2023年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  我国古代的九章算术在世界数学史上首次正式引入负数若气温零上记作，则气温零下记作(    )A.  B.  C.  D. 2.  中国海洋石油集团有限公司成立于年月日，注册资金为元将这个数用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  将两个大小完全相同的杯子如图甲叠放在一起如图乙，则图乙中实物的俯视图是(    )
 
 A.
B.
C.
D. 4.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，将一个对边平行的纸条沿折叠一下，若，则的大小为(    )
A.  B.  C.  D. 6.  一个住宅区的配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则配电房房顶离地面的高度为(    )A.
B.
C.
D. 7.  如图，点是外一点，分别以、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，直线交于点，再以点为圆心，以长为半径作圆弧，交于点，连接交于点，连接、若，则的大小为(    )
A.  B.  C.  D. 8.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称轴与坐标轴重合，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点、、、，连结、若与的面积和为，且，则的值为(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.  分解因式： ______ ．10.  欧亚超市越野店周年店庆，澳醇鲜冠纯牛奶每箱原价元，店庆价元，某单位购买箱这种牛奶，比店庆前便宜______ 元用含的代数式表示11.  实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ______ 12.  如图，在中，点是斜边的中点，过点作于点，连接，过点作的平行线，交的延长线于点若，则的长为______ ．
 13.  如图，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为若，则图中阴影部分图形的面积为______ 结果保留
 14.  如图，正方形、的顶点、都在抛物线上，点、、均在轴上若点是边的中点，则正方形的边长为______ ．
 三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．16.  本小题分
不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“”、“”，除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字请用画树状图或列表的方法，求两次记录的数字之和为的概率．17.  本小题分
某科技公司购买了一批、两种型号的芯片，其中型芯片的单价比型芯片的单价少元，已知该公司用元购买型芯片的条数与用元购买型芯片的条数相等求该公司购买型芯片的单价．18.  本小题分
如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．

在图中，作的中线．
在图中，在边上找一点，连结，使．
在图中，在边上找一点，连结，使的面积为．19.  本小题分
如图，在菱形中，对角线、相交于点，为的中点，连接并延长到点，使，连接、．
求证：四边形是矩形；
若，，则的长为______ ．
20.  本小题分
年，我国粮食总产量再创新高新浪微博发表了丰收来之不易，一图读懂年全国粮食产量一文，现将其中两部分内容截图如下．

根据以上信息回答下列问题：
从“粮食五大主产地占全国比重”那张图看，产量最高的产地是______ ．
我国从年到年，粮食总产量的中位数是______ ．
国家统计局公布，年全国粮食总产量万吨，比上一年增长如果继续保持这个增长率，年全国粮食总产量约为______ 万吨保留整数．
国际粮食安全的标准线为人均粮食占有量公斤，年我国的人口数为亿人，请通过计算说明年我国人均粮食占有量是否超过国际粮食安全的标准线注：吨公斤，人均粮食占有量21.  本小题分
某物流公司的甲、乙两辆货车分别从、两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站，甲先到达地，并在地用小时配货，然后按原速度开往地，乙车从地直达地甲、乙两车间的路程千米与乙车出发时间时的函数关系如图所示．
、两地间的距离是______ 千米，乙车的速度为______ 千米时；
求甲车出发至地的过程中，与之间的函数关系式；
直接写出乙车出发多长时间，两车相距千米．
22.  本小题分
【学习心得】请你完成下列证明：如图，和均为等边三角形，点在边上，连接求证：；
【类比探究】如图，和均为等腰直角三角形，，点在边上若，，则的长为______ ；
【拓展延伸】如图，在正方形中，对角线与交于点，在中，，点、分别在边、上，点在线段上若，则 ______ ．
 23.  本小题分
如图，在中，，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接将沿直线翻折得到．
求的长；
当四边形为中心对称图形时，求的值；
当点在下方时，连接、，求此时面积的最大值；
当直线与一边垂直时，直接写出的值．
24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点、均在这条抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．
求该抛物线所对应的函数表达式．
当时，，求的取值范围．
当点、点关于此抛物线的对称轴对称时，在轴上确定点，连接、，求的最小值．
将此抛物线上、两点之间的部分包含、两点记为图象，若点的坐标为，点的坐标为，以、为边构造正方形，当图象在正方形内部包括边界最高点与最低点的纵坐标之差为时，直接写出的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根据正负数表示的意义，得
零上记作，那么零下记作．
故选：．
根据有理数的意义，表示相反意义的量可以用正负数表示，得出答案．
本题考查运用正负数概念解决问题的能力．解题的关键是能准确理解正数和负数是表示一对意义相反的量．
 2.【答案】 【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：从上面看，看到两个圆形，
故选：．
俯视图是从上面看，可以看到上面杯子的底，是圆形，可以看到两杯子的口，也是圆形．
此题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 4.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
故选：．
根据一元二次方程根的情况的判别式可得，把各系数代入即可求出的取值范围．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握通过判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：如图：

