣2，
∴a+1＝﹣2+1＝﹣1．
故选B．
【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，依据相反数的定义求得a的值是解题的关键．
2. “中国天眼”FAST射电望远镜的反射面总面积约250 000m2，数据250 000用科学记数法表示为（ ）．
A. 25×104 B. 2.5×105 C. 2.5×106 D. 0.25×106
【答案】B
【解析】
【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
详解：将250000用科学记数法表示为：2.5×105．
故选B．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 用个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的俯视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看第一列是2个小正方形，第二列是1个小正方形，第三列是1个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
4. 如图，PA为的切线，A为切点，B是OP与的交点，C是优弧AB上一点（不与点A、B重合）．若∠P＝36°，则∠ACB的大小为（ ）

A. 18° B. 27° C. 36° D. 54°
【答案】B
【解析】
【分析】由PA为⊙O的切线，得到∠OAP=90°，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=36°，
∴∠O=90°-∠P=90°-36°=54°，
∴∠ACB=∠O=×54°=27°，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟记定理是解题的关键．
5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：解不等式3x﹣1≤2，得：x≤1，
解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
故选：A．
6. 如图，沿的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，从上取一点取，已知米，，点在同一直线上，那么开挖点离点的距离是（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】根据邻补角的定义求出，然后判断出是直角三角形，再根据余弦定理列出算式，求出点离点的距离即可．
【详解】解：，
，
是直角三角形，
米，
开挖点离点距离米．
故选：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，用到的知识点是邻补角的定义和余弦定理，判断出是直角三角形是解题的关键．
7. 《孙子算经》中有这样一个问题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？意思是：用绳子去量一根木材的长，绳子还余尺；将绳子对折再量木材的长，绳子比木材的长短1尺，问木材的长为多少尺？”若设木材的长为x尺，绳子长为y尺，则根据题意列出的方程组是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-绳长=1，据此可列方程组．
【详解】解：设木材的长为x尺，绳子长为y尺，
依题意得，
故选C.
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
8. 如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC＝45°，反比例函数的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为（ ）


A. B. C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】过A作AE⊥x轴于E，设OE=，则AE=，OA=，即菱形边长为，再根据△AOD的面积等于菱形面积的一半建立方程可求出，利用点A的横纵坐标之积等于k即可求解．
【详解】解：如图，过A作AE⊥x轴于E，


设OE=，
在Rt△AOE中，∠AOE=45°，
∴∠OAE=90°-∠AOE=45°，
∴∠OAE=∠AOE，
∴AE=OE=a，
∴，
∵四边形OABC是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，菱形的性质，等腰直角三角形的判定和勾股定理等等，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用公式法即可求解．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题是公因式法与公式法的综合运用，因式分解时，如果多项式的各项有公因式，首先考虑提公因式法，然后根据多项式的项数来选择方法继续因式分解，如果多项式是二项，则考虑用平方差公式；如果是三项，则考虑用完全平方公式．
10. 已知关于x方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】k＜2且k≠0
【解析】
【分析】方程有两个不相等实数根，则根的判别式＞0，建立关于k的不等式，求得k的取值范围，且二次项系数不为零．
【详解】解：∵a＝k，b＝﹣4，c＝2，
＝b2﹣4ac＝16﹣8k＞0，即k＜2方程有两个不相等的实数根，
∵二次项系数不为零，
∴k≠0．
∴k的取值范围是k＜2且k≠0．
故答案为：k＜2且k≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．
11. 如图，建筑物的高CD为10m．在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为45°，旗杆顶部A的仰角β为20°，则旗杆AB的高度为__________m．（结果精确到0.1m）[sin20°=0.342，cos20°=0.940，tan20°=0.364．]

【答案】13.6
【解析】
【分析】先证△BCE是等腰直角三角形，得BE=CD=10m，再在Rt△AEC中，由锐角三角函数定义求出AE，即可解决问题．
【详解】解：由题意得：四边形CDBE是矩形，
∴CE=BD，BE=CD=10m，
在Rt△BCE中，∠BEC=90°，α=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BE=10m，
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tanβ=，
∴AE=10•tan20°，
∴AB=AE+BE=10×0.364+10≈13.6（m），
故答案为：13.6．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12. 如图，在圆心角为120°的扇形OAB中，半径OA＝2，C为的中点，D为OA上任意一点（不与点O、A重合），则图中阴影部分的面积为____．

