2023年北京市通州区中考数学一模试卷（含解析）

2023年北京市通州区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形：线段；角；等边三角形；平行四边形其中既是轴对称图形又是中心对
称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月国家统计局网站数据显示，年全国居民人均消费支出元，将用科学记数法表示(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  正七边形的外角和为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是某个几何体的表面展开图，则这个几何体是(    )

A. 长方体
B. 三棱柱
C. 三棱锥
D. 四棱锥

6.  点，在数轴上的位置如图所示，点，表示的有理数为，如果，，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是(    )

A. 原点在点左侧
B. 原点在点的右侧
C. 原点在点、之间，且
D. 原点在点、之间，且

7.  如图，一个均匀的转盘被平均分成等份，分别标有，，，，，，，，，小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字，图，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是(    )
 

A. 转动转盘后，出现偶数 B. 转动转盘后，出现能被整除的数
C. 转动转盘后，出现比大的数 D. 转动转盘后，出现能被整除的数

8.  如图，在平面直角坐标系中，四边形是一个矩形，小球从点出发沿直线向点运动，到达点时被第一次反弹，每当小球沿直线运动碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到矩形的边时，小球所在位置的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若代数式有意义，那么的取值范围是______ ．

10.  分解因式：          ．

11.  已知为整数，且，则等于______ ．

12.  方程的解是______ ．

13.  由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值始终保持，发现通过滑动变阻器的电流与滑动变阻器的电阻成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过，则滑动变阻器阻值的范围是______ ．

14.  为探究浸种处理对花生种子萌发率的影响，九年级的生物小组同学取粒花生种子完成实验同学们将粒花生种子平均分成五组，获得如下花生种子萌发量数据，如表格．

在温度的条件下，将粒种子浸种小时，萌发量大致为______ 粒

15.  在中，，，将一个直角尺的直角顶点与边上的中点重合，并绕点旋转，分别交、于点、，如果四边形恰巧是正方形，则的长度为______ ．

16.  某学校带领名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用，，三种型号客车去农场，其中，，三种型号客车载客量分别为人、人、人，租金分别为元、元、元为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案______ ，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是______ 元

三、解答题（本大题共12小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组．

19.  本小题分
先化简，再求值：已知，求的值．

20.  本小题分
如图，在四边形中，，，为的中点，请你用无刻度的直尺
在图中画的边上的高线小蕊的画法如下请你按照小器的画法完成画图，并填写证明的依据．

21.  本小题分
已知在中，，点，分别是边，中点，连接，，延长到点，使得，连接，．
求证：四边形是菱形；
如果，且，求的长．

22.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点．
求的值及的表达式；
一次函数的图象为，且，，三条直线不能围成三角形，直接写出所有满足条件的的值．

23.  本小题分
北极海冰是地球系统的重要组成部分，其变化可作为全球气候变化的重要指示器为了应对全球气候问题，科学家运用卫星遥感技术对北极海冰覆盖面积的变化情况进行监测，根据对多年的数据进行整理、描述和分析，形成了如下信息：
、年间北极海冰年最低覆盖面积变化的频数分布直方图如下所示：数据分成组：，，，，，，，

、年间北极海冰年最低覆盖面积的数据在这一组的是：，，，，，，，，，，
写出年间北极海冰年最低覆盖面积的中位数是______ 平方千米；
北极海冰最低覆盖面积出现了大面积的缩减是______ 年
请参考反映年间北极海冰年最低覆盖面积变化的折线图，解决以下问题：
记北极地区年北极海冰年最低覆盖面积的方差为，年北极海冰年最低覆盖面积的方差为，请直接判断 ______ 的大小关系填写“”“”或“”；
根据年以后北极海冰年最低覆盖面积的相关数据，推断全球气候发生了怎样的变化？在你的生活中应采取哪些措施应对这一变化？

24.  本小题分
如图，是圆内接三角形，过圆心作，连接，，过点作，交的延长线于点，．
求证：是的切线；
如果，求半径的长度．

25.  本小题分
如图，是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口离地面垂直高度为米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线．
灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点，此时，喷水口喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表．

结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程的长度．
为了全面灌溉，喷水口可以喷出不同射程的水流，喷水口喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式，此水流最大射程米，求此水流距离地面的最大高度．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，在二次函数的图象上．
当时，求的值；
当，求的取值范围．

