2023年云南省玉溪市中考数学一模试卷（含解析）

2023年云南省玉溪市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，四个数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年月日起实施垃扱分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，，直线分别交，于点，的平分线交于点若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  代数式有意义时，应满足的条件为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  孙子算经中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆”说明了大数之间的关系：亿万万，兆万万亿将“兆”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒若按照这样的方法拼成第个图形，则第个图形需要的小木棒的数量为(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，是的直径，点，在上，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，设，，所对的边边长分别为，，，则下列等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  下列说法正确的是(    )

A. 了解一批新能源电池的使用寿命，可以采用抽样调查的方式
B. 如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买张这种彩票一定会中奖
C. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定
D. “任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是”是必然事件

12.  如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，下列结论：
四边形是菱形；
；
；
若平分，则．
其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）

13.  分解因式：______．

14.  设，是一元二次方程的两根，则 ______ ．

15.  已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______ ．

16.  已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数的图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：
；；；若和均在该函数的图象上，且，则其中正确的结论有______ 填序号

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
孔子说“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的老师，阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校名学生中随机抽取了人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，绘制了学生每周自主发展兴趣爱好的时长的频数分布表和频数分布直方图如下：
学生每周自主发展兴趣爱好时长频数分布表

根据以上信息，解答下列问题：
补全频数分布直方图；
这名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在______ 组；
若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则组的学生人数占调查总人数的百分比为______ ，对应的扇形圆心角的度数为______ ；
学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？

20.  本小题分
从甲、乙、丙、丁名学生中选名学生参加一次乒乓球单打比赛．
若甲一定被选中参加比赛，再从其余名学生中任意选取名，恰好选中乙的概率是______ ；
任意选取名学生参加比赛，求一定有丁的概率用树状图或列表的方法求解

21.  本小题分
为深人学习党的二十大精神，某校举办了“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，学校计划购买两种奖品共计份分别发放给获得一等奖、二等奖的同学，获奖同学各发一份奖品，同一等级奖品相同设一等奖奖品的单价为元，购买两种奖品的总费用为元．
若购买一等奖、二等奖奖品的单价分别为元、元，则学校共需花费元，求获得一等奖、二等奖的人数分别是多少？
在的结果下，若一等奖、二等奖奖品的单价的和为元，一等奖奖品的单价不超过二等奖奖品单价的倍，求总费用的最小值．

22.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，点是外一点，平分，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，点是的中点，连接．
求证：是的切线；
若的直径为，，求的长．

23.  本小题分
如图，四边形是正方形，点是对角线上一点点不与点，重合，过点作，交于点，作，交于点．

求证：四边形是正方形；
如图，将四边形绕点顺时针旋转，连接，，求的值．

24.  本小题分
已知抛物线经过点，关于直线成轴对称设抛物线与函数图象的交点交点也称公共点的横坐标为．，．
求抛物线的解析式；
以下结论：，，，你认为哪个正确？并证明你认为正确的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
在，，，四个数中，最大的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：．
根据二次根式的减法计算法则即可判断；根据完全平方公式即可判断；根据幂的乘方计算法则即可判断；根据单项式乘以单项式的计算法则即可判断
本题主要考查了二次根式的减法，幂的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，，
平分，
，
故选：．
先根据平行线的性质得到，，再由角平分线的定义即可得到．
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，
，
故选：．
根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件进行求解即可．
本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，数知分式有意义的条件是分母不为，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：兆万万亿，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意知，第个图形需要根小木棒，
第个图形需要根小木棒，
第个图形需要根小木棒，
按此规律，第个图形需要根小木棒，
当时，，
第个图形需要的小木棒的数量为根，
故选：．
根据图形的变化及数值的变化找出变化规律，即可得出结论．
本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

为的直径，
，
，
．
故选：．
连接，证明，结合，再利用三角形的内角和定理可得答案．
本题考查的是圆周角定理，三角形内角和定理，熟记圆周角定理作出合适的辅助线是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，，
，，
四个选项中，只有选项符合题意，
故选：．
根据正切是对边与另外一条直角边的比值，正弦是对边与斜边的比值进行逐一判断即可．
本题主要考查了求角的正弦和正切，熟知正弦和正切的定义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：要了解一批灯泡的使用寿命，破坏性较强，应采用抽样调查，正确，符合题意；
B.如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买张这种彩票不一定一定会中奖，原说法错误，不符合题意；
C.若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则，则甲组数据较稳定，原说法错误，不符合题意；
D.“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是”是不可能事件，原说法错误，不符合题意．
故选：．
根据全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小分别进行判断即可．
此题主要考查了全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小，关键是熟练掌握各知识点．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，设与的交点为，
根据作图可得是线段的垂直平分线，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形，故正确．


