2022-2023学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  要使有意义，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ， D. ，，

4.  在▱中，若，则的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知菱形的对角线、长分别为，，则菱形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，则矩形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，已知点，，，，为直线上一动点，则▱的对角线的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，点是等边内一点，，，，则与的面积之和是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算的结果是______．

12.  计算的结果是______．

13.  在中，，，则边的长是______ ．

14.  “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第次折叠使点落在点处，折痕交于点若，则          ．
 

15.  如图，在▱中，，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点下列四个结论：
存在无数个平行四边形；存在无数个矩形；存在无数个菱形；存在两个正方形其中正确的结论是______ 填写序号．

16.  如图，在中，，其中，设，，则的长是______ 用含，的式子表示．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，已知，分别是▱的边，上的两点，且．
求证：；
求证：四边形是平行四边形．

20.  本小题分
如图，在四边形中，，，，．
 

求的度数．

求四边形的面积．

21.  本小题分
如图，在正方形中，是边上一点，于点，交于点．
求证：；
若是的中点，连接，求证：．

22.  本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图画图过程用虚线，画图结果用实线．
判断四边形的形状；
在图中，先在上画点，使，再在上画点，使；
在图中的上画点，使．
 

23.  本小题分
如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，，连接．
求证：是等边三角形；
如图，把沿翻折得到，连接，若，求的长；
如图，把绕点顺时针旋转得到，连接，是的中点，连接，，判断与的数量关系，并给出证明．
 

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且，点从点出发沿运动，点从点出发沿运动，点从点出发沿运动．
直接写出，的值；
如图，将沿折叠，点恰好落在点处，求，两点的坐标；
如图，若，两点以相同的速度同时出发运动，使，设点的横坐标为，求的值；
如图，已知点，若，两点以相同的速度同时出发运动，连接，作于，直接写出的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得．
故选：．
根据二次根式的意义，被开方数是非负数，可得，求解即可．
本题主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．与不能合并，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减法对选项、选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对选项进行判断；根据二次根式的性质对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，，
，
长为，，的三边能组成直角三角形，不符合题意；
B、，，
，
长为，，的三边能组成直角三角形，不符合题意；
C、，，
，
长为，，的三边能组成直角三角形，不符合题意；
D、，，，
，
长为，，的三边不能组成直角三角形，符合题意．
故选：．
求出较小的两条边的平方和，将其与最大的边的平方比较，选其不等的选项即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
又，
，
故选：．
由平行四边形的性质可得，结合，即可求的度数．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图可得，
，，
，
，
，
，
，
点表示的数是，
故选：．
根据图形和勾股定理可以得到的长，从而可以得到的长，然后再根据数轴，即可写出点表示的数．
本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
，
故选：．
根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可解决问题．
本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线长乘积的一半，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形为边长为的正方形，
，
由平移的性质可知，，
，
故选：．
根据正方形的性质、勾股定理求出，根据平移的概念求出，计算即可．
本题考查的是平移的性质、正方形的性质，根据平移的概念求出是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，
，分别是，的中点，
，，是的中位线，
，
，，，
，，，
，，
，
是直角三角形，，
，
矩形的面积，
故选：．
根据矩形的性质可得，根据，分别是，的中点，可得，，是的中位线，求出，和的长，进一步可知是直角三角形，，根据求出的面积，根据和矩形同底等高，可知矩形的面积，即可求出矩形的面积．
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三边形斜边的中线的性质，勾股定理逆定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设直线的解析式为，
，，
，解得，
直线的解析式为，
设，
四边形是平行四边形，，，
，
，
的最小值是，
的最小值是．
故选：．
利用待定系数法求出直线的解析式为，设，根据平行四边形的性质得，由勾股定理可得，根据非负数的性质可得的最小值是，即可得的最小值．
本题考查坐标与图形的性质，待定系数法，平行四边形的性质，勾股定理，非负数的性质，掌握待定系数法以及平行四边形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转得，连接，
，，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
与的面积之和为，
故选：．
将绕点顺时针旋转得，连接，可得是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而解决问题．
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：法一、

；
法二、

．
故答案为：．
利用二次根式的性质计算即可．
本题考查了二次根式的性质，掌握“”是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为．
利用完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

13.【答案】或 

【解析】当、为直角边时，根据勾股定理得：
，
当为斜边，为直角边时，根据勾股定理得：
，
当答案为：或．
从当此直角三角形的两直角边分别是和时，当此直角三角形的一个直角边为，斜边为时这两种情况分析，再利用勾股定理即可求出第三边．
本题主要考查勾股定理的知识点，解答本题的关键是确定直角三角形的斜边，进行分类讨论，此题难度不大．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明是的中位线是解本题的关键．
先把图补全，由折叠得：，，，证明是的中位线，得，可得答案．
【解答】
解：如图，由折叠得：，，，