27.  本小题分
直线是线段的垂直平分线，垂足为点，点是直线上一点，连接以为斜边作等腰直角，连接．
如图，若，求的度数；
如图所示，点是射线上一点，且，连接，延长至点，使得，连接，根据题意补全图，写出线段，之间的关系，并证明．
 

28.  本小题分
在中，，，给出如下定义：作直线分别交，边于点，，点关于直线的对称点为，则称为等腰直角关于直线的“直角对称点”点可与点重合，点可与点重合
在平面直角坐标系中，点，，直线：，为等腰直角关于直线的“直角对称点”．
当时，写出点的坐标．______ ；
连接，求长度的取值范围；
的半径为，点是上一点，以点为直角顶点作等腰直角，其中，直线与、分别交于、两点，同时为等腰直角关于直线的“直角对称点”，连接，当点在上运动时，直接写出长度的最大值与最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形；
角是轴对称图形，不是中心对称图形；
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
则既是轴对称图形又是中心对称图形的是．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形内角和定理，熟记三角形内角和等于是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：多边形的外角和等于，
正七边形的外角和为，
故选：．
由多边形的外角和等于，则可知正七边形的外角和．
本题考查多边形的内角和，牢记多边形的外角和等于是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，展开图是由三个全等的矩形，和两个全等的三角形构成，符合三棱柱的展开图特征，
这个几何体是三棱柱．
故选：．
侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱
本题考查的是三棱柱的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
数与数异号，并且正数的绝对值大，
即，，，
原点在点、之间，且．
故选：．
根据数轴和，，可以判断、的符号，从而可以解答本题．
本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点能根据题目中的信息，判断各个数在数轴上对应哪一个点．
 

7.【答案】 

【解析】解：观察图知：频率逐渐稳定在，
所以实验的概率为，
A、转动转盘，出现偶数的概率为，不符合题意；
B、转动转盘后出现能被整除的数为，，，概率为，符合题意；
C、转动转盘，出现比大的数为，，，，概率为，不符合题意；
D、转动转盘后，出现能被整除的数为和，概率为，不符合题意．
故选：．
首先根据图确定实验的概率，然后确定答案即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是根据图确定事件发生的概率，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】如图，小球第次碰到矩形边时的坐标为，
小球第次碰到矩形边时的坐标为，
小球第次碰到矩形边时的坐标为，
小球第次碰到矩形边时的坐标为，
小球第次碰到矩形边时的坐标为，
小球第次碰到矩形边时的坐标为，
小球第次碰到矩形边时的坐标为，

小球坐标的变化是次循环，
，
当小球第次碰到矩形的边时，小球所在的位置坐标为．

故选：．
按照原题所给规律依次求出小球坐标发现小球坐标的变化是每次循环，用除以，余数，则第次为答案．
本题考查了点的变化规律，根据图形找点是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不等于零是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，是基础知识要熟练掌握．
先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为．  

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：
估算和的值即可求出答案．
本题考查了无理数的估算取值，熟记平方数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

13.【答案】 

【解析】解：设反比例函数解析式为，
将点代入，得，
故百分率函数解析式为；
电流不超过安培，
则，
，故滑动变阻器阻值的范围是．
故答案为：．
设反比例函数解析式为，将点代入，求得百分率函数解析式为；解不等式即可得到结论．
本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：粒，
故答案为：．
用乘样本中萌发所占比例可得答案．
本题考查了用样本估计总体，正确列出算式是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接．
当四边形是正方形时，，
，
，，
，
．
故答案为：．
连接，证明，利用等腰三角形的三线合一的性质求解．
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，正方形的性质等知识，
 

16.【答案】A、、三种型号客车分别租辆、辆、辆答案不唯一   

【解析】解：设、、三种型号各车分别租辆、辆、辆，
由题意得，即，
学校同时租用、、三种型号客车去农场，要求每辆车必须满载，
，都是正整数，
满足条件的，，有：
或或或或，
写出一种满足要求的租车方案可以是：、、三种型号客车分别租辆、辆、辆答案不唯一；
租用、、三种型号客车每人的费用分别元、元、元，
而，
多租型号客车且少租型号客车费用较低，
若、、三种型号客车分别租辆、辆、辆，
则费用为元；
若、、三种型号客车分别租辆、辆、辆，
则费用为元，
满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是元．
故答案为：、、三种型号客车分别租辆、辆、辆答案不唯一；元．
设、、三种型号客车分别租辆、辆、辆，由题意得关于、、的等式，求出、、的所有正整数解，即得出满足要求所有租车方案，选择一种填空即可；由题意可知：租用每种型号客车的人均费用，得出“多租型号客车且少租型号客车费用较低”，从而得出结论，也可把每种方案的费用都算出来，比较大小即得．
本题考查一次函数的应用，关键是得出、、三种型号车辆的关系式．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集是． 

