广东省五校2022-2023学年高二数学下学期期中联考试题（Word版附答案）

东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学

2022-2023学年高二下学期五校联考试题

数学

注意：本卷满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设函数，则（    ）

A．5            B．            C．2             D．

2. 展开式中的系数为（    ）

A.56            B.-56            C. 64       D. -64

3.一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度=1米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

4.各项均为正数的等差数列的前项和是，若，则的值为（  ）

A.            B.           C.            D.

5.一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为，则等于的是（    ）

A.        B.         C.        D.

6.将诗集《诗经》、《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是（    ）

A. 戏剧放在中间的不同放法有种            B. 诗集相邻的不同放法有种

C. 四大名著互不相邻的不同放法有种     D. 四大名著不放在两端的不同放法有种

7.已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为　　

A． B． C． D．

8. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于，两点（点、在点的两侧），且，则的离心率为（    ）

A.             B.            C.            D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9．已知，则下列结论正确的是（    ）

A.                            B.

C.                 D.

10.已知空间向量，则下列结论正确的是（  ）

A．                    B．

C．                  D．在上的投影向量的长度为

11．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，，则下列结论正确的为　　

A．任取一个零件是第1台生产出来的次品的概率为0.01 

B．任取一个零件是次品的概率为0.058 

C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 

D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为

12.设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为　　

A．的图象与轴相切 

B．存在实数，使得的图象与轴相切 

C．若，则方程有唯一实数解 

D．若有两个零点，则的取值范围为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．在等比数列中，，则          

14. 某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，则不同的派遣方案共有           （用数字作答）

15. 已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围为              

16. 若对任意的，且当时，都有，则的最小值是                  

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知对于任意，函数在点处切线斜率为，是公比大于的等比数列，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前20项和．

18. 已知函数.

（1）若，求的极值；

（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.

19.如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.

20.第25届冬季奥林匹克运动会将于2026年举办.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，其中.

（1）求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？

（2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望.

21.如图，已知椭圆，其左､右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

22.已知函数.

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由.

2024届五校联考 数学 参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求。

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对5分，部分选对得2分，有选错得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 8         14. 30        15.         16. 2

说明：第15题答案写成：，同样给5分。

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．解：（1）由题意，∴，…………………………2分

又因为，…………………………3分

 所以解得或（舍），…………………………4分

所以.…………………………5分

（2）由题………………………………7分

所以……………………8分

…………………………9分

=………………………………10分（写到这个结果也给10分）

         ………………………………10分

18.解：（1）当时，

所以，………………………………1分

令，解得或，………………………………2分

当x变化时，，变化情况如下：

………………………………4分

故的极小值为.  的极大值为.………………………………6分

（2）法一：………………………………7分

令，解得，………………………………8分

 当或时，，单调递增………………………………9分

当时，，单调递减………………………………10分

要使函数在区间上单调递增，需…………………………11分

解得：，所以的取值范围为.………………………………12分

法二：，………………………………7分

由题知：在区间上恒成立，即恒成立………………………………8分

只需大于或等于的最大值或上界.………………………………9分

，………………………………10分

因为，所以，，………………………………11分

，即，所以的取值范围为.………………………………12分

19. 解：（1）方法（一）因为平面，平面，

所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：

，

………………………………1分

，………………………………2分

因为，………………………3分

所以，即，………………………………4分

方法（二）连结与相交于点,因为四边形是正方形，

所以…………1分

因为，

所以………………2分

因为，所以,………………3分

因为

所以，因为,所以.……………………4分

(2)设平面的法向量为，，…………5分

所以有，………………………………7分

因为直线与平面所成角为，

所以，……………9分

解得，即，因为，………………………………10分

所以点到平面的距离为：

.………………………………12分

20. 解：甲在初赛的两轮中均获胜的概率为；………………………………1分

乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：；………………………………2分

丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：.………………………………3分

因为，所以，………………………………4分

所以，，即甲进入决赛的可能性最大.………………………………5分

最后一步，只写甲进入决赛的可能性最大. 不扣分。

（2）设甲、乙、丙都进入决赛的概率为，则，………………………………6分

整理得，解得或，

由，所以，………………………………7分

所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为、，

两轮中均获胜的概率为：………………………………8分

进入决赛的人数的可能取值为：0、1、2、3，

所以；

；………………………………9分

；

；………………………………10分

所以，的分布列为

………………………………11分

所以，.………………………………12分

求分布列没有过程，只有表格，扣2分。

21. 解：（1）法一：，

,………………………………1分

，,     解得：,………………………………2分

∴椭圆方程为：………………………………3分

法二：设，代入椭圆方程，由，可解得，

  ………………………………1分

又  解得：，………………………………2分

椭圆方程为：.………………………………3分

(2)设动直线的方程为：，

由，得………………………………4分

设，

………………………………5分

则，………………………………6分

则，

由题知：，可得，………………………………7分

所以，………………………………8分

∴，

∴，………………………………10分

由题意知上式对成立，

且，解得.………………………………11分

存在定点，使得以为直径的适恒过这个点，且点的坐标为.……………………12分

22.（1）函数的定义域为，………………………………1分

.………………………………2分

………………………………3分

令可得或，，则.………………………………4分

由，可得或.

则的单调递增区间为和；………………………………5分

（2）假设函数存在“中值相依切线”，，………………………………6分

，………………………………8分

由题设条件，有，即，即，………………………………9分

不妨设，设，可得，

构造函数，其中，………………………………10分

则，

所以，函数在区间上为增函数，则，………………………………11分

即方程在上无解，

因此，函数不存在“中值相依切线”；………………………………12分