2023年浙江省温州市平阳县中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省温州市平阳县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算：的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某物体如图所示，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  年春节假期全国国内旅游出游达人次，同比增长请你将  用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  解方程，以下去分母正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  某日，甲、乙随机乘坐由平阳站开往雁荡山站的直达动车，具体车次如图各车次各等级座位均有票，则两人乘坐同一趟车的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在一次中考体育模拟测试中，某班名学生参加测试满分为分，成绩统计如表，部分数据被遮盖，下列统计量中，与被遮盖的数据无关的是(    )

A. 中位数、众数 B. 中位数、方差 C. 平均数、众数 D. 平均数、方差

7.  如图，是的直径，点是弧上一点，，连接若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，小李身高，在路灯的照射下，影子不全落在地面上小李离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知抛物线经过点，将点先向右平移个单位，再向下平移个单位恰好落在抛物线的最低点处，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，以正方形的两边和为斜边向外作两个全等的直角三角形和，过点作于点，交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点，交于点若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  分解因式：______．

12.  某车站位购票者等候购票时间的频数表如图所示，其中的值为______ ．

13.  不等式组的解集为______ ．

14.  一个扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角为______度．

15.  如图，点，，在函数常数，图象上的位置如图所示，分别过点，作轴与轴的垂线，过点作轴与的垂线若：：：：，图中所构成的阴影部分面积为，则矩形的面积为______ ．

16.  图是一种机械装置，当滑轮绕固定点旋转时，点在上滑动，带动点绕固定点旋转，使点在水平杆上来回滑动图是装置的侧面示意图，，，，，当转动到时，点滑到最左边处，此时，，恰好在同一条直线上，则点到的距离是______ ；当转动到时，点滑到最右边处，则点在上滑动的最大距离 ______ ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
化简：．

18.  本小题分
如图，在矩形中，延长至点，使，连接交于点．
求证：≌；
若，，求点，之间的距离．

19.  本小题分
学校组织“中国传统文化”知识竞赛，每班都有名同学参加，成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分分及以上属于优秀，学校将七年一班和二班的成绩整理如下：

填写以下表格；

结合以上统计量，你认为哪个班级的竞赛成绩更加优秀？请简述理由．

20.  本小题分
如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，请按要求画图．
在图中作一个以点，，，为顶点的格点四边形，且该四边形为中心对称图形；
在图中找一个格点，连接，使将的面积分为：注：图、图在答题纸上

21.  本小题分
已知抛物线．
若抛物线与轴的交点为，求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
已知抛物线与轴的交点在轴正半轴上，与轴有交点若点，在抛物线上，求的取值范围及的最大值．

22.  本小题分
在中，，平分，点是的中点，点是上一点，，延长交的延长线于点，连接．
证明：四边形是平行四边形；
若，，求的长．

23.  本小题分
根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷素材：如图，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为如图，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内太阳光与平行，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光太阳光与平行；素材：小浩查阅资料，计算出，，如图；素材：如图，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点，，的长保持不变．

【任务】如图，求，的长；
【任务】如图，求弧的弓高；
【任务】如图，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值点到的距离．

24.  本小题分
如图，点在的斜边上，半圆切于点，切于点，连接，，为线段上一点，交于点，已知，，设，．
求半圆的半径和的长；
若点在线段上求关于的函数表达式；在上取点不与点重合，连接，，当为等腰直角三角形时，求所有满足条件的值；
当经过的中点时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
直接利用有理数减法法则计算即可．
本题考查了有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：．
 

2.【答案】 

【解析】解：该物体如图所示，它的俯视图是：

故选：．
根据俯视图的定义和画法进行判断即可．
本题考查简单组合体的主视图，俯视图就是从上面看物体所得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：将  用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程两边同时乘以，
得．
故选：．
去分母时，可以等式两边同时乘以分母的最小公倍数，即可得出答案．
本题考查解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设四趟车分别记为，，，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两人乘坐同一趟车的结果有种，
两人乘坐同一趟车的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及两人乘坐同一趟车的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：这组数据中成绩为、、的人数和为，
则这组数据中出现次数最多的数，即众数，
第个数据都是，
则中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解可得．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了弧长的计算，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，延长交于点，

由题意得：，，米，米，米，
，
，
∽，
，
，
米，
米，
故选：．
过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，米，米，米，根据垂直定义可得，然后证明字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
顶点为，
将点先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，
，，
抛物线经过点，
，
，
故选：．
求得抛物线的顶点坐标，求得平移后的坐标，根据题意得到，，即可求得抛物线为，代入求得，即可求得的值．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值，根据题意列出等式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过作于点，交于点，
，
，
，，
，
又，
≌≌，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
作于点，先证≌≌，推出的面积是矩形面积的两倍，从而得出因此设，可得，，从而得出，从而得到，求出，即可求出．
本题考查了全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定与性质．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
本题考查了因式分解的基本方法一提公因式法．本题只要将原式的公因式提出即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据频率频数总人数即可得出答案．
本题主要考查频数分布表，解题的关键是掌握频率频数总数．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是，
故答案为：．
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