【答案】π.
【解析】
【分析】连接OC，BC，由C为弧AB的中点，得到两条弧相等，进而得到所对的圆心角相等，再由OB＝OC，得到三角形BOC为等边三角形，进而得到一对内错角相等，确定出BC与OA平行，利用同底等高三角形面积相等得到三角形BCD面积＝三角形BOC面积，进而把阴影部分面积转化为扇形BOC面积，求出即可．
【详解】连接OC，BC，
∵圆心角为120°的扇形OAB中，C为的中点，
∴∠BOC＝∠AOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠OCB＝∠COA＝60°，
∴BC∥OA，
∴由同底等高得到△BOC与△BCD面积相等，
∴S阴影＝S弓形BC+S△BCD＝S弓形BC+S△BOC＝S扇形BOC＝，
故答案为π.

【点睛】此题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
13. 把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的三块，其中点O为正方形的中心，E为AD的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形MNPQ（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形MNPQ为矩形，则四边形MNPQ的周长是_____．

【答案】10
【解析】
【分析】因为点O为正方形的中心，E为AD的中点，得到MB＝OE＝CN＝1，即可求得矩形MNPQ的周长．
【详解】解：如图所示：

四边形MNPQ为矩形，
∵点O为正方形的中心，E为AD的中点，
∴OE＝1，
∴MB＝OE＝CN＝1，
且PN＝AF＝1，
所以矩形MNPQ周长是：
2（MB+BC+CN+PN），
＝2（1+2+1+1），
＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质应用，准确理解相关性质是解题的关键．
14. 如图，一款落地灯的灯柱垂直于水平地面，高度为1.6米，支架部分的形状为开口向下的抛物线，其顶点距灯柱的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4米，灯罩距灯柱的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D距地面的高度为______米．

【答案】1.95
【解析】
【分析】以点B为原点建立直角坐标系，则点C为抛物线的顶点，即可设顶点式y＝a（x−0.8）2＋2.4，点A的坐标为（0，1.6），代入可得a的值，从而求得抛物线的解析式，将点D的横坐标代入，即可求点D的纵坐标就是点D距地面的高度．
【详解】解：如图，以点B为原点，建立直角坐标系．
由题意，点A（0，1.6），点C（0.8，2.4），则设顶点式为y＝a（x−0.8）2＋2.4，
将点A代入得，1.6＝a（0−0.8）2＋2.4，解得a＝−1.25，
∴该抛物线的函数关系为y＝−1.25（x−0.8）2＋2.4，
∵点D的横坐标为1.4，
∴代入得，y＝−1.25×（1.4−0.8）2＋2.4＝1.95，
故灯罩顶端D距地面的高度为1.95米，
故答案为：1.95．

【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
三、解答题（共78分）
15. 先化简，再求值：，其中x＝﹣3．
【答案】，﹣．
【解析】
【分析】先将运用异分母加减运算法则计算，然后再约分化简，最后将-3代入求解即可．
【详解】解：原式＝﹣
＝﹣
＝
＝，
当x＝﹣3时，原式＝﹣．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确运用分式的运算法则化简原分式是解答本题的关键．
16. 小丹有3张扑克牌，小林有2张扑克牌，扑克牌上的数字如图所示．两人用这些扑克牌做游戏，他们分别从自己的扑克牌中随机抽取一张，比较这两张扑克牌上的数字大小，数字大的一方获胜．请用画树状图（或列表）的方法，求小丹获胜的概率．

【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，小丹获胜的情况有3种，
∴P（小丹获胜）＝．
【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于画出树状图.
17. 在国家“一带一路”发展战略等多重因素影响下，某企业的利润逐年提高，据统计，该企业2018年利润为10亿元，2020年利润为12.1亿元，若2021年保持前两年的年平均增长率不变，该企业2021年利润能否超过13亿元?
【答案】该企业2021年利润能超过13亿元．
【解析】
【分析】设这两年该企业年利润平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，求出x的值，然后计算出2021年利润与13亿进行比较即可．
【详解】解：设这两年该企业年利润平均增长率为x，由题意可得：

