2023届高考理科数学考前冲刺卷 全国卷

2023届高考理科数学考前冲刺卷

全国卷

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2.若复数z满足，则在复平面内对应的点位于(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知，，且，则(   )

A. B. C. D.

4.某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院C专业应抽取的学生是(   )

A.42名 B.38名 C.40名 D.120名

5.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为(   )

A.8 B.12 C.16 D.20

6.的展开式中的常数项为(   )

A.15 B.60 C.80 D.160

7.函数在区间上的最大值是(   )

A. B.1 C. D.

8.在所有棱长均相等的三棱柱中，平面，E为（靠近点B）的三等分点，F为（靠近）的三等分点，如图，则异面直线与所成角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

9.已知约束条件则目标函数的最小值等于(   )

A. B. C. D.

10.设双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线上存在一点P，使，且，则双曲线的离心率为(   )

A. B. C. D.

11.已知定义域为R的函数在上单调递减，且，则使得不等式成立的实数x的取值范围是(   ).

A. B.或 C.或 D.或

12.已知分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于A，B两点，C，D分别为线段的中点，的周长为4，当A为椭圆E的上顶点时，，则椭圆E的离心率为(   )

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数在处的切线与直线垂直，则实数_________.

14.已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是_______________.

15.设点，，若直线AB关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是___________.

16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则周长的取值范围为_____________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）在等差数列和等比数列中,,且成等差数列,成等比数列

1.求数列的通项公式

2.设,数列的前项和为

①求

②若对所有正整数恒成立,求常数的取值范围.

18.（12分）由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的列联表.

已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.

（1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？

（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系；

（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望.

附：，，

19.（12分）在三棱柱中，.

(1)求证：平面平面ABC；

(2)若，求锐二面角的余弦值.

20.（12分）已知圆的圆心是抛物线的焦点.

(1)求该抛物线的方程；

(2)直线与该抛物线交于A，B两点，与圆F交于C，D两点，，求实数t的值.

21.（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，，证明：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，.

（I）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若经过点P的直线l：（t为参数），与曲线C交于A，B两点，若，求的取值范围.

23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]

已知的最小值为.
（1）求实数m的值；
（2）已知，且，求证：.

答案以及解析

1.答案：B

解析：由题意，得，，所以.故选B.

2.答案：D

解析：由题意可得，复数，所以，其在复平面内对应的点的坐标为，即在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.

3.答案：D

解析：由，，得，

所以，，

故选：D.

4.答案：C

解析：专业的学生有(名)，

由分层抽样特点知，C专业应抽取(名)学生.故选C.

5.答案：B

解析：三视图对应的几何体是放倒的直四棱柱，如图，直四棱柱的高为2，底面是上底为2，下底为4，高为2的梯形，所以体积.故选B.

6.答案：B

解析：由题知，的展开式的通项为，

当时，，此时，

故的展开式中的常数项为60，故A，C，D错误.

故选：B.

7.答案：A

解析：，

，，

.故选A.

8.答案：B

解析：由题意可知三棱柱为直三棱柱，连接AE，.因为E为上靠近点B的三等分点，F为上靠近的三等分点，所以，所以直线AE与直线所成角，即为异面直线AE与所成角，设三棱柱的各棱长为3，在中，，同理在中，，在中，.设异面直线与所成角为，在中，由余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值为，故选B.

9.答案：C

解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数的最小值即为点到直线的距离d的平方.目标函数的最小值为，故选C.

10.答案：C

解析：因为点P在双曲线上，且，

所以，

所以，，

因为，

所以，

即，

整理得，

所以离心率.故选C.

11.答案：D

解析：由知关于点(2，0)对称，在上单调递减，在R上单调递减，又，

，

，

，解得或，故选D.

12.答案：A

解析：由椭圆的定义知，，

，

C，D分别为线段的中点，，

的周长为，.

当A为椭圆E的上顶点时，易知，过点B作轴，垂足为M，

显然(O为坐标原点)，

，，即，

，，

，，

椭圆E的离心率，故选A.

13.答案：-2

解析：由题可知，可得在处的切线斜率为，由切线与直线垂直，可得，解得.

14.答案：

解析：如图，过点S作平面ABC于点E，取正三棱锥外接球的球心为O，连接OB，BE.在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为，，.球心O到四个顶点的距离均等于该正三棱锥外接球的半径长R，，.在中，，即，解得，该正三棱锥外接球的表面积为.故答案为.

15.答案：

解析：由题意知点关于直线的对称点为，所以，所以直线的方程为，即.由题意知直线与圆有公共点，易知圆心为，半径为1，所以，整理得，解得，所以实数a的取值范围是.

16.答案：

解析：由，得，即，

所以，即.

，，，即.

，，.

则

.

，.

，

即，

，则.

即的周长的取值范围是.

17.答案：1.设等差数列的公差为,等比数列的公比为,

由题意得,

解得: 所以
2.

①

②恒成立,即

设,则

所以单调递增,故,即的取值范围是

18、（1）答案：从A地抽取6人，从B地抽取7人

解析：由题意得，解得，

所以应从A地抽取(人)，从B地抽取(人).

（2）答案：表格见解析，没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系

解析：完成表格如下：

所以的观测值

，

所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

（3）答案：分布列见解析，期望是2

解析：从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，

从A地区随机抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，

则，

，

，

.

所以X的分布列为

.

19.答案：(1)证明过程见解析.

(2)余弦值为.

解析：(1)证明：取AC中点为O，连接，BO.

由已知条件知，

.

又，.

又，平面ABC，

平面ABC.

又平面，

平面平面ABC.

(2)由(1)知OB，OC，两两垂直，故以O为坐标原点，OB，OC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

，，

.

令平面NAB的法向量，

则即

令，则，

易知平面ABC的一个法向量，

，

锐二面角的余弦值为.

20.答案：(1)方程是.

(2)1或.

解析：(1)将圆F的一般方程化成标准方程为，

圆心是，圆的半径为2.

圆心是抛物线的焦点，

所求抛物线的方程是.

(2)联立，消去x得，

，

.

点到直线的距离，

.

，，

，

即，

解得或(舍负)，

即实数t的值为1或.

21.答案：（1）见解析

（2）见解析

解析：（1），

.

令，则其判别式.

①当，即时，

，在上单调递减.

②当，即时，方程有两个不相等的正根，，

则当或时，，

当时，，

在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，在上单调递减，无增区间；

当时，在，上单调递减，在上单调递增.

（2）不妨设.由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，，.

.令，，则，在上单调递减，，即.

22.答案：(I)

(II)

解析：(I)根据

曲线C的极坐标方程为，，整理得.

故曲线C的直角坐标方程为.

(II)将直线l：(t为参数)

代入，

可得.

设A，B两点对应的参数分别为，，

由韦达定理得，，

则，

故可得.

因为，

所以或，

故的取值范围为.

23.答案：本题考查含有绝对值函数的最值的求解、不等式的证明.
（1）由题意，函数
可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以函数的最小值为.
又因为函数的最小值为，所以，解得.
（2）由（1）知，，且，
所以要证，只要证，
即证，即证，
即证，
即证，即证，
显然，当且仅当时取等号.
所以.