2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题16 平面向量数量积及其应用（含解析）

这是一份2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题16 平面向量数量积及其应用（含解析），共40页。试卷主要包含了已知向量 BA 等内容，欢迎下载使用。

专题 16 平面向量数量积及其应用
十年大数据*全景展示


年 份
题号
考 点
考 查 内 容

2011

课标

理 10

平面向量的综合应用
利用平面向量数量积计算向量夹角与模问题及命题
真假的判定
文 13
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积处理向量垂直问题

2012

课标
理 13
文 15

平面向量数量积性质的应用
平面向量的定义及利用平面向量数量积处理向量模
问题


2013

卷 1
理 13
文 13
平面向量数量积的概念及其
几何意义

平面向量数量积的概念及运算法则

卷 2
理 13
文 14
平面向量数量积的概念及其
几何意义

平面向量数量积的运算法则


2014

卷 1

理 15
平面向量数量积的概念及其
几何意义

中点公式的向量形式及向量的夹角的概念

卷 2
文 4
理 3

平面向量数量积性质的应用

利用平面向量数量积处理向量模问题

2015
卷 1
理 5
平面向量的综合应用
主要与双曲线结合考查平面向量数量积的坐标运算

卷 2

文 4
平面向量数量积的概念及其
几何意义

平面向量的坐标运算、平面向量数量积




2016
卷 1
理 13
平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及平面向量模公式

卷 2

理 3

平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂
直问题

卷 3

理3 文3
平面向量数量积的概念及其
几何意义
平面向量的数量积的坐标运算及利用平面向量数量
积求夹角

卷 1

文 13

平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂
直问题




2017
卷 1
理 13
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积计算模
理 2
理 12
平面向量的综合应用
与平面图形有关的平面向量数量积的最值问题

卷 1

文 13

平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积的坐标运算及利用向量数量积
处理垂直问题
卷 2
文 4
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积的模
卷 3
理 12
平面向量的综合应用
向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质



卷 3

文 13

平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理

垂直问题

2018

卷 2

理4 文4
平面向量数量积的概念、几

何意义及其运算律

平面向量的数量积及其运算律



2019

卷 1
理 7
文 8

平面向量数量积性质的应用

平面向量数量积处理垂直与夹角问题
卷 2
理 3
平面向量的综合应用
平面向量的减法运算、模公式、平面向量数量积
卷 3
理 13
平面向量的综合应用
平面向量数量积处理模与夹角问题
卷 3
理 13
平面向量数量积性质的应用
平面向量坐标的模公式及夹角公式





2020

卷 1
理 14
平面向量数量积及其运算
向量模长的计算
文 14

平面向量数量积的应用
平面向量垂直充要条件的坐标形式，平面向量数量积
的应用

卷 2
理 13
平面向量数量积的应用
向量夹角公式，应用向量数量积处理垂直问题

文 15

平面向量数量积定义及性质
平面向量数量积的定义和运算性质，应用平面向量数
量积处理向量垂直
卷 3
理 6

平面向量数量积及其运算
平面向量夹角公式，平面向量数量积的计算以及向量
模长的计算

大数据分析*预测高考


考 点
出现频率
2021 年预测
考点 51 平面向量数量积的概念及其

几何意义

7/24
2021 年高考仍将重点单独或与平面图形等知识结合重点平面向量数量积的定义、性质及应用平面向量数 量积计算夹角、模、垂直等问题，难度为基础题、中
档题或难题，题型为选择或填空．
考点 52 平面向量数量积性质的应用
9/24
考点 53 平面向量的综合应用
8/24

十年试题分类*探求规律



考点 51 平面向量数量积的概念、其几何意义及其运算律

1．(2020 全国Ⅲ理 6)已知向量a , b 满足 a = 5 , b = 6 , a × b = -6 ，则cos


a , a + b = ( )



A． - 31
B． - 19
C． 17 D． 19

35
【答案】D
35 35 35

r r r r r
【思路导引】计算出a × (a + b ) 、 a + b 的值，利用平面向量数量积可计算出cos < a, a + b >的值．
r r r r r r 2 r r
【解析】Q a = 5 ， b = 6 ， a × b = -6 ，\ a × (a + b ) = a + a × b = 52 - 6 = 19 ．
r r
( )
a + b
2
a + 2a × b + b
r 2 r r r 2
r r

a + b =
=
r r r
= 25- 2´ 6+ 36 = 7 ，因此

r r r a ×(a + b) 19 19

r r r
a × a + b
cos < a, a + b >= = =
5´ 7 35
．故选 D．


uuur uuur

2．(2020 山东 7)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP × AB 的取值范围是 ( )

A． (-2 , 6)
【答案】A
B． (-6 , 2)
C． (-2 , 4)
D． (-4 , 6)


【思路导引】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 AP 在 AB 方向上的投影的取值范围是
(-1, 3) ，利用向量数量积的定义式，求得结果．
【解析】解法一： AB 的模为 2，根据正六边形的特征，可以得到 AP 在 AB 方向上的投影的取值范围是(-1, 3) ，结合向量数量积的定义式，可知 AP × AB 等于 AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，所以AP × AB 的取值范围是(-2, 6) ，故选：A．
解法二：如图，建立平面直角坐标系 A - xy ，由题意知 A(0, 0) ，B (2, 0) ，C(3, 3)，F(-1, 3)，设 P( x, y) ，则-1 < x < 3，∵ AP× AB =(x, y)×(2,0) = 2x ，∴ -2 < 2x < 6 ，∴ AP × AB 的取值范围是( - 2, 6 ) ．









a
a (2a
3．(2018•新课标Ⅱ，理 4)已知向量 a ， b 满足| a |= 1， rgb = -1 ，则 rg r - b) = ( )

A．4 B．3 C．2 D．0


【答案】B

r r r r2 r

【解析】向量 a ， b 满足| a |= 1， agb = -1 ，则 ag(2a - b) = 2a - agb = 2 + 1 = 3 ，故选 B ．

3
3
uuv 1 uuuv 1

4．(2016 新课标，理 3)已知向量 BA = ( , )
2 2
， BC = ( , ), 2 2
则Ð ABC=

(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200

3
【答案】A


BA BC
uur uuur

1 ´ 3 +



3 ´ 1



×
【解析】由题意，得cos ÐABC = uur uuur
| BA || BC |
= 2 2 2 2 =
1´1 2
，所以ÐABC = 30° ，故选 A．


5．(2017 北京)设 m ， n 为非零向量，则“存在负数l，使得 m = ln ”是“ m × n < 0 ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为m, n 为非零向量，所以 m × n =| m || n | cos < m, n >< 0 的充要条件是cos < m, n >< 0 ．因为
l< 0 ，则由 m = ln 可知m, n 的方向相反， < m, n >= 180o ，所以cos < m, n >< 0 ，所以“存在负数l， 使得 m = ln ”可推出“ m × n < 0 ”；而 m × n < 0 可推出cos < m, n >< 0 ，但不一定推出 m, n 的方向相反， 从而不一定推得“存在负数l，使得m = ln ”，所以“存在负数l，使得m = ln ”是“ m × n < 0 ”的充分而不 必要条件．
uuur uuur
6．(2013 湖北)已知点 A(-1, 1) 、 B(1, 2) 、C(-2, -1) 、 D(3, 4) ，则向量 AB 在CD 方向上的投影为


A. 3 2
2
【答案】A
B． 3 15
2
C． - 3 2
2
D． - 3 15
2



【解析】 AB =(2，1)， CD =(5，5)，则向量 AB 在向量CD 方向上的射影为

AB cosq= AB × CD = (2,1) × (5,5) = 2 ´ 5 +1´ 5 = 3 2
CD
52 + 52
5 2
2

7．(2011 辽宁)已知向量a = (2,1) ， b = (-1, k ) ， a × (2a - b) = 0 ，则 k =


A． - 12
B. - 6
C．6 D．12


【答案】D

【解析】 ∵ 2a - b = (5, 2 - k ) ，由a × (2a - b) = 0 ，得(2,1) × (5, 2 - k ) = 0 ，∴10 + 2 - k = 0 ，解得 k = 12 ．

8．(2015 山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ÐABC = 60o ，则 BD ×CD ＝

A. - 3 a2
2
B. - 3 a2
4
C. 3 a2
4
D. 3 a2
2

【答案】D

【解析】由菱形 ABCD 的边长为 a ， ÐABC = 60o 可知ÐBAD = 180o - 60o = 120o ，

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
BD×CD = (AD - AB)×(-AB) = -AB× AD + AB
= -a× acos120o + a2
= 3 a2 ．
2

uuur uuur
9．(2015 四川)设四边形 ABCD 为平行四边形， AB = 6 ， AD = 4 ．若点 M , N 满足

BM = 3MC ， DN = 2NC ，则 AM × NM = ( )
A．20 B．15 C．9 D．6
【答案】C

uuuur uuur
【解析】 AM = AB +
3 uuur uuuur uuuur uuur
AD, NM = CM - CN = -
1 uuur
AD +
uuur
1
AB ，所以 AM × NM

4 4 3

1 uuur uuur 1
= (4 AB + 3AD) ×
uuur uuur
(4 AB - 3AD) =
1 uuur2
(16 AB
uuur2
- 9 AD ) =
1 (16 ´ 36 - 9 ´16) =9，选 C．

4 12 48 48

10．(2014 天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2，ÐBAD = 120o ，点 E, F 分别在边 BC, DC 上， BE = λBC ，

uuur uuur 2
DF = μDC ．若 AE × AF = 1， CE × CF = -
3

，则 λ + μ =

A. 1
2
【答案】C
B. 2
3
C. 5
6
D. 7
12

uuur uuur uuur uuur

【解析】 因为ÐBAD = 120o ，所以 AB AD AB AD cos120o = -2 ，因为 BE = lBC ，所以
uuur uuur uuur uuur
AE = AB +l AD ， AF = m AB + AD ，因为 AE × AF = 1，所以(AB +l AD)×(m AB + AD )= 1 ，即
3 2 5
2l + 2m -lm = ①，同理可得lm -l - m = - ②，①+②得l + m = ．
2 3 6
11．(2012 天津)在△ABC 中，Ð A=90°，AB=1，设点 P，Q 满足 AP = lAB ， AQ = (1- l) AC ，lÎ R ．若

BQ × CP = -2 ，则l=( )

A. 1
3
【答案】B
B. 2
3
C. 4
3

D．2


r r r r

【解析】如图，设 AB = b, AC = c
，则 b = 1, c = 2,b · c = 0 ，又 BQ = BA + AQ
= -b + (1-l)c ，