解得：或（舍）
该企业2021年利润为（亿元）

答：该企业2021年利润能超过13亿元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元二次方程．
18. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．

（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC．所画△ABC的面积为__________.
（2）在图②中以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形ABD．
（3）在图③中以线段AB为边画一个△ABE，使∠BAE＝90°，其面积为2．
【答案】（1）图见解析；； （2）见解析； （3）见解析
【解析】
【分析】（1）以A为直角顶点，以AC为4×1小方格的对角线，找出C点即可；
（2）以AB为边画出一个正方形，再连接正方形的两条对角线，对角线的交点为所求的点D；
（3）先画出4×1小方格的对角线AC，再在AC上截取即可．
【小问1详解】
如图所示，△ABC即为所求，

S△ABC＝；
【小问2详解】
以AB为边画出一个正方形，再连接正方形的两条对角线，对角线的交点为所求的点D，如图所示，△ABD即为所求，
【小问3详解】
先画出4×1小方格的对角线AC，再在AC上截取，△ABE即为所求，如图所示：

【点睛】本题考查了格点画图，注意利用原有的数据，进一步利用勾股定理及相似三角形的性质，是解决本题的关键．
19. 为宣传普及新冠肺炎防治知识，引导学生做好防控．东北师大附中举行了主题为“防控新冠，从我做起”的线上知识竞赛活动，测试满分100分，为了解七、八年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在七、八年级各抽取了20名参赛学生的成绩，已知抽查得到的七年级的数据如下：
80．95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，80
为了便于分析数据，统计员对七年级数据进行了整理，如下表：
成绩等级
分数（单位：分）
学生数
D等
60 5
C等
70 a
B等
80 b
A等
90 2
七、八年级成绩的平均数、中位数、优秀率如下：（分数80分以上、不含80分为优秀）
年级
平均数
中位数
优秀率
七年级
78
c
m%
八年级
76
82.5
50%

（1）a＝__________，c＝__________，m＝__________
（2）七年级小明和八年级小刚的分数都为80分，判断小明、小刚在各自年级的排名哪位更靠前?并说明理由．
（3）如果该校七、八年级各600人，估计该校七、八年级此次线上知识竞赛成绩优秀的总人数．
【答案】（1）10，77.5，25；
（2）小明在七年级的排名更靠前；
（3）该校七、八年级此次线上知识竞赛成绩优秀的总人数约为450人．
【解析】
【分析】（1）直接根据抽查得到的八年级的数据即可求出a，c和m的值；
（2）根据小明、小刚的成绩和所在年级抽查成绩的中位数进行比较即可得出结论；
（3）用总人数乘以样本中成绩80分以上的人数所占比例，分别求得七八年级成绩优秀的人数，即可求解．
【小问1详解】
解：数据在的有：80，75，75，75，80，80，75，80，75，80共10个，所以a=10；
将数据重新排序：65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90，95，95，
所以中位数，
优秀率，
故答案为：10，77.5，25；
【小问2详解】
小明在七年级的排名更靠前．
理由如下：七年级的中位数为77.5分，而小明的分数为80分，所以小明的成绩为中上游；
而八年级的中位数为82.5分，小刚的分数都为80分，所以他在八年级为中下游；
【小问3详解】
七年级成绩优秀的人数为：600×25%＝150人
八年级成绩优秀的人数为：600×50%＝300人
300+150=450（人）
答：该校七、八年级此次线上知识竞赛成绩优秀的总人数约为450人．
【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
20. 如图，AB是的直径，∠A＝∠CBD．


（1）求证：BC是的切线．
（2）若∠C＝36°，AB＝6，则的长为__________（结果保留）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理得出∠ADB=90°，得出∠A+∠ABD=90°，证出∠ABC=90°，即可得出结论；
（2）连接OD，证出∠ABD=∠C=36°，由圆周角定理得出∠AOD=2∠ABD=72°，再由弧长公式即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠A=∠CBD，
∴∠CBD+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线．
【小问2详解】
解：连接OD，如图所示：