，
，
是的中位线，
，
，
．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：连接，，且令，，相交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
只要，那么四边形就是平行四边形，
点，是上的动点，
存在无数个平行四边形，故正确；
只要，，则四边形是矩形，
点，是上的动点，
存在无数个矩形，故正确；
只要，，则四边形是菱形，
点，是上的动点，
存在无数个菱形，故正确；
只要，，，则四边形是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故错误；
故答案为：．
根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线．
 

16.【答案】 

【解析】解：作于，作垂直平分，交于，交于，连接，
则，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
作于，作垂直平分，交于，交于，连接，由得，，得到，由勾股定理求出，由等积法求出，再由勾股定理求出，则．
本题考查了解直角三角形，有一定难度，合理添加辅助线，构造直角三角形是解题关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
根据二次根式的除法法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：原式，
当时，
原式． 

【解析】根据二次根式的加减混合运算进行化简，然后代入求值．
本题考查了二次根式的化简求值：先根据二次根式的性质和已知条件把所求的式子进行化简，然后把满足条件的字母的值代入计算．
 

19.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
在与中，
，
≌，
；
四边形为平行四边形，
，，
，
由得≌，
，
，
即，
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质得，，再由证明≌即可证得结论；
由平行四边形的性质得，，则，再由全等三角形的性质得，得，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】解：连结，

，，
，，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
．

在中，，
在中，．
． 

【解析】由于，，利用勾股定理可求，并可求，而，，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求；
连接，则可以计算的面积，根据，可以计算的面积，四边形的面积为和面积之和．
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接，并证明是直角三角形．
 

21.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
又，
，
，
≌，
；
如图所示，延长交的延长线于，
是的中点，
，
又，，
≌，
，
即是的中点，
又，
中，． 

【解析】依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到，，，即可得出≌，由此可得结论；
延长交的延长线于，根据≌，即可得出是的中点，进而得到．
本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
 

22.【答案】解：，，
四边形是平行四边形；
如图中，点，点即为所求；
如图中，点即为所求．
 

【解析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可；
取格点，连接，，交于点，点即为所求．连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求；
取格点，连接，取的中点，连接延长交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：如图，四边形是菱形，
，，
，，
，
是等边三角形；
解：如图，过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，

四边形是菱形，
，
，
，，
，，
由翻折可知是等边三角形，
，，
，，
，，
，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
；
，理由如下：
如图，把绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接、，

是的中点，
，
四边形是菱形，
，
，，
≌，
，，
，
由旋转可知是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，，
． 

【解析】根据菱形的性质可得，，由，，可得，所以得到是等边三角形；
过点作交的延长线于点，过点作的延长线于点，由翻折可知是等边三角形，然后证明四边形是矩形，可得，，所以得，利用勾股定理即可解决问题；
如图，把绕点顺时针旋转得到，是的中点，延长交于点，连接、，先证明≌，可得，，由旋转可知是等边三角形，再证明≌，可得，，得是等边三角形，再利用含度角直角三角形即可解决问题．
此题属于四边形综合题，考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，此题难度较大，属于考试压轴题．
 

24.【答案】解：又，
，
，；
四边形为矩形，，，
，，，
由题意得：，．
在中，，，，
，
，即，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得：，
，
，；
设直线交轴于点，交轴于点；作，使，连接、；

四边形为矩形，，
，
根据运动的特点可知：，，
，
，，，都为等腰直角三角形，
，，，，，
，
，
在和中，
，
≌．
，，
，
，
，，
，在和中，
，
≌．
，
，
，，，
，
即，
，
，，
，
；
连接交于点，取的中点，取的中点，连接、、，如图，

根据运动的特点可知：，在矩形中，，由勾股定理可得：，
又：，
≌，
，即为的中点，，
的中点为，
，
，
，
，即点为的中点，
又的中点为，，
在中，，
又，当且仅当、、三点共线时取等号，，
即的最大值为． 

【解析】根据二次根式的非负性以及平方的非负性即可求解；
即可得，，，由题意得：，在中，，，，即可得：，，即，设，则，利用勾股定理得，即可得，问题得解；
设直线交轴于点，交轴于点；作，使，连接、；根据运动的特点可知：，易证明，，，都为等腰直角三角形，，，，证明≌再证明≌，即有，则有，便可得，根据，则，，根据勾股定理可得，问题得解；
连接交于点，，可证为的中点，，取的中点，则，取的中点，点为的中点，则，在中，，，即可解决问题．
本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，构造合理的辅助线，掌握矩形的性质，是解答本题的关键．