2023届高考数学考前冲刺卷 全国卷【配套新教材】

2023届高考数学考前冲刺卷 全国卷

【配套新教材】

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若，则(   )

A.1 B.-1 C. D.

2.已知集合，，若，则m的最大值为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

3.设为等差数列的前n项和，，，则(   )

A.-6 B.-4 C.-2 D.2

4.已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为(   )

A. B. C. D.

5.函数的部分图象大致为(   )

A. B.

C. D.

6.已知，则(   )

A.-2 B.2 C.4 D.12

7.一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱（下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上），则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为(   )

A.1 B.2 C.3 D.

8.如图所示，过的重心G作一直线分别交AB，AC于D，E两点.若，则(   )

A.4 B.3 C.2 D.1

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列关于函数的说法正确的是(   )

A.在区间上单调递增 B.最小正周期是π

C.图象关于点成中心对称 D.图象关于直线成轴对称

10.将一枚骰子向上抛掷一次，设事件{向上的一面出现奇数点}，事件{向上的一面出现的点数不超过2}，事件{向上的一面出现的点数不小于4}，则下列说法中正确的有(   )

A.

B.{向上的一面出现的点数大于3}

C.{向上的一面出现的点数不小于3}

D.{向上的一面出现的点数为2}

11.已知抛物线的焦点为F，，是拋物线上两点，则下列结论中正确的是(   )

A.点F的坐标为

B.若A，F，B三点共线，则

C.若直线OA与OB的斜率之积为，则直线AB过点F

D.若，则AB的中点到x轴距离的最小值为2

12.已知四棱雉的顶点都在球心为O的球面上，且平面ABCD，底面ABCD为矩形，，，设E，F分别是PB，BC的中点，则(   ).

A.平面平面PCD 

B.四棱锥的外接球的半径为

C.P，B，C三点到平面AEF的距离相等 

D.平面AEF截球O所得的截面面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩（单位：分），并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的分位数为______.
 

14.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________.

15.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为________________.

16.已知函数的图象关于y轴对称，且满足，当时，.若关于x的不等式在上的整数解的个数为80，则实数a的取值范围是_____________.

四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在中，内角的对边分别为.已知.

(1)若，求的面积；

(2)若外接圆半径，求的取值范围.

18.（12分）已知等比数列的公比，前n项和为，，是，的等差中项，数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.

19.（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈，则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中.假设.
（i）证明：为等比数列；
（ii）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性.

20.（12分）如图所示，三棱锥中，平面，，平面经过棱的中点E，与棱，分别交于点F，D，且平面，平面.

（1）证明：平面；

（2）若，点M是直线上的动点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值.

21.（12分）已知椭圆经过点，且离心率为.

（1）设过点的直线与椭圆E相交于M、N两点，若MN的中点恰好为点P，求该直线的方程；

（2）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点，求实数m的取值范围.

22.（12分）已知函数.

(1)讨论函数的单调区间；

(2)若函数的两个极值点分别为.求证：.

答案以及解析

1.答案：C

解析：因为，故.

故选：C.

2.答案：B

解析：由，得，，由，得，.又，，得，故m的最大值为2.故选B.

3.答案：A

解析：由已知得

解得，.

故选A.

4.答案：B

解析：设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，

由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，

球的大圆是该等边三角形的内切圆，

所以，，

，

所以球与圆锥的表面积之比为.

故选：B.

5.答案：A

解析：，，，定义域关于原点对称，

，

所以函数为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，所以选项C错误；

又当时，，所以选项BD错误.

故选：A.

6.答案：C

解析：令，则，

故，

中得系数为，中得系数为，

所以，

故选：C.

7.答案：D

解析：如图，由题意可得，，故圆锥的高，.设圆柱的高为h，底面半径为r，则，故，，圆柱的侧面积，当且仅当，即时，S取得最大值.故选D.
 

8.答案：B

解析：欲求的值，可依据题设建立关于x，y的等式(方程思想).

因为D，G，E三点共线，所以可设.

因为，所以.

因为G为的重心，所.

又，故可得，

整理得，消去得，故选B.

9.答案：BC

解析：令，，得，，显然不满足上述关系式，故A中说法错误；显然该函数的最小正周期为π，故B中说法正确；令，，得，，当时，得，故C中说法正确；正切曲线没有对称轴，因此函数的图象也没有对称轴，故D中说法错误.故选BC.

10.答案：BC

解析：由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，3，5；

事件B包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，2；

事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4，5，6.

所以{向上的一面出现的点数为2}，故A错误；{向上的一面出现的点数为4或5或6}，故B正确；{向上的一面出现的点数为3或4或5或6}，故C正确；，故D错误，故选BC.

11.答案：BCD

解析：点F的坐标为，故A错误；若A，F，B三点共线，设直线，代入抛物线方程，整理得，则，，，故B正确；设直线，代入抛物线方程，整理得，则，，若直线OA与OB的斜率之积为，则，则，即，，当时，等式恒成立，所以直线AB过点F，故C正确；由C得，，所以，所以.因为，

所以AB的中点到x轴的距离

，

当且仅当时取等号，故AB的中点到x轴距离的最小值为2，故D正确.故选BCD.

