2022-2023学年四川省成都七中育才学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省成都七中育才学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如果，那么下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  点向左平移个单位，向上平移个单位到点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  平行四边形中，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列说法错误的是(    )

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 角平分线上的点到角的两边的距离相等
C. 两个全等的三角形，一定成中心对称
D. 等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴

7.  不等式组的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在等腰直角三角形中，，将沿方向平移得到，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共10小题，共40分）

9.  分式有意义则的取值范围是______ ．

10.  化分式方程为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母为______ ．

11.  关于的二次三项式因式分解的结果是，则______．

12.  如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点______ 请从点、、、中选择．

13.  如图，在中，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为______ ．

14.  若关于的方程有增根，则的值是______．

15.  已知▱中，，，过点作交所在的直线于，若，则 ______ ．

16.  因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，，则，，，，可得密码为，对于代数式，若取，，可能得到的密码是______ 写出满足条件的一个答案即可

17.  已知直线：经过点，直线：经过点，且直线与关于第一，三象限角平分线所在直线对称，则关于的不等式的解集是______ ．

18.  如图，是边长为的等边三角形，延长至点，使得，点在线段上，且，连接，以为边向右作等边，过点作交的延长线于点，点为的中点，则四边形的面积为______ ．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19.  分解因式：；
分解因式：；
解方程：；
求不等式组的解集．

20.  先化简，再求值：，其中．

21.  正方形网格中网格中的每个小正方形边长是，的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题；
请画出与关于原点对称的；
请画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标
______ ；
求绕点逆时针旋转后，线段扫过的图形面积．

22.  如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，，垂足分别为、．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求四边形的面积．

23.  如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，现将绕点顺时针旋转到，使得，垂足为，此时点坐标为，动点从原点出发，以一个单位每秒的速度沿轴正方向运动，设运动时间为秒．
请求出点的坐标；
如图，当时，交轴于点，求出此时点的坐标；
为中的点，当点在运动过程中，直线上有一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出对应的的值；若不存在，请说明理由．
 

24.  位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为世纪人类最伟大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动，下面是两位同学对于出行方案的讨论：

请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数；
为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式：
方式一：每次均按照相同油量升加油；
方式二：每次均按照相同金额元加油．
若第一次加油单价为元升，第二次加油单价为元升，请分别写出每种加油方式的平均单价用含、的代数式表示，并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算．

25.  已知长为、、、的四条线段，以、为边构造，其中，；以、为边构造，其中，．
判断和的形状并证明；
将和按照图方式放置，当、、共线时，取的中点，连接、若，请猜想与之间的数量关系，并证明；
如图，当、、不共线时，连接并取其中点，连接、、若，中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．
 

26.  如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得线段，旋转角为，连接．
若，则 ______ ；
若，求的度数．
如图，当时，过点作于点，与相交于点，请探究线段与线段之间的数量关系；
当时，作点关于所在直线的对称点，当点在线段所在的直线上时，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形；故A不符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故B不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形；故C不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故D符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B错误；
C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误；
D、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故D正确；
故选：．
根据不等式的性质，两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，是整式乘法，故此选项不合题意；
B、，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；
C、是分解因式，符合题意；
D、，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用因式分解的定义得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，点的横坐标为：；纵坐标为；
即点的坐标是．
故选：．
让的横坐标减，纵坐标加即可得到点的坐标．
本题考查了坐标与图形变化平移，用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
 

5.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
若，则，
．
故选：．
根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，再根据已知即可求解．
本题考查平行四边形的性质，在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，故A不符合题意；
B、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故B不符合题意；
C、两个全等的三角形，不一定成中心对称，故C符合题意；
D、等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴，正确，故D不符合题意．
故选：．
由平行四边形的判定，角平分线的性质，中心对称的定义，等边三角形的性质，即可判断．
本题考查平行四边形的判定，角平分线的性质，等边三角形的性质，中心对称，掌握以上知识点是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是．
表示在数轴上，如图所示：

故选：．
根据不等式解集的表示方法即可判断．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

8.【答案】 

【解析】解：是等腰直角三角形，
，
沿方向平移得到，
，
是等腰直角三角形，
，
的面积，
，
，
．
故选：．
由等腰直角三角形的性质得到，由平移的性质，得到是等腰直角三角形，由三角形的面积公式求出长，即可求出的长，从而求出的长．
本题考查平移的性质，等腰直角三角形，关键是掌握平移的性质，等腰直角三角形的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
即的取值范围是．
根据分式有意义的条件得到，然后解不等式即可．
本题考查了分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零．
 

10.【答案】 

【解析】解：化分式方程为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母为．
故答案为：．
根据最简公分母的定义即可得出答案．
本题考查了解分式方程，最简公分母，要注意：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，掌握最简公分母是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于的二次三项式因式分解的结果是，
则，
故．
故答案为：．
直接利用多项式乘法进而得出的值．
此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】如图，连接，可得其垂直平分线相交于点，
故旋转中心是点．
故答案为：．
根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由作图得垂直平分，
，，
的周长为，
，
，
即，
的周长．
故答案为：．
先利用基本作图得到垂直平分，，，然后利用等线段代换计算的周长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

14.【答案】解：；

；

，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解；

，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是． 

【解析】根据提取公因式法分解因式即可；
根据完全平方公式分解因式即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
先根据不等式的性质求出不等式的解集，再关键求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
本题考查了分解因式，解分式方程和解一元一次不等式组等知识点，能选择适当的方法分解因式是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解的关键．
 