CP = CA + AP = -c +lb ， ∴


BQ · CP
= [-b + (1-l)c]· (-c +lb)


= (l-
r 2 - lr 2 = 4(l-1) -l= -2 ，即3l= 2,l= 2 ，选 B．

1) c b
3



12．(2020 全国Ⅰ文 14)设向量a = (1 , -1) , b = (m +1 , 2m - 4) ，若a ^ b ，则 m = ．
【答案】5

【思路导引】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果．

【解析】由 a ^ b 可得 a ×b = 0 ，又∵ a = (1, -1), b = (m +1, 2m - 4) ，
∴ a × b = 1×(m +1) + (-1) × (2m - 4) = 0 ，即 m = 5 ，故答案为： 5 ．
13．(2020 全国Ⅱ理 13)已知单位向量 a, b 的夹角为 45°， k a - b 与a 垂直，则 k = ．

【答案】 2
2

【思路导引】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数 k 的值．


2
® ® o æ
® ® ö ®

【解析】由题意可得： a× b = 1´1´cos 45 =
，由向量垂直的充分必要条件可得： ç k a- b ÷ × a = 0 ，
2 è ø



®2
即： k ´ a
® ®
2
2
2
- a× b = k - = 0 ，解得： k = ，故答案为： ．

2 2 2

14．(2020 全国Ⅰ理 14)设a , b 为单位向量，且 a + b = 1，则 a - b = ．


3
【答案】

(a + b)2
【思路导引】整理已知可得： a + b =

，再利用 a, b 为单位向量即可求得 2a × b = -1，对 a - b 变



a 2 - 2a × b + b 2
形可得： a - b =
，问题得解．


【解析】∵ a , b 为单位向量，∴ a = b = 1 ，

(a + b)2
a 2 + 2a × b + b 2
2 + 2a × b
3
∴ a + b = = = = 1，解得： 2a × b = -1，


(a - b)2
a 2 - 2a × b + b 2
∴ a - b = =
= ，故答案为： ．


3
15．(2019•新课标Ⅲ，文 13)已知向量 a = (2, 2) ， b = (-8, 6) ，则cos < a ， b >= ．

【答案】 - 2
10
22 + 22
(-8)2 + 62
r r r

【解析】由题知， agb = 2 ´ (-8) + 2 ´ 6 = -4 ，| a |=
= 2 2 ， | b |=
= 10 ，

r
cos < a ， b >=
-4 = - ．
2 2 ´10
2
10



uuur


1 uuur uuur

16．(2014 新课标Ⅰ，理 15)已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若 AO =

为 ．

【答案】900
( AB + AC) ，则 AB 与 AC 的夹角
2

uuur
【解析】∵ AO =
1 uuur uuur
( AB + AC) ，∴O 为线段 BC 中点，故 BC 为eO 的直径，
2


∴ ÐBAC = 900 ，∴ AB 与 AC 的夹角为900 ．
17．(2013新课标Ⅰ，理13文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t= ．

【答案】2
【解析】bgc = b ·[ta + (1- t)b]= ta · b + (1- t)b2 = 1 t +1- t =1- 1 t =0，解得t = 2 ．
2 2

18．(2013 新课标Ⅱ，理 13 文 14)已知正方形 ABC 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 AEgBD = ．


【答案】2

uuur

1 uuur uuur uuur

uuur
2

uuur
1
2

【解析】 AEgBD = ( AD +
2
AB) · ( AD - AB) =| AD |
- | AB | 2
=4-2=2．

19．(2011 江苏)已知e ，e 是夹角为 2p的两个单位向量，a = e

- 2e ，b = ke
+ e ， 若a × b = 0 ，则 k

1 2 3
的值为 ．
5
1 2 1 2

【答案】
4

【 解 析 】 由 题 意 知 a × b = (e - 2e )(ke + e ) = 0 ， 即
ke2 + e e - 2ke e - 2e2 = 0 ， 即

1 2 1 2

5
k + cos 2p- 2k cos 2p- 2 = 0 ，化简可求得 k = ．
1 1 2 1 2 2

3 3 4
20．(2017 天津)在△ABC 中，∠A = 60° ， AB = 3 ， AC = 2 ．若 BD = 2DC ，

AE = lAC - AB (lÎ R) ，且 AD × AE = -4 ，则l的值为 ．
3

【答案】
11

uuur
0

1 uuur 2 uuur

【 解 析 】
AB × AC = 3´ 2 ´ cos 60 = 3 ， AD =
AB + AC
3 3
， 则 AD × AE

1
uuur
AB +
2
uuur uuur uuur
AC)(lAC - AB) =
l
´ 3 +
2l
´ 4 -
1
´ 9 -
2
´ 3 = -4 ，解得l=
3
3

3

3
3
3

3

11

= ( ．

21．(2014 天津)已知菱形 ABCD 的边长为2 ，ÐBAD = 120° ，点 E ，F 分别在边 BC 、DC 上，BC = 3BE ，

DC = lDF ．若 AE × AF = 1，则l的值为 ．
【答案】 2


【 解 析 】 因 为
ÐBAD = 120o ， 菱 形 的 边 长 为 2 ， 所 以
AB × AD = -2
． 因 为



uuur uuur uuur
1 uuur uuur
1 uuur
4 4 1

AE × AF = AB +
AD × AD + AB ，由 AE × AF = 1，所以 + - 2(1+ ) = 1，解得l= 2 ．


3 l l 3 3l

考点 52 平面向量数量积性质的应用
1．(2020 全国Ⅱ文 5)已知单位向量a , b 的夹角为 60°，则在下列向量中，与b 垂直的是 ( )


A. a + 2b
B. 2a + b
C. a - 2b
D. 2a - b


【答案】D

【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断 即可．
【解析】由已知可得： a × b = a b cos 60° = 1´1´ 1 = 1 ．
2 2
A：∵ (a + 2b) × b = a × b + 2b2 = 1 + 2 ´1 = 5 ¹ 0 ，∴本选项不符合题意；
2 2
B：∵ (2a + b) × b = 2a × b + b2 = 2 ´ 1 +1 = 2 ¹ 0 ，∴本选项不符合题意；
2
C：∵ (a - 2b) × b = a × b - 2b2 = 1 - 2 ´1 = - 3 ¹ 0 ，∴本选项不符合题意；
2 2
D：∵ (2b - b) × b = 2a × b - b2 = 2 ´ 1 -1 = 0 ，∴本选项符合题意．故选 D．
(a
2

| a |
2．(2019•新课标Ⅰ，理 7 文 8)已知非零向量 a ， b 满足
r = 2 | b | ，且
r - b) ^ b ，则 a 与b 的夹角为( )


A． p B． p C． 2p D． 5p

6
【答案】B

r
3



r r 2
3


uuruur


r r r2
6


uur2
r r | b |



uur2
| b | 1

【解析】Q(a - b) ^ b ，\ (a - b)gb = agb - b
= | a || b |cos < a,b > -b
= 0 ，\ cos < a,b >= uuruur = uur2 = 2 ，


Q < r

>Î[0,p] ，\ < r r >= p ，故选 B ．


| a || b |
2| b |

a,b
a,b
| a
3


| a
3．(2017•新课标Ⅱ，文 4)设非零向量 a ， b 满足
r + b |= r - b | 则( )

a
A． r ^ b
B．| a |=| b |
r
C． D．
a / /b
| a |>| b |



r
r
【答案】A
【解析】Q非零向量 a ， b 满足 r + b |= r - b | ，\

r + b)2 = r - b)2 ，即 r2 + b 2 +

r = r2 + b 2 -

r ，∴

| a | a
a
a
rgb = 0 ，\ r ^ b ，故选 A ．
(a (a
a 2ab a
2ab

4．(2016 新课标，理 3)已知向量a = (1, m)，b=(3, -2) ，且(a + b) ^ b，则 m=( ) (A)－8 (B)－6 (C)6 (D)8
【答案】D
【解析】由题知 a+b= (4, m - 2) ，所以(a + b) ·b= 4 ´ 3 - 2(m - 2) =0，解得 m = 8 ，故选 D．
r r r r
10
6
5．(2014 新课标Ⅱ，理 3 文 4)设向量 a, b 满足| a + b |= ，| a - b |= ，则 a × b = ( )

A．1 B． 2 C． 3 D． 5


【答案】A

【解析】∵ a + b =


10 ， a - b =

，∴ (a + b)2 = 10 ……①， (a - b)2 = 6 ……②．


6
由① -②得： a × b = 1，故选 A．
6．(2018 北京)设a ， b 均为单位向量，则“ a - 3b = 3a + b ”是“ a ⊥ b ”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】∵ a - 3b = 3a + b ，∴ (a - 3b)2 = (3a + b)2 ，∴ a2 - 6a × b + 9b2 =

9a2 + 6a × b + b2 ，又| a |=| b |= 1，∴ a × b = 0 ，∴ a ^ b ；反之也成立，故选 C．
7．(2016 年山东)已知非零向量 m,n 满足4 | m |= 3 | n | ，cos < m, n >= 1 ．若 n ^ (tm + n) ，则实数 t 的值
3

为( )
A．4 B．–4 C． 9 4

D. – 9
4

【答案】B

【 解 析 】 由


n ^ (tm + n) 可 得

n × (tm + n) = 0


， 即 tm × n + n2 = 0



， 所 以

n2 n2
|n |2
| n | 4

t = - = - = -
m × n | m |× | n | cos < m ,n >
| m | ´ | n | ´ 1
3
= -3 = -3´ = -4 ．故选 B．
| m | 3

2 2
3
8．(2015 重庆)若非零向量a ， b 满足 a = b ，且(a - b) ^ (3a + 2b) ，则 a 与b 的夹角为( )


p p
A． B．
4 2
C． 3p D．p
4

【答案】A

r r r r r 2

r r r 2

r 2 r r r 2

【 解 析 】 由 题 意 (a - b) × (3a + 2b) = 3a
- a × b - 2b
= 0 ， 即 3 a
- a b cosq- 2 b
= 0 ， 所 以