∵∠ABC=90°，
∴∠C+∠A=90°，
又∠A+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠C=36°，
∴∠AOD=2∠ABD=72°，
∵直径AB=6，
∴OA=3，
∴的长= ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的性质以及弧长公式等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．
21. 如图①，一个底面是正方形的长方体铁块放置在高为50cm的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离y（cm）与注水时间x（min）之间的函数图象如图②所示．

（1）长方体的高度为__________cm．
（2）求该容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）若该长方体的底面积为，直接写出该圆柱形容器的底面积S的值．
【答案】（1）20； （2），；
（3）该圆柱形容器的底面积为．
【解析】
【分析】（1）根据函数图象的变化即可得；
（2）根据函数图象，直接利用待定系数法求解即可得函数关系式，再求出时，x的值，从而即可得出自变量x的取值范围；
（3）根据两段函数图象得出长方体底面积与圆柱体底面积的关系比值，再根据长方体的底面积求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：0至时，容器顶部离水面的距离变小得快，后容器顶部离水面的距离变小减慢
则长方体的高为
故答案为：20；
【小问2详解】
设容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式为
由函数图象可知，此一次函数的图象经过点
将点代入得：，解得
则该容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式为
当时，，解得
则自变量x的取值范围为；
【小问3详解】
该长方体的底面积为
设每分钟的注水量为
则下底面中未被长方体覆盖部分的面积为
圆柱体的底面积为
长方体底面积为
因此，长方体底面积与圆柱体底面积的比值为
则该圆柱形容器的底面积为
答：该圆柱形容器的底面积为．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、函数图象等知识点，读懂函数图象，正确得出函数解析式是解题关键．
22. 【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．
【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD的取值范围是__________
【应用】如图②，如图，在△ABC中，D为边BC的中点、已知AB＝10，AC＝6，AD＝4，求BC的长．
【拓展】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF．已知BE＝5，CF＝6，则EF的长为__________.


【答案】；；
【解析】
【分析】（1）证明得，再根据三角形三边关系求得AE的取值范围，进而得结论；
（2）延长AD到E，使得，连接BE，证明得，再证明，由勾股定理求得BD，进而得BC；
（3）延长FD到G，使得，连接BG，EG，证明≌，得，，再证明，由勾股定理求得EG，由线段垂直平分线性质得EF．
【详解】解：（1）在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2）延长AD到E，使得，连接BE，如图，

和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
；
（3）延长FD到G，使得，连接BG，EG，如图，

在和中，
，
≌，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查几何变换综合题、三角形的中线、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体会出现中点的辅助线的添加方法，属于中考压轴题．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC－CB运动，在边AC上以每秒3个单位的速度运动，在边CB上以每秒4个单位的速度向终点B运动．当点P与△ABC的顶点不重合时，过点P作其所在直角边的垂线，交边AB于点Q，以PQ为底边作等腰三角形PQD，使．设点P的运动时间为t（s）.

（1）直接写出PQ的长（用含t的代数式表示）
（2）用含t的代数式表示点D到边PQ的距离．
（3）当△ABC的一条直角边平分△PQD的腰时，求t的值．
（4）当点D落在∠ACB的平分线上时，直接写出t的值．
【答案】（1）当时，；当时，
（2）当时，点D到边PQ的距离为；当时，点D到边PQ的距离为；
（3）当或时，△ABC的一条直角边平分△PDQ的腰
（4）当点D落在∠ACB的平分线上时或
【解析】
【分析】（1）分当点P在AC上运动时，此时 和当P在BC上运动时，此时，两种情况利用相似三角形的性质与判定进行求解即可；
（2）分当点P在AC上运动时，此时 和当P在BC上运动时，此时，两种情况利用相似三角形的性质与判定进行求解即可；
（3）分当BC平分PD时，和当当AC平分DQ时，利用相似三角形的性质与判定进行求解即可；
（4）分当点P在AC上运动时和当点P在BC上运动时，利用角平分线的性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图1所示，当点P在AC上运动时，此时
由题意得，
∵PQ⊥AC，BC⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ACB，
∴，
∴；