，
，故正确．

由菱形的面积可得，故错误．

四边形是矩形，
，
平分，，，
，
，

，
，
，
，故正确．
故选：．
根据作图可得是线段的垂直平分线，设与的交点为，证明≌，得到，进而证明四边形是菱形，即可判断，进而根据等边对等角和三角形外角的性质即可判断；根据菱形的性质求面积即可求解判断；根据角平分线的性质可得，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：，
，
．
故答案为：．
 

14.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两根，
，，
；
故答案为：．
由根与系数的关系得到两根和与两根积，结合即可得到结果．
本题考查一元二次方程根与系数关系，熟记一元二次方程根与系数关系的内容是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，
圆锥的底面周长为，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，
圆锥的侧面积为：，
故答案为：．
根据圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系以及扇形面积公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

16.【答案】 

【解析】解：二次函数开口向上，与轴交于负半轴，
，，
二次函数对称轴为对称轴为直线，
，
，
，故错误；
二次函数的图象经过点，
二次函数的图象经过点，即二次函数与轴有两个不同的交点，
，故正确；
当时，，
，故正确；
二次函数开口向上，对称轴为直线，
当时，随增大而增大，
和均在该函数的图象上，且，
，故错误；
故答案为：．
根据二次函数图象与系数的关系可得，，再由对称轴为直线可得，即可判断；根据对称性求出二次函数的图象经过点，即可判断；根据二次函数的增减性即可判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的增减性等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用零指幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：


；
当时，
原式． 

【解析】先把除法化为乘法，约分后，再合并同类项得到化简后的结果，再把代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟记运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：补全统计图如下所示：

参与调查的总人数为人，
把学生每周自主发展兴趣爱好的时长从低到高排列，第名和第名的时长的平均数即为中位数，
又，，
中位数落在组，
故答案为：；
组的学生人数占调查总人数的百分比为，对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：，；
人，
该校学生中有人需要增加自主发展兴趣爱好时间．
根据频数分布表补全统计图即可；
根据中位数的定义进行求解即可；
根据百分比该组频数总数，圆心角百分比，即可得出答案；
用乘以组所占百分比即可得出答案．
本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：由甲一定被选中参加比赛，再从其余名学生中任意选取名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有种，
甲一定参加比赛，再从其余名学生中任意选取名，恰好选中乙的概率是．
列表如下：

所有的等可能的情况数有种，符合条件的情况数有种，
所以一定有丁的概率为：．
利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；
先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．
本题考查的是利用例举法，列表法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键．
 

21.【答案】解：设获一等奖的人数为人，则获二等奖的人数为人，
，
解得：，
，
答：获一等奖的人数为人，则获二等奖的人数为人．
设获一等奖奖品的单价为元，则获二等奖奖品的单价为元，
总费用，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，费用最小值为元． 

【解析】设获一等奖的人数为人，则获二等奖的人数为人，可得，再解方程可得答案；
设获一等奖奖品的单价为元，则获二等奖奖品的单价为元，则总费用，再列不等式可得的范围，结合一次函数的性质可得答案．
本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，确定相等关系与不等关系列方程与不等式或函数关系式是解本题的关键．
 

22.【答案】证明：如图所示，连接，

平分，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；

解：是直径，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，，
∽，
，即，
． 

【解析】如图所示，连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角推出，则，即可证明，则是的切线；
先由直径所对的圆周角是直角得到，再证明是的中位线，得到，进一步证明∽，利用相似三角形的性质即可求出．
本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，平行线的性质与判定，等边对等角，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，，
角平分线的性质，
四边形是正方形；

解：四边形，都是正方形，
，
，
∽，
． 

【解析】先由正方形的性质得到，，进而证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得到，即可证明四边形是正方形；
根据正方形的性质得到，进而证明∽，则．
本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟知正方形的性质与判定条件是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线经过点，关于直线成轴对称．
，
解得：，
抛物线的解析式为；
正确．
证明如下：
由可得：，
两个函数交点的横坐标为，
，






，

，而，则，
，
，
，
． 

【解析】抛物线经过点，关于直线成轴对称．再建立方程组求解即可；
由结合两个交点的横坐标，可得，再化简可得；从而可得答案．
本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，函数的交点坐标的含义，分式的化简求值，分式的值的大小比较，灵活的运用以上知识解题是关键．