3´( 2 2 )2 - 2 2 cosq- 2 = 0 ， cosq= 2 ，q= p，选 A．
3 3 2 4

9．(2015 陕西)对任意向量a, b ，下列关系式中不恒成立的是

A．| a × b |≤| a || b |

C． (a + b)2 =| a + b |2
B．| a - b |≤|| a | - | b ||

D． (a + b)(a - b) = a2 - b2


【答案】B

【解析】对于 A 选项，设向量a 、b 的夹角为q，∵| a × b |=| a || b | cosq≤|a || b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a 、b 反向时，| a - b |≥|| a | - | b || ，∴B 选项错误；对于 C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于 D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a + b) ×(a - b) = a2 - b2 ，故
D 选项正确，综上选 B．

10．(2015 安徽) DΑΒC 是边长为2 的等边三角形，已知向量 a ， b 满足 ΑΒ = 2a ， ΑC = 2a + b ，则下列


结论正确的是 ( )

A. b = 1

B. a ^ b C． a × b = 1

D． (4a - b) ^ ΒC


【答案】D
【解析】如图由题意， BC = AC - AB = (2a + b) - 2a = b ，故| b |= 2 ，故 A 错误；| 2a |= 2 | a |= 2 ，所以| a |= 1 ，又 AB × AC = 2a × (2a + b) = 4 | a |2 +2ab = 2 ´ 2 cos 60o = 2 ，所以 a × b = -1，故 B, C 错误；设

B, C 中点为 D ，则 AB + AC = 2AD ，且 AD ^ BC ，所以(
r r
4a + b
uuur
)
^ BC ，故选 D．


11．(2014 山东)已知向量a = (1, 3), b = (3, m) ． 若向量a, b 的夹角为p，则实数 m = ( )
3
3
6

3
A． 2 B．
C．0 D． -



【答案】B

【解析】由题意得

3 = cos p =
2 6


，两边平方化简得6 3m =18 ，


1´ 3 + 3m
2 ´ 9 + m2
3
解得 m = ，经检验符合题意．

12．(2014 重庆)已知向量a = (k, 3) ， b = (1, 4) ， c = (2,1) ，且(2a - 3b) ^ c ，则实数k =


A． - 9
2
B． 0 C． 3 D． 15 2

【答案】C

【解析】∵ 2a - 3b = (2k - 3, -6) ， (2a - 3b) ^ c ，所以(2a - 3b) × c = 2(2k - 3) - 6 = 0 ．解得 k = 3 ，选

C
13．(2012 陕西)设向量a =(1， cosq)与b =( - 1，2 cosq)垂直，则cos 2q等于


2
1
A． B．
2 2

C．0 D．－1

【答案】C
【解析】Q a ^ b,\a × b = 0,\-1+ 2 cos 2 q= 0,\cos 2q= 2 cos 2 q-1 = 0. 正确的是 C．

14．(2012 浙江)设a ， b 是两个非零向量

A．若| a + b |=| a | - | b | ，则a ^ b

B．若a ^ b ，则| a + b |=| a | - | b |

C. 若| a + b |=| a | - | b | ，则存在实数l，使得b = la

D. 若存在实数l，使得b = la ，则| a + b |=| a | - | b |

【答案】C

【解析】 因为| a + b |=| a | - | b |Þ| a |2 +2ab+ | b |2 =| a |2 -2 | a || b | + | b |2 ，ab = - | a || b |¹ 0 ，所以a, b 不垂直，A 不正确，同理 B 也不正确；因为 ab = - | a || b |，则cos < a, b >= -1 ，所以a, b 共线，故存在实数
l，使得b = la ，C 正确；若b = a ，则l= 1，此时| a + b |= 2 | a |¹ 0 =| a | - | b | ，所以 D 不正确．

15．(2019•新课标Ⅲ，理 13)已知 a ， b 为单位向量，且 rgb = 0 ，若r =
r - r ，则cos < a ， c >= ．


【答案】 2
3



r r r r


r r2 r r
a



r2 r
c 2a



r 2 r2
5b



r r r2

【解析】∵ agc = ag(2a -
5b) = 2a - 5agb = 2 ， c
r r
= (2a -
5b)
= 4a
- 4 5agb + 5b
= 9 ，

c
\| c |= 3 ，\cos < a ， r >=
agc 2
r r = ．

r
| a || c | 3

16．(2017•新课标Ⅰ，理 13)已知向量 a ， b 的夹角为60° ， | a |= 2 ，| b |= 1，则

| a + 2b |= ．



3
【答案】 2

【解析】向量 a ， b 的夹角为 60° ，且| a |= 2 ，| b |= 1，\

r + 2b)2 = r2 + rgb + 4b 2


2 2 \ r r
(a a 4a


3


= 2 + 4 ´ 2 ´1´ cos 60° + 4 ´1 = 12 ， | a + 2b |= 2 ．

a
17．(2017•新课标Ⅰ，文 13)已知向量 a = (-1, 2) ， b = (m,1) ，若向量 r + b 与 a 垂直，则 m = ．
【答案】7
【解析】Q向量 a = (-1, 2) ， b = (m,1) ，\ r + b = (-1 + m,3) ，Q向量 r + b 与a 垂直，
a a

(a
a
\ r + b)gr = (-1 + m) ´ (-1) + 3´ 2 = 0 ，解得 m = 7 ．

a
18．(2017•新课标Ⅲ，文 13)已知向量 a = (-2, 3) ， b = (3, m) ，且 r ^ b ，则 m = ．
【答案】2
a
a
【解析】Q向量 a = (-2, 3) ， b = (3, m) ，且 r ^ b ，\ rgb = -6 + 3m = 0 ，解得 m = 2 ．
19．(2016 新课标，理 13)设向量 a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 m= ．
【答案】-2
【解析】由|a+b|2=|a|2+|b|2 得， a · b =0，所以 m + 2 = 0 ，解得m = -2 ．
a
20．(2016•新课标Ⅰ，文 13)设向量 a = (x, x + 1) ， b = (1, 2) ，且 r ^ b ，则 x = ．

【答案】 - 2
3

【解析】Q r ^ b ，\ rgb = 0 ，即 x + 2(x + 1) = 0 ，∴ x = - 2 ．
a a
10
3

21．(2012 课标，理 13)已知向量a ， b 夹角为450 ，且| a |=1，| 2a - b |=
2
10
2
2
【答案】． 3
，则| b |= ．

【解析】∵| 2a - b |=
2
- (舍)
，平方得 4a2 - 4agb + b2 = 10 ，即 | b |2 -2
| b | -6 = 0 ，解得| b |= 3 或


22．(2011 新课标，文 13)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a + b 与向量 ka - b 垂直， 则k = ．
【答案】1
【解析】∵ a 与b 为 两个不共线的单位向量，∴| a |=1，| b |=1，且a 与b 夹角q不为 0 也不为p，∴ cosq¹ ±1， 又 ∵ 向 量 a + b 与 向 量 ka - b 垂 直 ， ∴
(a + b) ·(ka - b) = ka2 + (k -1)a · b - b2 = k -1+ (k -1) cosq= (k -1)(1+ cosq) =0，∴ k -1=0，∴ k =1．

23．(2017 山东)已知e ， e 是互相垂直的单位向量，若 3e - e 与e + le 的夹角为60o ，则实数l的值
1 2 1 2 1 2

是 ．


3
【答案】
3

3
【解析】( 3e - e ) × (e + le ) = 3e 2 + 3le × e - e × e - le 2 = - l，
1 2 1 2 1 1 2 1 2 2

( 3e - e ) 2
1 2
3e 2 - 2 3e × e + e 2
1
1 2 2
| 3e - e |= = = 2 ，
1 2

(e +le )2
1 2
e 2 + 2le × e +l2e 2
1
1 2
2
1+l2
| e +le |= = = ，
1 2


3
1+l2
\ -l= 2´
´cos 60o =
，解得： l= 3 ．
1+l2
3

uuur uuur
uuur
uuur uuur

24．(2015 湖北)已知向量OA ^ AB ，| OA |= 3 ，则OA × OB = ．


【答案】9

【解析】因为OA ^ AB ，| OA |= 3 ，所以OA · OB =


OA·(OA + AB) =| OA |2 +OA· OB =| OA |2 = 32 = 9 ．


25．(2014 四川)平面向量a = (1, 2) ， b = (4, 2) ， c = ma + b ( m Î R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， 则m = ．
【答案】2

r r c × a
r r c × b
c × a c × b

【解析 1】c = (m + 4, 2m + 2) ，因为cos
c, a
= r r ，cos
c, b
= r r ，所以 r r
= r r ，

| c | × | a |
| c | × | b |
| c | × | a | | c | × | b |


又| b |= 2 | a | ，所以 2c × a = c × b ，即 2[(m + 4) + 2(2m + 2)] = 4(m + 4) + 2(2m + 2) Þ m = 2


10
26．(2013 北京)已知向量a ， b 夹角为45o ，且| a |= 1，| 2a - b |=
2
r
【答案】 b = 3
，则| b |= ．

r r r r r 2 r r
10
2
【解析】 2a - b = Û (2a - b)2 = 10 Û 4 + b - 4 b cos 45° = 10 Û b = 3

27．(2012 湖北)已知向量a =(1，0)， b =(1，1)，则
(Ⅰ)与2a + b 同向的单位向量的坐标表示为 ；
(Ⅱ)向量b - 3a 与向量a 夹角的余弦值为 ．
æ 3 10
10
2 5
ö

【答案】(Ⅰ) ç 10
, 10 ÷
(Ⅱ) -
5

è ø
【解析】(Ⅰ) 由 a = (1, 0), b = (1,1) ， 得 2a + b = (3,1) ． 设与 2a + b 同向的单位向量为 c = ( x, y) ， 则

ìx = 3 10 ,

æ 3 10
10
ï
ìx2 + y2 = 1,
í
3y - x = 0,
且 x, y > 0 ，解得í
10
10

故 c = ç 10
ö
, 10 ÷ ．即与 2a + b 同向的单位向量的坐标为

î


æ 3 10
ç 10


ö
10
, 10 ÷ ．
ï y = . è ø
ï
î 10

è ø


(Ⅱ) 由
a = (1, 0), b = (1,1)
， 得 b - 3a = (-2,1)

． 设 向 量
b - 3a 与 向 量 a 的 夹 角 为 q ， 则


2 5
(b - 3a )ga (-2,1)g(1, 0)
5 ´1
cosq= = = - ．
b - 3a a 5
28．(2012 安徽)若平面向量a ， b 满足： 2a - b ≤ 3；则a × b 的最小值是 ．
9

【答案】 -
8
r r r 2 r2 r r

【解析】 2a - b £ 3 Û 4a + b £ 9 + 4agb ，

r 2 r2
∴ 4a + b
r r r r r r r r r r 9
³ 4 a b ³ -4agb Þ 9 + 4agb ³ -4agb Û agb ³ -
8