如图2所示，当P在BC上运动时，此时，
同理可证△BPQ∽△BCA，
∴，
∴；
∴综上所述，当时，；当时，；
【小问2详解】
解：如图3所示，当点P在AC上时，过点D作DE⊥PQ于E，
∵△PDQ是以PQ为底边的等腰三角形，
∴，
∵PD∥AB，
∴∠AQP=∠DPE，
又∵∠APQ=∠DEP=90°，

∴△APQ∽△DEP
∴，
∴；
如图4所示，当点P在BC上时，过点D作DE⊥PQ于E，
同理可得，
同理可证△BCA∽△DEP
∴，
∴；
∴当时，点D到边PQ的距离为；当时，点D到边PQ的距离为；

【小问3详解】
如图5所示，当BC平分PD时，
∴，
∵，
∴△DGM∽△DEP，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

如图6所示，当AC平分DQ时，即，过点D作DE⊥PQ，交PQ于E，交AC于G，
∴
∵PQ⊥BC，AC⊥BC，
∴AC∥PQ，
∴△DGM∽△DEQ，

∴，
∵PD∥AB，
∴∠DPE=∠BQP，
又∵∠DEP=∠QPB=90°，
∴∠B=∠EDP，
∴△DEP∽△BCA，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证四边形CPEG矩形，
∴，
又∵，
∴，
解得，
∴综上所述，当或时，△ABC的一条直角边平分△PDQ的腰．

【小问4详解】
解：如图7所示，当点P在AC上时，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，延长ND交PQ于H
∵点D落在∠ACB的平分线上，
∴DM=DN，
∵DM⊥AC，DN⊥BC，∠ACB=90°，DM=DN，
∴四边形DMCN是正方形，
∴MC=CN，
∵，HN⊥BC，
∴HN⊥PQ，
∴四边形CPHN是矩形，四边形PMDH是矩形，
∴由（2）得 ，，
∴，
解得；

如图8所示，当点P在BC上时，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，
同理可以求得，
∴当点D落在∠ACB的平分线上时或．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，角平分线的性质等等，正确画出图形，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，函数的图象记为，函数的图象记为，其中a为常数，且．图象、，合起来得到的图象记为．
（1）直接写出图象与x轴的交点坐标．
（2）当图象的最低点到x轴距离为2时，求a的值．
（3）当时，若在图象M上，求m的值．
（4）点A、B、C、D的坐标分别为（－2，2）、（3，2）、（3，－1）、（－2，－1），当、的顶点均在矩形ABCD内部时，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）（，0），（，0）．
（2）；
（3） 或；
（4）
【解析】
【分析】（1）令中y=0，得到，解方程求出x值即可得到图象与x轴的交点坐标；
（2）将函数解析式化为顶点式，得到顶点坐标，根据图象的最低点到x轴距离为2顶点方程，求解即可；
（3）将a=1代入两个函数解析式，再将点代入，分别求出对应的m值；
（4）由图象的顶点坐标为（1，-5a），得到，由图象的顶点坐标为（-1，5a），得到，求出a的取值范围．
【小问1详解】
解：令中y=0，得，
∴，
∴，
解得，
∴图象与x轴的交点坐标为（，0），（，0）．
【小问2详解】
解：∵，
∴图象的顶点坐标为（1，-5a），
∵图象的最低点到x轴距离为2，
∴，且a>0，
∴；
【小问3详解】
解：当时，
图象M1的解析式为，
将点代入，得，
解得（负值舍去），
图象M2的解析式为，
将点代入，得，
解得（正值舍去），
∴当时， 或；
【小问4详解】
解：∵图象的顶点坐标为（1，-5a），
∴，
解得；
∵图象的解析式，
∴图象的顶点坐标为（-1，5a），
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了二次函数的综合知识，求函数图象与坐标轴的交点坐标，将解析式化为顶点式，顶点坐标的确定，解一元一次不等式，正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键．