12.答案：BCD

解析：对于A，取线段PC的中点O，连接EO，OD，则，所以，，在梯形ADOE中，AE与OD不平行，若平面平面PCD，因为平面平面，平面平面，所以，这和AE与OD不平行相矛盾，故A错误；

对于B，由题意可将该四棱锥补形为一个长方体，易知球心O为长方体的对角线的中点，即PC的中点，故球O的直径，所以，故B正确；

对于C，E为PB的中点，则P，B两点到平面AEF的距离相等，同理F为BC的中点，则B，C两点到平面AEF的距离相等，故C正确；

对于D，设球心到平面AEF的距离为d，截面圆的半径为r，由题意可知，球心O到平面AEF的距离等于点B到平面AEF的距离，，，，因为，所以，点E到平面ABF的距离为，在三棱锥中，由等体积法可得，即，解得，所以，所以截面圆的面积为，故D正确.故选BCD.

13.答案：122

解析：根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学生所占比例为，成绩在110分以下的学生所占比例为，因此分位数一定位于内，由，故可估计该校学生成绩的分位数为122.

14.答案：

解析：当时，，则.因为为偶函数，所以，所以，

则，所以所求切线方程为，即.

15.答案：

解析：因为，O为的中点，所以Q为的中点.因为，所以点到渐近线的距离，又，所以.连接，易知，则由双曲线的定义可知.在中，由余弦定理可得，整理得，所以双曲线C的离心率.

16.答案：

解析：因为，所以的图象关于直线对称，

所以，又函数的图象关于y轴对称，所以，所以，所以8是的周期.因为为偶函数且周期为8，在上的整数解的个数为80，所以不等式在一个周期内有4个整数解.因为的图象关于直线对称，所以在内有2个整数解.因为，所以由，可得或.当时，，

则，令，解得，所以当时，，单调递增，且；当时，，单调递减.

作出在内的图象，如图所示，

由图象可得在内无整数解，所以在内有2个整数解.因为，，，所以在内的整数解为和，所以，解得.

17.答案：(1)

(2)

解析：本题考查正、余弦定理的应用，三角形面积公式以及边的取值范围的求解.

(1)由，得，

即，所以，

因为B是三角形内角，所以，得.

由，及正弦定理得，又，整理得，

因为，所以，即.

又，所以边上的高为，

所以.

(2)由正弦定理，

得，

所以

.

因为，所以，

则，所以，

所以.

故的取值范围为.

18.答案：（1）因为等比数列的公比，
由题意，是，的等差中项，
所以
即解得
因此，.
（2）数列的前n项和为，
当时，.
又也满足，
所以，.
由（1）可得，
则，①
，②
①-②得，
因此，.
解析：

19.答案：（1）X的所有可能取值为，0，1.
，
，
.

所以X的分布列为

（2）（i）证明：由（1）得.
因此，
故，
即.
又因为，
所以为公比为4，
首项为的等比数列.
（ii）由（i）可得

.
由于，故，
所以.
表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
20.（1）答案：证明见解析

解析：证明：平面，平面，且平面平面，

，又E为的中点，F为的中点，

又平面，同理可得，且D为的中点，

平面，平面，，则，

，，，

而，、平面，

平面；

（2）答案：

解析：如图，以点B为坐标原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴，过点B且与AP平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，，，

设，则，设平面的法向量为，

则，令，则，，

所以为平面的一个法向量.

设平面的法向量为，

则，则，令，则，

所以为平面PBC的一个法向量.

设平面MAC与平面PBC所成的锐二面角为，

则.

当时，；

当时，，

当且仅当，即时，取得最小值，取得最大值，

最大值为.

所以平面MAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值的最大值为.

21.答案：（1）

（2）

解析：（1）由题意，得

解得

所以椭圆E的标准方程是.

设点，，则

两式相减得，

又，，所以，即，

故所求直线的方程是，

即.

（2）由（1）知，椭圆E的右焦点.

（ⅰ）当直线l与x轴垂直时，，符合题意.

（ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为，.

联立

消去y，可得，易得.

设，，线段AB的中点为C，

则，，

所以.

所以线段AB的中点C的坐标为.

由题意可知，，

故直线QC的方程为，

令，得，即.

当时，得，

当且仅当时，等号成立；

当时，得，当且仅当时，等号成立.

综上所述，实数m的取值范围为.

（也可设l的方程为求解）

22.答案：(1)时，函数在R上单调递增；

当或时，函数在，上单调递增，在上单调递减.

(2)证明过程见解析.

解析：(1)由题知，

，

当，即时，恒成立，

函数在R上单调递增；

当，即或时，

令的两个实根分别是，

其中，.

当时，，

当时，，

函数在，上单调递增，

在上单调递减.

综上所述，时，函数在R上单调递增；

当或时，函数在，上单调递增，在上单调递减.

(2)证明：，

则.

令，则.

由题知，即或，

的两个极值点满足，.

，

.

令，

则.

令，

则，

，

函数在上单调递减，

.

，，

.