29．(2011 安徽)已知向量a, b 满足(a + 2b) × (a - b) = -6 ，且 a = 1 ， b = 2 ，则a 与b 的夹角为 ．

p
【答案】
3
【解析】设 a 与 b 的夹角为q， 由题意有(a + 2b) × (a - b) = a2 + a × b - 2b2 = -7 + 2cosq= -6 ， 所以
1 p
cosq= ，因此0 ≤q≤p，所以q= ．

2
考点 53 平面向量的综合应用
uuur
3


uuur



uuur



uuur uuur

1．(2019•新课标Ⅱ，理 3)已知 AB = (2,3) ， AC = (3,t) ， | BC |=1，则 ABgBC = ( )


A. -3
B. -2
C．2 D．3



【答案】C

uuur

uuur

uuur uuur uuur

uuur

uuur

【解析】Q AB = (2,3) ， AC = (3,t) ，\ BC = AC - AB = (1,t - 3) ，Q| BC |=1 ，\ t - 3 = 0 即 BC = (1, 0) ，则
uuur uuur
ABgBC = 2 ，故选C ．
uur uuur uuur
2．(2017•新课标Ⅱ，理 12)已知DABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 PAg(PB + PC)


的最小值是( )

A. -2

【答案】B

B. - 3
2

C. - 4
3


D. -1


【解析】建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点，则 A(0, 3) ， B(-1, 0) ， C(1, 0) ，


设 P(x, y) ， 则
uur
3
PA = (-x,

- y) ，
uuur
PB = (-1- x, -y) ，
uuur
PC = (1- x, -y) ， 则

uur uuur uuur
PAg(PB + PC)

= 2x 2 - 2 3y + 2 y 2 = 2[x 2 + ( y -

3 2 3
) - ]
，\当 x = 0 ，y = 时，取得最小值2 ´ (- 3) = - 3 ，

3
2 4 2 4 2
故选 B ．


3．(2017•新课标Ⅲ，理 12)在矩形 ABCD 中， AB = 1 ， AD = 2 ，动点 P 在以点C 为圆心且与 BD 相切的圆
uuur uuur uuur
上．若 AP = lAB + mAD ，则l+ m的最大值为( )

2
5
A．3 B． 2 C．
【答案】A
D．2


22 + 12
5
【解析】如图：以 A 为原点，以 AB ， AD 所在的直线为 x ， y 轴建立如图所示的坐标系， 则 A(0, 0) ， B(1, 0) ， D(0, 2) ， C(1, 2) ，Q动点 P 在以点C 为圆心且与 BD 相切的圆上，

设圆的半径为 r ，Q BC = 2 ， CD = 1 ，\ BD =
= ，\ 1 BCgCD = 1 BDgr ，\ r = 2 ，
2 2 5

\圆的方程为(x - 1)2 + ( y - 2)2 = 4 ，设点 P 的坐标为( 2 5 cosq+1 ， 2 5 sinq+ 2) ，
5 5 5
2 5
2 5
uuur uuur uuur

Q AP = lAB + mAD ，\( cosq+ 1 ，
5
sinq+ 2) = l(1 ， 0) + m(0 ， 2) = (l， 2m) ，
5

\ 2 5 cosq+ 1 = l， 2 5 sinq+ 2 = 2m，\l+ m= 2 5 cosq+ 5 sinq+ 2 = sin(q+j) + 2 ，其中tanj= 2 ，
5 5 5 5
∵ -1 £ sin(q+j) £ 1，∴1 £ l+ m£ 3 ，故l+ m的最大值为 3，故选 A ．




4．(2015 新课标Ⅰ，理 5)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：
x2 - 2


y
2
= 1上的一点，F1、F2 是 C 上的两个焦点，若



uuuur
MF1

· MF2 ＜0，则 y0 的取值范围是( )




3
3
(A)(- ，
3 3
) (B)(- ， )
3
3
6 6



(C)( - 2 2 ，
3
) (D)( - 2 3 ， )
2 2
3
2 3
3
3


3
3
【答案】A


x
2
【解析】由题知 F (- 3, 0), F ( 3, 0) ， 0 - y2 = 1，所以 MF · MF =
(- - x , - y ) ·( - x , - y )

1 2



= x2 + y2 - 3 = 3y2 -1 < 0 ，解得-
2

3 < y
0 1 2



3
< ，故选 A．
0 0 0 0

0 0 0
3 0 3

5．(2011 新课标，理 10)已知a 与b 均为单位向量，其中夹角为q，有下列四个命题
p ：| a + b |> 1 Û q∈[0， 2p) p ：| a + b |> 1 Û q∈( 2p，p]

1 3 2 3
p ： | a - b |> 1 Û q∈[0， p) p ：| a - b |> 1 Û q∈( p，p]


3

其中真命题是

(A) p1 ， p4




(B)


p1 ， p3
3


(C)
4




p2 ， p3




(D)
3


p3 ， p4



【答案】A

2 2
1 a · b 1

【解析】由| a + b |> 1得， a + 2a · b+ b
2p
> 1，即a · b ＞ - ，即cosq=
2
|a||b|
＞ - ，
2

∵q∈[0，p]，∴q∈[0， )，
3
由| a - b |> 1 得，a2 - 2a · b+ b2 > 1 ，即a · b ＜ 1 ，即cosq= a · b ＜ 1 ，∵q∈[0，p]，∴q∈( p，p]，
2 |a||b| 2 3

故选 A．

6．(2016 年天津)已知ΔABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点，连接 DE 并延

长到点 F ，使得 DE = 2EF ，则 AF × BC 的值为
A． - 5 B． 1 C． 1 D． 11

8 8
【答案】B
4

uuur
8

1 uuur 1 r r


uuur


3 uuur 3 r r

【 解 析 】 设 BA = a ， BC = b ， ∴
DE =
AC =
2 2
(b - a)
， DF =
DE =
2 4
(b - a) ，

uuur uuur uuur 1 r
AF = AD + DF = - a +
3 r r 5 r 3 r
(b - a) = - a + b ，

2 4 4 4

uuur uuur
∴ AF × BC = -
5 r r
a × b +
3 r2
b
= - 5 + 3 = 1

，故选 B．

4 4 8 4 8
7．(2014 安徽)设a, b 为非零向量， b = 2 a ，两组向量 x1, x2 , x3, x4 和 y1, y2 , y3, y4 均由 2 个a 和 2 个b 排


列而成，若 x × y + x × y + x × y + x × y
所有可能取值中的最小值为 4 a 2 ，则a 与b 的夹角为

1 1 2 2 3 3 4 4

A． 2
3
p B． p
3
p
C． D．0
6

【答案】B

r 2 r2

【解析】设 S = x1 × y1 + x2 × y2 + x3 × y3 + x4 × y4 ，若 S 的表达式中有 0 个 a ×b ，则 S = 2a
+ 2b
，记为 S1 ，

r 2
若 S 的表达式中有 2 个 a ×b ，则 S = 2a
r2 r r
+
2b + 2a × b ，记为 S2 ，若 S 的表达式中有 4 个 a ×b ，则 S = 4a × b ，


记为 S ，又| b |= 2 | a | ，所以 S - S
r 2
= 2a
r2
+ 2b
r r r r
- 4a × b = 2(a - b)2 > 0 ，

3

S - S

r 2 r2
= a + b
1 3
r r r r
- 2a × b = (a - b)2 > 0 ，

1 2


S - S = (a - b)2 > 0 ，∴ S < S < S ，故 S
= S = 4a ×b ，设 a, b 的夹角为q，

2 3 3 2 1

2 2
min 3
1 p

则 Smin = 4a × b = 8 | a | cosq= 4 | a |
，即cosq= ，又qÎ[0,p] ，所以q= ．
2 3

8．(2014 浙江)设q为两个非零向量a ， b 的夹角，已知对任意实数t ，| b + ta | 是最小值为 1
A．若q确定，则| a | 唯一确定 B．若q确定，则| b | 唯一确定
C．若| a | 确定，则q唯一确定 D．若| b | 确定，则q唯一确定
【答案】B

【解析】由于| b + ta |2 = b2 + 2agbt + a2t2 ，令 f (t) = b2 + 2agbt + a2t2 ，而t 是任意实数，所以可得 f (t) 的最


4a2b2 - (2ab)2
4a2b2 - 4a2b2 cos2 q 4b2 sin2 q

小值为
= = = 1 ，

4a2 4a2 4
即| b |2 sin2 q= 1 ，则知若q确定，则| b | 唯一确定．
9．(2013 福建)在四边形 ABCD 中， AC = (1,2), BD = (-4,2) ，则该四边形的面积为
5
5
A． B． 2 C．5 D．10

【答案】C
【 解 析 】 因 为
AC × BD = 1´(-4) + 2´ 2 = 0
， 所 以
AC ^ BC
， 所 以 四 边 形 的 面 积 为

| AC | × | BD | =
2
= 5 ，故选 C．
12 + 22
× (-4)2 + 22
2

1
10．(2013 浙江)设DABC ， P 是边 AB 上一定点，满足 PB = AB ，且对于边 AB 上任一点 P ，恒有

0 0 4
PB × PC ≥ P0 B × P0C ．则


A. ÐABC = 900
【答案】D
B. ÐBAC = 900
C. AB = AC
D. AC = BC

【解析】由题意，设| AB |= 4 ，则| P0 B |= 1，过点C 作 AB 的垂线，垂足为 H ， 在 AB 上任取一点 P ，设 HP0 = a ，则由数量积的几何意义可得，

PB × PC =| PH || PB |= (| PB | -(a +1)) | PB | ， P0 B × P0C = - | P0 H || P0 B |= -a ， 于是 PB × PC ≥ P0 B × P0C 恒成立，相当于(| PB | -(a +1)) | PB |≥ -a 恒成立， 整理得| PB |2 -(a +1) | PB | +a ≥ 0 恒成立，只需D = (a +1)2 - 4a = (a -1)2 ≤ 0
即可，于是 a = 1，因此我们得到 HB = 2 ，即 H 是 AB 的中点，故△ ABC 是等腰三角形，所以 AC = BC ．
11．(2013 湖南)已知a, b 是单位向量， a × b = 0 ．若向量c 满足 c - a - b = 1，则 c 的最大值为


2
2
A. -1 B．
C. +1
D. + 2


2
2
【答案】C
【解析】建立平面直角坐标系，令向量a, b 的坐标a = (1, 0), b = (0,1) ，又设c = ( x, y) ，代入 c - a - b = 1