【解析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
 

19.【答案】解：


，
，
，
原式． 

【解析】根据多项式乘多项式的运算法则、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把已知等式变形，代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形  平行四边形的对角线互相平分  三线合一 

【解析】解：如图；

证明：
，为的中点，
．
，
四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
点是中点平行四边形的对角线互相平分，
、是的中线．
是的中线．
，
是边上的高线，三线合一，
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，三线合一．
先根据题中步骤作图，再根据三线合一进行证明．
本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定和性质及三线合一是解题的关键．
 

21.【答案】证明：点是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
点，分别是边，中点，
，
，
，
四边形是菱形．
四边形是菱形，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
． 

【解析】由，先证明四边形是平行四边形，再证明即可得结论．
在直角三角形中，，由，可求出，则．
本题考查了菱形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
 

22.【答案】由题意得：，
解得：，
的表达式为：；
当时：，
当时：，
当过点时，，
解得：． 

【解析】根据待定系数法列方程组求解；
当与或平行或过点时，三条直线不得能围成三角形．
本题考查了两条直线相交或平行的问题，掌握待定系数法是解题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：由题意可知，年总共有个数据，第个数据是，第个数据是，
中位数是，
故答案为：；
由年间北极海冰年最低覆盖面积变化图，可知北极海冰最低覆盖面积出现了大面积的缩减是年，
故答案为：；
由年间北极海冰年最低覆盖面积变化图可知，
北极地区年北极海冰年最低覆盖面积变化波动比年北极海冰年最低覆盖面积变化小，
，
故答案为：；
根据年以后北极海冰年最低覆盖面积逐渐减小，可知全球气候变暖，
所以在平时我们应该低碳出行，节能减排答案不唯一，合理即可．
根据中位数的概念求解即可；
根据频率分布折线图即可得出答案；
根据方差的含义，结合频率分布折线图即可确定答案；
结合实际解答即可．
本题考查了频率分布直方图，频率分布折线图，方差，中位数等，理解给定的直方图和折线图上各数据的含义是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
为等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；
解：由可知，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
根据勾股定理得，，
，
半径的长度是． 

【解析】根据同圆的半径相等得等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一性质得出，根据平形线的性质推出，进而得到，证明是的切线；
根据得，，进而得到，再加一个公共角，证明∽，得比例线段，再根据，求出的长，再根据勾股定理得的长．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、解直角三角形，掌握这几个性质定理的综合应用是解题关键．
 

25.【答案】解：由表中数据可知，抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
抛物线解析式为，
令，则，
解得或舍去，
水流最大射程的长度为米；
水流最大射程米，
，
把，代入解析式，
则，
解得，
此水流距离地面的最大高度为米． 

【解析】设抛物线的函数解析式为，把点代入即可求得上边缘抛物线的函数解析式，令，解方程即可求得喷出水的最大射程的值；
根据水流最大射程米得出，再把和代入，求出即可．
本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键．
 

26.【答案】解：把点，代入中得，，，
，
，
解得；
把点，代入中得，，，
，
解得，
故的取值范围为． 

【解析】把点，代入中得，，，解方程即可得到结论；把点，代入中得，，，解不等式即可得到结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，正确地求出的取值范围是解题的关键．
 

27.【答案】解：是的垂直平分线，
，，
是等腰直角三角形，
，，
点，点，点，点四点共圆，
，
；
，理由如下：如图，连接，

在和中，
，
≌，
，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，即可求解；
由“”可证≌，可得，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

28.【答案】 

【解析】解：如图中，当时，

设直线交轴于点，交轴于点则，，
，
，，
，
，，
是的中位线，
，都是等腰直角三角形，
点关于的对称点在线段上，，
．
故答案为：；

如图中，设直线交轴于，则，连接，

在中，，，
，
，
，
又直线直线与轴的交点只能在线段上，所以的最大值只能取到，
，

如图中，连接，作点关于的对称点，连接，．

是等腰直角三角形，，
，
，
，
的最大值为，的最小值为．
根据直角对称点的定义求解即可；
如图中，设直线交轴于，则，连接，求出，的值，可得结论；
如图中，连接，作点关于的对称点，连接，由题意，，再根据三边关系，可得结论．
本题属于圆综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．