宽度相等的纸条沿折叠一下，
纸条两边互相平行，
，，
，
，
．
故选：．
根据平行线的性质和折叠性质求解即可．
本题考查平行线的性质和折叠性质，熟知各性质并准确识图是解答的关键．
 6.【答案】 【解析】解：过点作于点，如图所示：

根据图形可知，，
根据轴对称可知，，
，
，
，
，
配电房房顶离地面的高度为，故A符合题意．
故选：．
过点作于点，根据轴对称可知，，根据等腰三角形的性质得出，利用三角函数求出，最后表示出配电房房顶离地面的高度即可．
本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义，求出是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：连接，根据作图痕迹，直线垂直平分，，

则，，
，，
，
，
，
故选：．
连接，根据作图痕迹，直线垂直平分，，利用线段垂直平分线性质和等腰三角形的等边对等角求得，，再利用三角形的外角性质和三角形的内角和定理求得即可．
本题考查基本尺规作图作垂线、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，得到直线垂直平分是解答的关键．
 8.【答案】 【解析】解：矩形的对称轴与坐标轴重合，
，点是矩形的对称中心，

反比例函数的图象也关于点成中心对称，
，
，
，
，
，
设，则，，
点、都在反比例函数的图象上，
，，
，，
，
，
解得：，
故选：．
根据矩形和反比例函数的对称性得出，设，然后表示出点、的坐标，得出和的长，最后由三角形面积即可求出的值．
本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是利用矩形和反比例函数的对称性得出，并能正确表示出和的长．
 9.【答案】 【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取即可得到结果．
此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：由题意得，元，
故答案为：．
利用每箱便宜的钱数乘以箱数即可得到答案．
此题考查了列代数式，读懂题意是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：在原点左边，在原点右边，，
距离原点的距离比距离原点的距离大，
，
则．
首先根据数轴判断出、的符号和二者绝对值的大小，根据“异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”来解答即可．
本题首先考查了根据数轴确定数轴上的点对应实数的取值范围，接着考查了实数的运算法则．
 12.【答案】 【解析】，，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
又为直角三角形斜边中线，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质求解即可．
本题考查平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握以上知识是解题关键．
 13.【答案】 【解析】解：由旋转的性质可得：≌，
，，
，
，
故答案为：．
根据旋转的性质可得≌，再由，利用扇形的面积公式求解即可．
本题考查不规则阴影部分面积的求法及扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：点是边的中点，
设，且，
在正方形中，，，
，
在抛物线上，
，
解得：，
设正方形的边长为，且，
，
，
结合正方形的性质，可知，
在抛物线上，
，
解得：负值舍去，
故答案为：．
设，且，即可得，根据在抛物线上，可得，设正方形的边长为，且，同理可得，代入中，问题得解．
本题考查了二次函数的图象与性质，掌握正方形的性质，二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
 15.【答案】解：

．
当时，
原式． 【解析】利用平方差公式以及单项式乘多项式去括号，再合并同类项即可化简，代入的值即可求解．
本题考查了代数式的化简求值，熟练运用平方差公式进行运算是解答本题的关键．
 16.【答案】解：根据题意，作树状图如下：