( x -1)2 + ( y -1)2
得 = 1，又 c 的最大值为圆( x -1)2 + ( y -1)2 = 1上的动点到原点的距离的最大值，即


2
圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即 +1．
uuur uuuur

uuur 1 uuur

12．(2013 重庆)在平面上， AB1 ^ AB2 ， OB1
值范围是
= OB2
= 1 ， AP = AB1 + AB2 ．若 OP < 2 ，则 OA 的取



æ 5 ù
A. 0,
B． æ 5 , 7 ù
C． æ 5 , 2 ù D． æ , 2 ù

7
ç 2 ú
ç 2 2 ú
ç 2 ú ç 2 ú

è û
【答案】D
è û è û è û


【解析】因为 AB1 ⊥ AB2 ，所以可以 A 为原点，分别以 AB1 ， AB2 所在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐
标系．设 B1(a，0)，B2(0，b)，O(x，y)，则 AP ＝ AB1 ＋ AB2 ＝(a，b)，即 P(a，b)．由| OB1 |＝| OB2 |＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1，所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0，由| OP |＜ 1 ，得(x－a)2＋(y－b)2
2
2


x2 + y2
＜ 1 ，即 0≤1－x2＋1－y2＜ 1 ，所以 7 ＜x2＋y2≤2，即 7 <
£ ，所以| OA |的取值范围是

4 4 4 2

7
æ ù
ç 2 , 2 ú ，故选 D．
è û
13．(2018 天津)如图，在平面四边形 ABCD 中， AB ^ BC ， AD ^ CD ， ÐBAD = 120° ，

AB = AD = 1． 若点 E 为边CD 上的动点，则 AE × BE 的最小值为

21 3
A． B．
16 2
C． 25 D． 3
16



【答案】A

【解析】以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形 ABCD 中，


3
AB = AD = 1 ， ÐBAD = 120° ， 所以 A(0, 0) ， B(1, 0) ， D(-
1 , ) ， 设 C(1, m) ， E(x, y) ， 所以


uuur
DC = (
2 2

3
, m -
3
uuur
) ， AD = (-
1
,
3
) ， 因 为 AD ^ CD ， 所 以 (
3
, m -
3
) × (-
1
,
3
2

2

2

2

2

2

2

2

) = 0 ， 即


3
3
3 ´ (- 1 ) + 3 (m - 3 ) = 0 ，解得 m = ，即 C(1, 3) ，因为 E 在 CD 上，所以 3 ≤ y ≤ ，由
2 2 2 2 2
3
- 3

k = k
， 得 3 - y =
2 ， 即 x =
3y - 2 ， 因 为
AE = (x, y)
， BE = (x -1, y) ， 所 以

CE CD
1- x
1+ 1
2

AE × BE = (x, y) × (x -1, y)
= x2 - x + y2 =
( 3x - 2)2 -
3y + 2 + y2
= 4 y2 - 5 3y + 6 ， 令



f ( y) = 4 y2 - 5 3y + 6 ， y Î[
3 , 3]，因为函数 f ( y) = 4 y2 - 5 3y + 6 在[
2
3 , 5 3 ]
2 8

上单调递减，



5 3
在[ , 3] 上单调递增，所以 f ( y)
= 4 ´ (5 3 )2 - 5 3 ´ 5 3 + 6 = 21 ．所以 AE × BE 的最小值为 21 ，


8 min
8 8 16 16


故选 A．




14．(2018 浙江)已知 a ， b ， e 是平面向量， e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为

b2 - 4e × b + 3 = 0 ，则| a - b | 的最小值是( )
p，向量 b 满足
3



3
A. -1
B. +1
C．2 D． 2 -


3
3
【答案】A

【解析】解法一 设 O 为坐标原点， a = OA ， b = OB = (x, y) ， e = (1, 0) ， 由 b2 - 4e × b + 3 = 0 得

x2 + y2 - 4x + 3 = 0 ，即(x - 2)2 + y2 = 1，所以点 B 的轨迹是以C(2, 0) 为圆心，l 为半径的圆．因为a 与
p

e 的 夹 角 为
， 所 以 不 妨 令 点 A 在 射 线 y =
3
3x (
x > 0
) 上 ， 如 图 ， 数 形 结 合 可 知

3
| a - b |min =| CA | - | CB |= -1．故选 A．








解法二 由b2 - 4e × b + 3 = 0 得b2 - 4e × b + 3e2 = (b - e) × (b - 3e) = 0 ．设b = OB ，e = OE ，3e = OF ， 所以b - e = EB ， b - 3e = FB ，所以 EB × FB = 0 ，取 EF 的中点为C ．则 B 在以C 为圆心， EF 为直径


的 圆 上 ， 如 图 ， 设

a = OA

， 作 射 线 OA ， 使 得
ÐAOE = p
3

， 所 以

3
| a - b |=| (a - 2e) + (2e - b) |≥ | (a - 2e) | - | (2e - b) |
=|CA | - | BC |≥
-1．故选 A．



15．(2017 浙江)如图，已知平面四边形 ABCD ， AB ^ BC ， AB = BC = AD = 2 ， CD = 3 ， AC 与 BD
uuur uuur uuur uuur
交于点O ，记 I1 = OA×OB ， I2＝OB·OC ， I3＝OC·OD ，则



A. I1 < I2 < I3
B. I1 < I3 < I2
C. I3 <
I1 < I2
D. I2 < I1 < I3


【答案】C

【解析】如图所示，四边形 ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得 AO < AF ，而ÐAFB = 90o ，

∴ ÐAOB 与
ÐCOD

为 钝 角 ，
ÐAOD
与 ÐBOC

为 锐 角 ． 根 据 题 意


I1 - I2 = OA×OB - OB ×OC = OB × (OA - OC) = OB ×CA = | OB || CA | cos ÐAOB < 0 ， ∴ I1 < I2 ， 同理
I2 > I3 ． 做 AG ^ BD 于 G ， 又 AB = AD ．∴ OB < BG = GD < OD ， 而 OA < AF = FC < OC ， ∴

| OA | × | OB |<| OC | × | OD |，而cosÐAOB = cosÐCOD < 0 ，

∴ OA× OB > OC × OD ，即 I1 > I3 ，∴ I3 < I1 < I2 ，选 C．










uuur
uuur uuur

16．(2016 四川)在平面内，定点 A，B，C，D 满足 DA = DB = DC ， DA × DB =
uuur
DB × DC = DC × DA = - 2，动点 P，M 满足 AP =1， PM = MC ，则 BM 2 的最大值是


A. 43
4
B. 49 C． D．
37 + 6 3
37 + 2 33
4 4 4



【答案】B

【解析】由

uuur uuur uuur
DA = DB = DC

= 2 知， D 为DABC 的外心．由 DA × DB = DB × DC



= DC × DA
知 D 为DABC 的内心，所以DABC 为正三角形，易知其边长为2
，取 AC 的中点 E ，因为

M 是 PC 的中点，所以 EM = 1 AP = 1 ，所以
2 2
uuuur
| BM |max

=| BE | + = ，则
1 7
2 2
uuur
3
max
| BM |2
49
=
．故选 B．
4

17 ． (2015 福建) 已知 AB ^ AC ，
uuur
1
AB = ，
t
uuur
AC = t ， 若点 P 是 DABC 所在平面内一点， 且

uuur
AP =
AB
uuur
4AC
×
+
uuur ，则 PB PC

的最大值等于( )

AB AC

A．13 B．15 C．19 D．21

【答案】A

【解析】以题意，以点 A 为坐标原点，以 AB 所在的直线为 x 轴， AC 所在的直线为 y 轴建立如图所示的



平 面 直 角 坐 标 系 ， 所 以 点

P(1, 4)
1
， B( , 0)
t

， C(0, t)

， 所 以

uuur uuur
PB × PC =

( -1, -4)(-1, t - 4) =

1 = 1
( -1) ´ (-1) - 4 ´ (t - 4) 17 - - 4t

≤17 - 2

= 13( 当且仅当

1
t t t
1´ 4t
t
1 1
= 4t ，即t = 时取等号)，所以 PB × PC 的最大值为 13．故选 A．
t 2



18．(2015 湖南)已知点 A, B, C 在圆 x2 + y2 = 1上运动，且 AB ^ BC ．若点 P 的坐标为(2, 0) ，则
uur uuur uuur
PA + PB + PC 的最大值为( )

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】B

【解析】由题意得，AC 为圆的直径，故可设 A(m, n) ，C(-m,-n) ，B(x, y) ，∴ PA + PB + PC = (x - 6, y ) ，
uur uuur uuur
而(x - 6)2 + y2 = 37 -12x £ 49 ，∴ PA + PB + PC 的最大值为7 ，故选 B．

19．(2014 安徽)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量a, b ，| a |=| b |= 1， a × b = 0 ，点Q 满足

OQ = 2(a + b) ．曲线C = {P | OP = a cosq+ b sinq, 0 ≤q≤ 2p} ，区域

W = {P | 0 < r ≤| PQ |≤ R, r < R}．若C I W 为两段分离的曲线，则( )


A．1 < r < R < 3
【答案】A
B．1 < r < 3 £ R
C． r £ 1 < R < 3
D.1 < r < 3 < R


【解析】设 a = (1, 0), b = (0,1) ，则OP = (cosq, sinq) ，OQ = ( 2, 2) ，所以曲线 C 是单位元，区域W

为圆环(如图)，∵| OQ |= 2 ，∴1 < r < R < 3 ．

20．(2012 广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义aob= a×b ．若平面向量a, b 满足| a |…| b |> 0 ，
b×b

p n
a 与b 的夹角qÎ (0, ) ，且a o b 和b o a 都在集合{ | n Î Z} 中，则a o b =( )

A． 1
2
【答案】C
4
B．1 C． 3
2
2
D． 5
2


【解析】首先观察集合{n | n Î Z} = ì×××, -1, - 1 1 3 ×××ü ，从而分析 a o b 和 b o a 的范围如下：因

í , 0, ,1, , 2, ý
2 2 2 2



为qÎ
î þ

2
p b × a | b | | b |
(0, ) ，∴ < cosq< 1，而 b o a = = cosq，且| a |…| b |> 0 ，可得 0 < cosq< 1 ，