15.【答案】解：原式


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
点的坐标为．
故答案为：．
由勾股定理得，，
线段扫过的图形面积为．
根据中心对称的性质作图即可．
根据旋转的性质作图，即可得出答案．
利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式计算即可．
本题考查作图旋转变换、中心对称、扇形面积公式，熟练掌握旋转和中心对称的性质、勾股定理、扇形面积公式是解答本题的关键．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：，
，
，，
，
，
由可知，≌，
，
，
四边形是平行四边形，，
． 

【解析】由平行四边形的性质得，，则，再证，然后证≌，得，即可得出结论；
由含角的直角三角形的性质得，则，再由全等三角形的性质得，则，然后由平行四边形面积公式即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

18.【答案】解：把代入得：
，
解得，
，
在中，令得：
，
解得，
点的坐标为；
如图：

在中，令得，
，
，
，
由旋转可得，
，
，
，
，
，，
，
，
，
点是中点，
；
存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
过作于，如图：

，
，
，
，，，
≌，
，，
，
由知，，
直线的函数解析式为，
由设直线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
直线的解析式为；
设，，
又，，
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
的值为；
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
的值为；
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
的值为；
综上所述，的值为或或． 

【解析】把代入得，即得，令可得点的坐标为；
在中，得，由和旋转可得，有，从而可得，，故点是中点，得；
过作于，证明≌，可得，由，，可知直线的函数解析式为，从而可得直线的解析式为；设，，分三种情况：若，为对角线，则，的中点重合，，若，为对角线，则，的中点重合，，若，为对角线，则，的中点重合，，分别解方程组可得答案．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
 

19.【答案】 

【解析】解：方程两边都乘，得
，
方程有增根，
最简公分母，即增根是，
把代入整式方程，得．
故答案为：．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．
增根问题可按如下步骤进行：
让最简公分母为确定增根；
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

20.【答案】或 

【解析】解：如图，

，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
；
如图，

，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
；
综上所述，或，
故答案为：或．
分两种情况：如图，如图，根据勾股定理和平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：


当，时，
即，，，，
可得密码为．
本题通过对多项式进行因式分解，然后分别求出每个式子的值，然后组成密码．
本题考查了因式分解的应用，通过因式分解，得到对应的结果．
 

22.【答案】 

【解析】解：直线与关于第一，三象限角平分线所在直线对称，
点关于直线的对称点一定在直线上，
点关于直线的对称点一定在直线上，
把，两点代入中得，
，
，，
直线：，
把，两点代入中得，
，
，，
直线：，
由得，
，
故答案为：．
分别求出点和点关于直线的对称点的坐标，利用待定系数法求出直线，直线的解析式，再解不等式即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，待定系数法求解析式，直线的对称变换等知识，掌握点的对称变换特征是解题关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：作交的延长线于点，
是边长为的等边三角形，
，，，，
是等边三角形，
点在的延长线上，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，，，
，
在和中，
，
≌，
，
点为的中点，
，
，
作于点，于点，则，，
，
，
，
，
故答案为：．
作交的延长线于点，则，，，，所以是等边三角形，，而是等边三角形，则，，所以，即可证明≌，得，所以，，再证明是等边三角形，则，，可证明≌，得，则，，作于点，于点，则，，由勾股定理得，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：设每辆甲种大巴车的座位数为个，则每辆乙种大巴车的座位数为个，
根据题意可得：，
解得：，
经检验，为原方程的解，
则，
每辆甲种大巴车的座位数有个，每辆乙种大巴车的座位数有个；
按照方式一加油的平均单价为元升，
按照方式一加油的平均单价为元升，
按方式二加油的平均单价按方式二加油的平均单价得：元升，
，，且，
，，即，
选择方式二加油更合算． 

【解析】设每辆甲种大巴车的座位数为个，则每辆乙种大巴车的座位数为个，根据“都租同一种车辆，甲种大巴车比乙种大巴车多辆”列出方程，求解即可；
根据“加油费用加油量加油单价”分别算出两种加油方式的平均单价，再利用作差法比较两种加油方式的平均单价的大小即可求解．
本题主要考查分式方程的应用、列代数式．解题关键是：正确理解题意，找准等量关系列出方程，并进行正确的求解；利用“加油费用加油量加油单价”列出代数式，熟练掌握用作差法比较代数式大小．
 

25.【答案】解：结论：，都是等腰三角形；
理由：，
，
，，
，都是等腰三角形；

猜想：．
理由：延长到，使得，连接，，，延长交的延长线于点．

，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
．

猜想仍然成立．
理由：延长到，使得，连接，，，延长交于点．

，，，
≌，
，，
，
，
，
，

，
，
≌，
，
，
，
，
． 

【解析】利用非负数的性质证明，，可得结论；
猜想：延长到，使得，连接，，，延长交的延长线于点证明≌，推出，，推出，推出，再证明≌，推出，可得结论；
猜想仍然成立，证明方法类似．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

26.【答案】 

【解析】解：将线段绕点逆时针旋转得线段，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
故答案为：；
将线段绕点逆时针旋转得线段，
，
，，
；
，理由如下：
如图，过点作直线于，

，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
；
如图，当点在点的左侧时，

，，
，
点关于所在直线的对称点，
，，，，
，，
，
；
如图，当点在点的右侧时，同理可求；

综上所述：的面积为或．
由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解；
由旋转的性质和等腰三角形的性质可求解；
由“”可证≌，可得，由等腰直角三角形的性质可求解；
分两种情况讨论，由勾股定理可求，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．