由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两次记录的数字之和为的有种结果，
所以，两次记录的数字之和为的概率为． 【解析】根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案．
本题主要考查了列举法求概率，正确作出树状图是解题关键．
 17.【答案】解：设该公司购买型芯片的单价为元，则型芯片的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该公司购买型芯片的单价为元． 【解析】设该公司购买型芯片的单价为元，则型芯片的单价为元，根据该公司用 元购买型芯片的条数与用 元购买型芯片的条数相等，列出方程即可得出结论．
本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程，易错点是分式方程要验根．
 18.【答案】解：如图，线段即所得；
如图，点为所求；
如图，点为所求；
 【解析】找出线段的中点，连接即可；
找到格点，连接，与线段的交点为点，连接即可；
作线段的三等分点，连接即可．
本题考查基本作图，中线的定义、等腰三角形的性质、线段三等分点的作法，相似三角形的性质，熟练掌握三等分点的作法是解题的关键．
 19.【答案】 【解析】证明：为的中点，
．
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
即，
，
．
故答案为：．
由题意易证四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得出，即证明四边形是矩形；
根据菱形的性质可得出，根据矩形的性质可得出，，最后由锐角三角函数可得出，代入数据即可求出，进而可求出．
本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键．
 20.【答案】黑龙江     【解析】解：，
黑龙江最高，
故答案为：黑龙江．
，，，，，
中位数是，
故答案为：．
根据题意，得万吨．
故答案为：．
公斤，
，
年我国人均粮食占有量超过国际粮食安全的标准线．
读图比较大小解答即可．
根据中位数的定义解答即可．
根据题意，列式解答即可．
根据计算公式计算解答即可．
本题考查了中位数，实数的大小比较，增长率，平均数，熟练掌握公式，灵活计算是解题的关键．
 21.【答案】   【解析】解：由图象可知，时，由题意知，当时，甲车到达地，当在时，乙车单独开往地，
、两地间的距离是千米，乙车的速度为千米时，
故答案为：，；
甲车出发至地的过程中，设与之间的函数关系式为，
将、代入，得，解得，
．
在地相遇之前，
将代入得，，解得，
时，两车相距千米，
在地相遇之后，
，，
时，甲车从地出发开往地，甲乙相距千米，
，
当甲乙再次相距千米时，，
甲车从地出发开往地的过程中，设与之间的函数关系式为，
将、代入，得，解得，
．
将代入得，，解得，
时，两车相距千米，
综上所述，乙车出发小时或小时，两车相距千米．
由图象可知，时，由题意知，当时，甲车到达地，当在时，乙车单独开往地，然后进行求解即可；
待定系数法求解即可；
分甲乙在地相遇之前与之后两种情况求解即可．
本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意并从函数图象中获取正确的信息．
 22.【答案】  【解析】学习心得：证明：
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
．

类比探究：解：
如图，连接，

和均为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
故答案为：．

拓展延伸：解：
如图，过点作交于点，

四边形是正方形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】学习心得：证明≌即可得出；
类比探究：连接，由≌得出，，然后在中用勾股定理即可求出的长；
拓展延伸：过点作交于点，证明∽即可得出结论．
本题主要考查了等腰三角形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．  23.【答案】解：在中，，，，
；
正方形和菱形为中心对称图形，
，如图，

由翻折可知，
此时四边形为菱形，满足题意．
，
，
解得：；
如图，设与交于点，过点作于点．

为定值，
当最长时，面积的最大．
，
当与重合时最长．
由翻折可知，为定值，
又，
当最短时，最长，即此时，如图，
，
，
，
，
此时，即面积的最大值为；
解：分类讨论：当时，如图，

由可知，，
．
设，则，
在中，，即，
解得：，
，
；
当时，此时点在线段上，过点作于点，点作于点，如图，

由可知．
由翻折可知，
．
，，
，
∽，
，即，
解得：，
．
设，则．
在中，，即，
解得：，
，
；
当时，此时点与点重合，如图，

．
综上可知或或． 【解析】直接利用勾股定理求解即可；
根据四边形中正方形和菱形为中心对称图形，再根据当时四边形为菱形，即得出关于的方程，解出的值即可；
设与交于点，过点作于点由为定值，即得出当最长时，面积的最大．结合题意可得出当时，最长，进而即可求解；
分类讨论：当时，结合得出，，从而可求出设，则在中，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，即可求出的值；当时，此时点在线段上，过点作于点，点作于点，由题意可求出，，又易证∽，即可求出，进而可求出设，则在中，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，即可求出的值；当时，此时点与点重合，即可直接求出的值．
本题考查勾股定理，中心对称图形的性质，菱形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
 24.【答案】解：抛物线经过点、，
，解得：；
该抛物线所对应的函数表达式为．
由得抛物线的顶点为．
时，在顶点处取得最大值，
当时，，解得，．
，，
．
由可知，抛物线的对称轴为直线，
当点、点关于此抛物线的对称轴对称时，，
解得．
点的坐标为、点的坐标为．
作点关于轴的对称点，则其坐标为连接交轴于点，则点为所求．如图所示：

此时：．
设抛物线与轴交于点，与轴交于点，，
当时：，解得：，，
，，
由题意，可知：；
当时，此时，

图象在正方形内的部分为：这一段抛物线，此时点，的纵坐标的差恰好为，
时，即可满足题意，即：，解得：；
当时，如图：

此时，图象在正方形内的部分为：这一段抛物线，
图象在正方形内部包括边界最高点与最低点的纵坐标之差为，
，
，
解得：或不合题意，舍去；
综上，或． 【解析】待定系数法求出函数解析式即可；
根据二次函数的性质，得到在顶点处取得最大值，求出时，的值，即可得出结论；
根据点，关于对称轴对称，求出值，进而求出，的坐标，作点关于轴的对称点，则其坐标为连接交轴于点，则点为所求，利用两点间距离公式进行求解即可；
分，两种情况进行求解即可．
本题考查二次函数的综合应用．考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．