4 2 a × a
| a |
| a |



又∵ b o a Î{n | n Î Z} 中，∴ | b | cosq= 1 ，从而 | b | = 1

×
a b | a | 2
，∴ a o b = = cosq= 2 cos q，


2 | a | 2
| a | 2 cosq
b × b
| b |

所以1 < a o b < 2 ．且a o b 也在集合{n | n Î Z} 中，故有a o b = 3 ．
2 2
21．(2011 山东)设 A1 ， A2 ， A3 ， A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，

若 A A = lA A
(l∈ R )， A A = mA A ( μ ∈ R )，且 + = 2 ，则


1 1
1 3 1 2
1 4 1 2 l m


称 A3 ， A4 调和分割 A1 ， A2 ，已知点C(c, 0) ， D(d , 0) ，( c, d ∈ R )调和分割点 A(0, 0) ， B(1, 0) ，则下面说法正确的是
A. C 可能是线段 AB 的中点
B. D 可能是线段 AB 的中点
C. C ， D 可能同时在线段 AB 上
D. C ， D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
【答案】D
【解析】根据已知得(c, 0) - (0, 0) = l[(1, 0) - (0, 0)]，即(c, 0) = l(1, 0) ，从而得
c = l； (d , 0) - (0, 0) = m[(1, 0) - (0, 0)] ，即(d , 0) = m(1, 0) ，得 d = m，

根据 1 + 1 = 2 ，得 1 + 1 = 2 ．线段 AB 的方程是 y = 0 ， x Î[0,1]．

l m c d
1 1 1 1

若C 是线段 AB 的中点，则c = ，代入
2
+ = 2 ，得
c d d
= 0 ．

此等式不可能成立，故选项 A 的说法不成立；同理选项 B 的说法也不成立； 若C, D 同时在线段 AB 上，则0 < c ≤1， 0 < d ≤1，

此时 1 ≥1 ， 1
c d
≥1 ，
+ ≥ 2 ，若等号成立，则只能c = d = 1，
1 1
c d

根据定义， C, D 是两个不同的点，故矛盾，故选项C 的说法也不正确，
1 1

若C, D 同时在线段 AB 的延长线上，若c > 1， d > 1，则
+ < 2 ，
c d

1 1
与 + = 2 矛盾，若 c < 0, d < 0 ，则
c d
1 1
+
是负值，与
c d
+ = 2 矛盾，
1 1
c d

若c > 1， d < 0 ，则 1
c
< 1 ， 1
d
< 0 ，此时
+ < 1，与
1 1
c d
+ = 2 矛盾，
1 1
c d

故选项 D 的说法是正确的．

2
22．(2020 浙江 17)设 e1 ， e2 为单位向量，满足| 2e1 - e2 |£
q，则cos2 q的最小值为 ▲ ．
28


， a = e1 + e2 ， b = 3e1 + e2 ，设a ， b 的夹角为

【答案】
29

ur ur 3

【思路导引】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得e1 × e2 ³
关系式，根据函数单调性求最值．
，再根据向量夹角公式求cos2 q函数
4

r r r r 2 r r 3

2
【解析】 2e1 - e2
r
£ Û (2e1 - e2 )
( r r 2
e1 + e2 ´ 3e1 + e2
)
( r r 2
)
r r r r
£ 2 ，解得： e1 × e2 ³ 4 ，

cosq=
a × b =
(e1 + e2 )(3e1 + e2 ) =
4 + 4e1 × e2 ，

r r
a b
2 + 2r r ´
e1e2 10 6e1e2
+ r r
r r

设e1 × e2 = x ，

16( x +1)2

16( x +1)2

4( x +1)2
4( x +1)2 4

则cos2 q= = = = = ，

(2 + 2x)(10 + 6x)
12x2 + 32x + 20 3x2 + 8x + 5 3( x +1)2 + 2( x +1)
3 + 2
x +1


ø
当 x ³ 3 时， cos2 qÎ é 28 , 4 ö ，∴ cos2 q的最小值是 28 ，故答案为： 28 ．

4 êë 29 3 ÷
29
uuur
29
2
1 uuur uuur

uuur

23．(2020 北京 13)已知正方形 ABCD 的边长为2 ，点 P 满足 AP =

PB × PD = ．
( AB + AC ) ，则 PD = ；



5
【答案】
， -1


【解析】分别以 ABAD 为 x 轴， y 轴建立直角坐标系，则 A(0, 0) ， B(2, 0) ， C(2, -2)， D(0, 2) ．

uuur 1
∵ AP =
2
uuur uuur
( AB + AC)
= 1 [(2, 0) + (2, 2)] = (2,1) ，∴ P(2,1) ，∴ PD = (-2,1) ，
5
2

(-2)2 +12
uuur
∴| PD |=
= ，又∵ PB = (0, -1) ，∴ PBgPD = -2´ 0 +1´(-1) = -1．


1 2 1 2
24．(2020 上海 12)已知 a , a , b , b ,¼, b
(k Î N* ) 是平面内两两互不相等的向量，满足| a - a

|= 1 且



k
1 2
| ai - bj |Î{1, 2}(其中i = 1, 2,
j = 1, 2,L, k )，则 k 的最大值为 ．


【答案】6
r r
【解析】根据条件不妨设 a1 = (0, 0) ， a2 = (0,1) ， bj = ( x, y ) ，
r r r r 2 2

Q ai - bj Î{1, 2} ，当 a1 - bj = 1Þ x + y
= 1 ，表示圆心为原点，半径为 1 的圆；

r r 2 2

a1 - bj = 2 Þ x + y
= 4 ，表示圆心为原点，半径为 2 的圆，如图这两个圆用红色线表示；

r
当 a2
r
- bj
= 1 Þ x 2 + ( y -1)2 = 1 ，表示圆心为(1, 0) ，半径为 1 的圆；

r r
a2 - bj
= 2 Þ x 2 + ( y -1)2 = 4 ，表示圆心为(1, 0) ，半径为 2 的圆，如图这两个圆用蓝色线表示，



由条件可知点( x, y) 既要在红色曲线上，又要在蓝色曲线上，由图象可知，共有 6 个交点，即 k 是最大值是


6．故答案为：6．

25 ． (2020 天 津 15) 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ，

ÐB = 60° ,

AB = 3 ，

BC = 6 ， 且

uuur uuur uuur × uuur = - 3 ，则实数l的值为 ，若 M , N 是线段 BC 上的动点，且| MN |= 1 ，

AD = lBC,
AD AB
2

则 DM × DN 的最小值为 ．

1 13
【答案】
6 2

【思路导引】可得ÐBAD = 120o ，利用平面向量数量积的定义求得l的值，然后以点 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，设点 M ( x, 0) ，则点 N ( x + 1, 0) (其中0 £ x £ 5 )，得出 DM × DN 关
于 x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 DM × DN 的最小值．

【解析】Q AD = lBC ，\ AD//BC ，\ÐBAD = 180o - ÐB = 120o ，


uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB × AD = lBC × AB = lBC × AB

cos120o
= l´ 6 ´ 3´ç - ø ，


æ
1 ö
3
，解得l=
1
è
2 ÷ = -9l= -
2

6

以点 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 xBy ，

æ 5 3 3 ö
则 D ç 2 , 2 ÷ ，设 M ( x, 0) ，则 N ( x + 1, 0) (其中0 £ x £ 5 )，
è ø

uuuur æ
5 3 3 ö
uuur æ
3 3 3 ö

DM = ç x - 2 , - 2 ÷ ， DN = ç x - 2 , - 2 ÷ ，
è ø è ø

æ
uuuur uuur
DM × DN = x -
5 öæ x - 3


ö æ 3 3 ö2
+ ç ÷
= x 2 - 4x + 21 = (x - 2 )2 + 13 ，



ç 2 ÷ç
2 ÷ ç 2 ÷ 2 2

è øè ø è ø
13

1 13

所以，当 x = 2 时， DM × DN 取得最小值
，故答案为： ； ．
2 6 2

26．(2017 浙江)已知向量a ， b 满足| a |= 1，| b |= 2 ，则| a + b | + | a - b | 的最小值是 ， 最大值是 ．
5
【答案】4， 2

【解析】设向量 a, b 的夹角为q，由余弦定理有：
r r
a - b = 12 + 22 - 2 ´1´ 2 ´ cosq = 5 - 4 cosq，
12 + 22 - 2 ´1´ 2 ´ cos(p-q)
r r
a + b = = 5 + 4 cosq，

r r r r
则 a + b + a - b =

5 + 4 cos x
令 y =
5 + 4 cosq+

5 - 4 cos x
+
5 - 4 cosq ，

，则 y2 = 10 + 2 25 -16 cos2 qÎ[16, 20]，

( )
r r r r r r r r

20
据此可得： ( a + b + a - b )
5
r r r r
= = 2 5, a + b + a - b =
max min
16 = 4 ，

即 a + b + a - b 的最小值是 4，最大值是 2 ．
5
27．(2015 浙江)已知e , e 是空间单位向量， e × e = 1 ，若空间向量b 满足b × e = 2 ， b × e = ，且对于

1 2 1 2 2 1 2 2


任意 x, y Î R ，

b = ．
b - (xe1 + ye2 ) ≥ b - (x0e1 + y0e2 ) = 1 (x0 , y0 Î R) ， 则 x0 = ，
y0 = ，



2
【答案】1 2 2

5
【解析】 由题意可令b = x e + y e + e ，其中e ^ e , i = 1, 2 ，由b × e

= 2 得 x + y0 = 2 ，由b × e = ，


0 1 0 2 3 3 i

(e + 2e + e )2
1 2 3
得 x0 + y = 5 ，解得 x = 1， y = 2 ，∴| b |=

1 0 2 2 2
2
= 2 ．

2 0 2 0 0
28．(2014 山东)在VABC 中，已知 AB × AC = tan A，当 A = p时， VABC 的面积为 ．
6

1
【答案】
6


uur uuur uur uuur


uur uuur


uur uuur 2

【解析】∵ AB × AC =
AB × AC cos A ，∴由 AB × AC cos A = tan A ，得
AB × AC
= ，故VABC 的
3

1
面积为
uuur uuur p 1
| AB || AC | sin = ．

2 6 6
29．(2014 安徽)已知两个不相等的非零向量a ， b ，两组向量 x1,

由 2 个a 和 3 个b 排列而成．记 S = x1 × y1 + x2 × y2 + x3 × y3

x2 ,

x3 ,

x4 ,

x5 和 y1,

y2 ,

y3 ,

y4 ,

y5 均


+x4 × y4 + x5 × y5 ，Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号)．
① S 有 5 个不同的值．
②若a ^ b 则 Smin 与| a | 无关．