14.【答案】 

【解析】解：设这个扇形的圆心角为，
则，
解得，，
故答案为：．
根据弧长公式列式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算、弧长公式，弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为．
 

15.【答案】 

【解析】解：由于：：：：，可设，则，，设，
点、、都在反比例函数的图象上，
，
即，
，
，
又，
即，
，
阴影矩形的两条边的长分别为、，
又阴影矩形的面积为，
，
矩形的面积为．
故答案为：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数的几何意义，设辅助未知数，分别表示，再根据面积公式可得答案．
本题考查反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，掌握反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
 

16.【答案】   

【解析】解：延长交于点，
，，
，
，
∽，
，
，，，，在同一条直线上，
，
，，，
，
，
解得，
点到的距离是；
延长交于点，作于点，
，，，
点在的平分线上，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：；．
延长交于点，可证明∽，得，其中，，所以，可求得点到的距离是；延长交于点，作于点，可证明≌，则，，所以，再求得，因为，所以，求得，，，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

 

【解析】根据绝对值、算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算；
根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则、合并同类项法则计算．
本题考查的是单项式乘单项式、实数的运算，掌握积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则、零指数幂和负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
解：如图，连接，
，，
，
≌，
，
，
，
点，之间的距离为． 

【解析】由“”可证≌；
由勾股定理可求的长，由全等三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

19.【答案】       

【解析】解：一班的平均数为：分；
因为共有个数，把这些数从小到大排列，中位数是第、个数的平均数，
则中位数是分，
一班的优秀率是：，
因为二班级人数所占的比例比较大，
所以二班的众数是分；
故答案为：，，，；

因为一班、二班的中位数和优秀率都相等，但从平均数和众数两方面来分析，二班比一班的成绩更加优秀，
所以二班的竞赛成绩更加优秀．
根据平均数、众数、中位数以及优秀率的计算方法分别进行计算，即可得出答案；
从平均数、众数、中位数以及优秀率方面进行分析，即可得出答案．
本题考查统计问题，涉及统计学相关公式，中位数、平均数和众数等知识，属于中等题型．
 

20.【答案】解：如图，四边形即为所求答案不唯一．
如图，格点即为所求答案不唯一． 

【解析】作以点，，，为顶点的格点四边形为平行四边形即可．
取格点，连接交于点，此时：：：，即将的面积分为：．
本题考查作图应用与设计作图、中心对称图形、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】解：将代入得，
，
抛物线的顶点为．
将代入得，
抛物线与轴交点坐标为，
，
抛物线与轴有交点，
，
或舍．
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点，在抛物线上，
，
，
，
，
解得，
的最大值为． 

【解析】将代入解析式求出的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解．
由抛物线与轴有交点及抛物线与轴正半轴相交可得的取值范围，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

22.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：由可知，四边形是平行四边形，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
，
即的长为． 

【解析】证，再证≌，得，即可得出结论；
由平行四边形的性质得，，则，得，设，则，再由勾股定理得，然后证∽，得，求出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：【任务】如图，

由题意得，，，
，
，
设，则，，
，
，
，；
【任务】如图，取的中点，连接交于点，则，，
，
为直径，
点为圆心，

是的中位线，
，
，
弧的弓高；
【任务】如图，连接交于点，作于点，

由题意得，此时与太阳光线平行，则，
，
，
点为的中点，
，，
∽，
，
，
，
，
点到的距离为，
即遮阳篷点上升高度的最小值为 

【解析】【任务】根据三角函数值，可设，则，，根据列出方程即可；
【任务】取的中点，则点为圆心，连接交于点，则，，根据三角形中位线定理得的长，进而得出的长；
【任务】连接交于点，作于点，根据，可得的长，再利用∽，求出的长，再利用三角函数求出即可．
本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，读懂题意，将实际问题转化为几何问题是解题的关键．
 

24.【答案】解：半圆切于点，切于点，
，，
，
四边形为矩形，
，
矩形为正方形，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，

，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当为时，如图，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
如图，当时，
过点作交于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
．
，
，
解：．
综上，满足条件的值为或；
过点作于点，于点，连接，如图，
，，，
四边形为矩形，
，．
，
，
，
，
，
．
，
，
设，则，
，
．
为的中点，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
． 

【解析】利用圆的切线的性质，直角三角形的性质和正方形的判定与性质得到矩形为正方形，再利用相似三角形的判定与性质和勾股定理解答即可得出结论；
利用直角三角形的边角关系定理列出关于，的等式，整理即可得出结论；
利用分类讨论的思想方法，分两种情形同理解答：当为时，利用直角三角形的边角关系定理分别表示出和，利用得到关于的方程，解方程即可；当时，过点作交于点，求得，，利用直角三角形的边角关系定理列出关于的方程，解方程即可；
过点作于点，于点，连接，利用矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理，设，则，，利用圆心角，弧，弦之间的关系定理和等腰直角三角形的判定与性质列出关于的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，圆的切线的性质，恰当的条件辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．