③若a ∥b 则 Smin 与| b | 无关．

④若| b |> 4 | a | ，则 Smin > 0 ．

⑤若| b |= 2 | a | ， S = 8 | a |2 ，则a 与 b 的夹角为p．



【答案】②④
min 4

【解析】S 有下列三种情况：

r 2
S1 = a
r 2 r2
+ a + b
r2 r2
+ b + b ，

r 2
S2 = a
r r r r r2
+ a × b + a × b + b
r2
+ b ，

r r r r r r r r r2
S3 = a × b + a × b + a × b + a × b + b

∵ S - S
= S - S
r 2 r2
= a + b
r r r r r r
- 2a × b = (a - b)2 =| a - b |2 ³ 0 ，

1 2 2 3

∴ Smin = S3 ，
r2
若 a ^ b ，则 Smin = S3 = b



，与| a | 无关，②正确；

r r r2
若a P b ，则 Smin = S3 = 4a × b + b

，与| b | 有关，③错误；


min 3
若| b |> 4 | a | ，则 S = S = 4 | a | × | b | cosq+ | b |2 ³ -4 | a | × | b | + | b |2 > - | b |2 + | b |2 = 0 ，④正确；
2 r r r2 r 2 r 2 r 2
若| b |= 2 | a |, Smin = 8 | a | ， 则 Smin = S3 = 4a × b + b = 8 | a | cosq+ 4 | a | = 8 | a |
1 p
∴ cosq= ， ∴q= ，⑤错误．
2 3

30．(2013 山东)已知向量 AB 与 AC 的夹角120o ，且| AB |=3，| AC |=2，若

AP = lAB + AC ，且 AP ^ BC ，则实数l的值为 ．
7
【答案】
12

【解析】向量 与 的夹角为 ，且 所以
．由 得， ，即
，所以 ，即

，解得 ．
31．(2013浙江)设e ， e 为单位向量，非零向量b = xe + ye ， x, y Î R ，若e ， e 的夹角为p，则| x |


1 2 1 2
1 2 6
| b |


的最大值等于 ．

【答案】2
| x | | x | | x | 1
【解析】 = = =

| b | (xe
+ ye )2
x2 + y2 +
3xy x2 + y2 +
3xy

1 2
x2

1 1
= = ，所以
| x |



的最大值为 2．

( y )2
+ 3y +1 ( y -
3 )2 + 1
| b |

x x x 2 4
uuur uuur

32．(2013 天津)在平行四边形 ABCD 中，AD = 1， ÐBAD = 60° ，E 为 CD 的中点．若 AC·BE = 1， 则 AB 的

长为 ．
1

【答案】
2

uuur uuur uuur uuur

1 uuur uuur

1 uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur

【解析】因为 E 为 CD 的中点，所以 BE = BC + CE = AD -
DC = AD -
2 2
AB ，AC = AD + AB ，因为 AC·BE = 1 ，

uuur uuur uuur
所以 AC·BE = ( AD -
1 uuur uuur uuur uuur2
AB) × ( AD + AB) = AD
1 uuur2
- AB
1 uuur uuur
+ AB × AD = 1 ， 即1 -
1 uuur2
AB
1 uuur
+ AB cos 60o
= 1 ， 所以

AB = 0 ，解得 AB =
．
2 2 2 2 2

AB
+
- 1 uuur2
1 uuur
uuur 1



2 4 2
33．(2011 浙江)若平面向量a， b满足|a|=1，| b|≤1，且以向量a， b为邻边的
平行四边形的面积为 1 ，则a与b的夹角q的取值范围是 ．
2
p 5p
【答案】[ , ]
6 6
【解析】如图，向量a与b在单位圆O 内，因|a|=1，| b|≤1，且以向量a，b为邻边的平行四边形的面
积为 1 ，故以向量a，b为边的三角形的面积为 1 ，故b的终点在如图的线段 AB 上(a∥ AB ，且圆心O
2 4
到 AB 的距离为 1 )，因此夹角q的取值范围为 p 5p ．

[ , ]
2 6 6
34．(2019 江苏 12)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点O ．若

AB × AC = 6AO × EC ，则 AB 的值是 ．
AC




3
【答案】

【 解 析 】 设

uuur uuur l uuur uuur
= +


， ∴ AO = AE + EO =


AE + mEC


AO = lAD
( AB AC)
2

ìl= 1- m



ìl= 1



l
= AE + m( AC - AE) = (1- m) AE + mAC = 1- mAB + mAC ， 所以 ïï 2 3
ï
， 解得
2 ， 所以



uuur


1 uuur 1 uuur uuur
3

uuur uuur uuur 1 uuur uuur
í
ï
ï = m
î 2
í
ï
ïm= 1
î 4

AO =
AD =
2 4
( AB + AC) ， EC = AC - AE = -
3
AB + AC ，

uuur uuur
1 uuur uuur
1 uuur uuur
3 1 uuur2
2 uuur uuur uuur2

6 AO × EC = 6 ´
( AB + AC) ´ (- AB + AC) = (- AB +
AB × AC + AC ) =

4 3 2 3 3

1 uuur2
- AB
uuur uuur
+ AB × AC +
3 uuur2
AC
uuur uuur
，因为 AB × AC = -
1 uuur2
AB
uuur uuur
+ AB × AC +
3 uuur2
AC

，所以
1 uuur2
AB
3 uuur2
= AC ， 所

2 2
uuur2
2 2 2 2

AB
以 uuur2
AC
= 3 ，所以 AB = ．
3
AC



35 ． (2019 浙 江 17) 已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 1 ， 当 每 个 li (i = 1, 2,3, 4,5, 6)
取 遍 ±1 时 ，


|l1 AB +l2 BC +l3 CD +l4 DA +l5 AC +l6 BD | 的最小值是 ，最大值是 ．

5
【答案】 2

【解析】正方形ABCD的边长为1，可得 AB + AD = AC ， BD = AD - AB ， AB × AD = 0 ，

|l1 AB +l2 BC +l3 CD +l4 DA +l5 AC +l6 BD |

=|l1 AB + l2 AD - l3 AB - l4 AD + l5 AB + l5 AD + l6 AD - l6 AB |

(l -l +l -l)2 + (l -l +l +l)2
1 3 5 6
2 4 5 6
=| (l1 - l3 + l5 - l6 ) AB + (l2 - l4 + l5 + l6 ) AD | = ，

由于li (i = 1, 2,3, 4,5, 6) ?i(i = 1,2，3，4，5，6)取遍±1，可得l1 -l3 + l5 -l6 = 0 ，l2 -l4 +l5 +l6 = 0 ，

可取l5 = l6 = 1,l1 = l3 = 1,l2 = -1,l4 = 1，可得所求最小值为 0；
由l1 -l3 + l5 -l6 = 4 ，l2 -l4 +l5 +l6 = 4 ，可取l2 = 1,l4 = -1,l5 = l6 = 1,l1 = 1,l3 = -1, 可得所求最

5
大值为2 ．


36．(2019 天津理 14)在四边形 ABCD 中，AD ∥ BC,
AB = 2 3,
AD = 5,
ÐA = 30° ，点 E 在线段CB


的延长线上，且 AE = BE ，则 BD × AE = ．
【答案】-1
【解析】因为 AB = BE ， AD//BC ， ÐA = 30o ，所以在等腰三角形 ABE 中， ÐBEA = 120o ，
3
uuur 2 uuur uuur uuur 2 uuur
又 AB = 2 ，所以 AE = 2 ，所以 = - ，因为 AE = AB + BE ，所以 = - ，又


BD = BA + AD = - AB + AD ，
BE AD
5
AE AB AD
5



uuur uuur uuur uuur æ uuur 2 uuur ö
uuur2
7 uuur uuur 2 uuur2

è
5
所以 BD × AE = (- AB + AD)×ç AB -
AD ÷ = - AB
3
ø
+ AB × AD - AD =
5 5



uuur2
7 uuur uuur
2 uuur2 7 2

- AB
+ AB × AD cos A - AD
5 5
= -12 + ´ 5´ 2 3 ´ - ´ 25 = -1．
5 2 5

37．(2018 上海)在平面直角坐标系中，已知点 A(-1，0) ，B(2, 0) ，E ，F 是 y 轴上的两个动点，且| EF |= 2 ，则 AE × BF 的最小值为 ．
【答案】 -3


【 解 析 】 设
E(0, t) ，
F (0, t ± 2)
， 所 以
AE × BF = (1, t) × (-2, t ± 2)
= -2 + t(t ± 2)


= -2 + t(t ± 2) = t2 ± 2t - 2 = (t ±1)2 - 3 ，当t = ±1时， AE × BF 取得最小值-3 ．

38．(2017 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中， A(-12, 0) ， B(0, 6) ，点 P 在圆 O ： x2 + y2 = 50 上，若

PA× PB ≤ 20 ，则点 P 的横坐标的取值范围是 ．

【答案】[-5 2,1]

【解析】设 P(x, y) ，由 PA× PB ≤ 20 ，得 2x - y + 5 ≤ 0 ，如图由2x - y + 5 ≤ 0 可知， P 在 M¼N 上，由
í x2 + y2 = 50
ì2x - y + 5 = 0 ，解得 M (1, 7) ， N (-5, -5) ，所以 P 点横坐标的取值范围为[-5 2,1]．
î



39．(2016 年浙江)已知向量 a, b ， | a |= 1，| b |= 2 ，若对任意单位向量e ，均有


6
| ae | + | be |„
1
，则a × b 的最大值是 ．

【答案】
2
6
【解析】由题意令 e = (1, 0) ， a = (cosa, sina) ， b = (2 cosb, 2 sin b) ， 则由| ae | + | be |„ 可得

6
| cosa| +2 | cosb|„ ① ， 令 sina+ 2 sin b= m ② ， ①2 + ②2 得

4[| cosacosb| +sinasinb] „1+ m2 对一切实数a,b恒成立，所以4[| cosacosb| + sinasin b] „ 1 ．故


a × b = 2(cosacos b+ sinasin b)
≤ 2[| cosacos b| + sinasin b]„ ，故最大值为 1 ．
1
2 2

40．(2015 天津)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB ∥ DC ， AB = 2 ， BC = 1， ÐABC = 60o ．

动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE = lBC
uuur
=
1 uuur
，则 AE × AF 的最小值为 ．




29
【答案】
18
，DF DC
9l

DF DC ，DC AB
uuur
【解析】因为 =
1 uuur


uuur = 1 uuur ，∴ CF = uuur - uuur =

1 uuur uuur 1- 9luuur 1- 9luuur
DF DC DC DC
DC AB
- = = ，


9l
∴ AE = AB + BE = AB + lBC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AF = AB + BC + CF = AB + BC +
2


1 - 9luuur
AB =
18l
9l

1 + 9luuur uuur
AB + BC ，
18l
9l 18l

uuur uuur uuur uuur æ 1+ 9luuur uuur ö

è
AE × AF = ( AB + lBC )×ç

18l
AB + BC ÷
ø



è ø
= 1+ 9luuur2
uuur2 æ 1+ 9lö uuur uuur

18l AB
+ lBC + ç1+ l 18l ÷ AB × BC

= 1 + 9l


19 + 9l


18l
´ 4 + l+ ´ 2 ´1´ cos120°
18l



= 2 + 1 l+ 17 ³ 2

2 × 1 l+ 17 = 29


9l 2 18 9l 2 18 18


当且仅当
2 = 1 l 即l= 时的最小值为 29 ．


2
9l 2 3 18


kp kp kp12

41．(2015 江苏)设向量ak = (cos
, sin
6
+ cos
6
) (k = 0,1, 2,×××,12) ，则å(ak × ak +1 ) 的值为 ．
6
k =0

3
【答案】9
uur uuur
kp kp kp
(k + 1)p
(k + 1)p
(k + 1)p

【 解 析 】
ak × ak +1 = (cos
,sin
6 6
+ cos
) × (cos
6
,sin +
6 6
cos )
6

= cos p + sin 2kp+p + cos kpcos (k + 1)p = 3 3 + sin 2kp+p + 1 cos (2k + 1)p
， 因 此

6 6 6 6 4 6 2 6
å11 uur × uuur = 3 3 ´12 = 9 ．
3


ak
k =0
ak +1 4

42．(2014 湖南)在平面直角坐标系中， O 为原点， A(-1, 0), B(0, 3), C(3, 0), 动点 D 满足| CD |= 1 ，则

| OA + OB + OD | 的最大值是 ．

7
【答案】1+

【解析】设 D(x, y) ，由| CD |= 1 ，得(x - 3)2 + y2 = 1，向量
(x -1)2 + ( y + 3)2
uuur uuur uuur
OA + OB + OD = (x -1, y + 3) ，故| OA + OB + OC |=


的最大值为圆(x - 3)2 + y2 = 1上的动点到点(1, -
3) 距离的最大值，



其最大值为圆(x - 3)2 + y2 = 1的圆心(3, 0) 到点(1, -
3) 的距离加上圆的半径，


(3 -1)2 + (0 + 3)2
7
即 +1 = 1+ ．

43．(2012 江苏)如图，在矩形 ABCD 中， AB = 2 ，BC = 2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若


2
AB g AF =
，则 AE g BF 的值是 ．



2
【答案】

2
2
【解析】以 A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为 x ，y 轴建立直角坐标系，则 B( 2, 0) ，E( 2,1) ，


D(0, 2)
， C( 2, 2) ． 设
F (x, 2)
(0 ≤ x ≤
) ， 由
AB × AF = Þ x = 1 ， ∴
F (1, 2) ，



AE g BF =(
2,1) × (1 -
，2)= ．


2
2
44．(2012 山东)如图，在平面直角坐标系 xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ，此时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1) 时， OP 的坐标为 ．

【答案】(2 - sin 2,1- cos 2)

【解析】如图过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 E，过 C 作 y 轴的垂线，垂足为 A，根据题意可知圆滚动了 2 个单
位的弧长，∴ ÐPCD = 2 ，可知ÐPCB = 2 - p，此时点 P 的坐标为
2

)
x = 2 - cos(2 - p
P 2
= 2 - sin 2, yP
= 1+ sin(2 - p
)
2
= 1- cos 2,
∴即OP = (2 - sin 2,1 - cos 2) ．



45．(2017 江苏)已知向量a = (cos x, sin x) ， b = (3, - 3) ， x Î[0,p]．

(1) 若a ∥b ，求 x 的值；

(2) 记 f (x) = a × b ，求 f (x) 的最大值和最小值以及对应的 x 的值．

【解析】(1)因为a = (cos x, sin x) ， b = (3, - 3) ， a ∥b ，

所以- 3 cos x = 3sin x ．

若cos x = 0 ，则sin x = 0 ，与sin2 x + cos2 x = 1矛盾，故cos x ¹ 0 ．

3
于是tan x = - ．
3
5p

又 x Î[0,p]，所以 x = ．
6
(2) f (x) = a × b = (cos x, sin x) × (3, -


3) = 3cos x -

3 sin x = 2 3 cos(x + π) ．
6

因为 x Î[0,p]，所以 x + π Î[ π , 7π] ，
6 6 6
从而-1 £ cos(x + π) £ 3 ．
6 2
于是，当 x + π = π ，即 x = 0 时， f (x) 取到最大值 3；
6 6
3
当 x + π = p ，即 x = 5π 时， f (x) 取到最小值-2 ．
6 6


46．(2015 广东)在平面直角坐标系 xoy 中，已知向量 m = ( 2 , -
) ， n = (sin x, cos x) ，

2
2 2
p
x Î(0, ) ．
2
(1) 若 m ^ n ，求tan x 的值；
p

(2) 若 m 与n 的夹角为
，求 x 的值．
3



【解析】(1)∵ m ^ n ，∴ m × n = 0 ，故
sin x -
2
2
2 2
cos x = 0 ，∴ tan x=1．


2 sin x - 2 cos x

1
p
(2)∵ m 与n 的夹角为 ，∴ cos < m, n >=

m × n
= 2 2 = ，


3 | m || n |
1´1 2


p
) =
1
，又 x Î(0,
p
) ，∴ x -
p
Î(-
p,p
) ， x -
p = p
，即 x =
5p
4

2

2

4

4 4

4 6

12

故sin(x - ．
故 x 的值为 5p．
12

47．(2014 山东)已知向量a = (m, cos 2x), b = (sin 2x, n) ，函数 f ( x) = a × b ，且

æ p ö æ 2p ö
y = f ( x) 的图像过点ç 12 , 3 ÷ 和点ç 3 , -2 ÷ ．
è ø è ø
(Ⅰ)求 m, n 的值；
(Ⅱ)将 y = f ( x) 的图像向左平移j(0 【解析】(Ⅰ)已知 f (x) =a×b=msin2x+ncos2x，
3
p 2p p p p

Q f (x) 过点(
, 3),( ,-2) ，∴ f ( ) = m sin + n cos =

12 3
f ( 2p 4p 4p


12 6 6

) = m sin
3
+ n cos
3 3
= -2

3
ì 1 m + n =
∴
ï 2 2
í

ìm =
3
3
解得í

ï
ï- 3 - 1 = -2
î 2 2
în = 1

p

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x) =
3 sin 2x + cos 2x = 2 sin(2x + )
6
p

由题意知 g(x) =
f (x +j) = 2 sin(2x + 2j+ )
6

设 y = g ( x) 的图象上符合题意的最高点为(x0 , 2)
由题意知 x2 +1 = 1．所以 x = 0 ，即到点(0, 3) 的距离为 1 的最高点为(0, 2) ．
0 0

将其代入 y = g ( x) 得sin æ 2j+ pö = 1 ，
ç 6 ÷
è ø
p
又∵ 0 < j< p，所以j= ，
6
æ pö

2
因此 g ( x) = 2 sin ç 2x + ÷ = 2 cos 2x
è ø

由-p+ 2kp £ 2 x £ 2kp, k Î Z ， 得-
p

p+ kp£ x £ kp, k Î z
2

∴ f ( x ) 的单调增区间为[- + kp, kp], k Î Z ．
2

48．(2014 辽宁)在DABC 中，内角 A, B, C 的对边a, b, c ，且 a > c ，已知 BA× BC = 2 ，

1
cos B = ， b = 3 ，求：
3
(Ⅰ) a 和c 的值；
(Ⅱ) cos(B - C) 的值．
1 uur uuur ac

【解析】(Ⅰ)∵ cos B =

a2 + c2 -b2
, b = 3, BA × BC = ca cos B = = 2 ，
3 3

且cos B = ，∴ ac = 6, a + c = 5 ，∵ a > c ，∴解得 a = 3, c = 2 ．
2ac
所以 a = 3, c = 2 ．

(Ⅱ)∵ cos B = 1 ，∴ sin B = 2 2 ，∵ a = 3, b = 3, c = 2 ，
3 3

4 2
a2 + b2 -c2 7
cos C = = ， sin C = ，
2ab 9 9
23 23
∴ cos(B-C) = cos B cos C + sin B sin C = ，故cos(B-C) = ．
27 27
49．(2013 江苏)已知a = (cosa, sina) ， b = (cos b, sin b) ， 0 < b< a< p．
2
(1) 若| a - b |= ，求证： a ^ b ；
(2) 设c = (0,1) ，若a + b = c ，求a， b的值．
【解析】(1) a - b ＝ (cosa- cos b, sina- sin b) ，

| a - b |2 ＝ (cosa- cosb)2 + (sina-sin b)2
＝ 2 - 2(cosa×cos b+ sina×sin b) = 2 ．
所以， cosa×cos b+ sina×sin b= 0 ，所以， a ^ b ．


ìcosa+ cosb= 0
(2) í
îsina+ sin b= 1
� ，①2＋②2 得： cos(a- b) = - 1 ．
� 2

所以，a- b＝ 2p，a＝ 2p＋ b，
3 3
带入②得： sin ( 2p＋ b)＋ sin b＝ 3 cos b＋ 1 sin b＝ sin ( p＋ b)＝1，
3 2 2 3

所以， p ＋ b＝ p．所以，a＝ 5p， b＝ p．
3 2 6 6
50．(2013 辽宁)设向量a = ( 3 sin x, sin x), b = (cos x, sinx), x Î é0,pù .



(I) 若| a |=| b | ，求 x 的值；
(II) 设函数 f (x) = a × b ，求 f (x) 的最大值．
ëê 2 úû



【解析】(I)由 a
2 = ( 3 sin x)2 + (sin x)2 = 4 sin 2 x ，


b 2 = (cos x)2 + (sin x)2 = 1，及 a = b ,得4sin2 x = 1

p
又 x Î[0, ],从而sin x =
1 p
，所以 x = ．

2 2 6
(II) f (x) = a × b = 3 sin x × cos x + sin2 x


3
s
in
2x -
1
1 p 1
．

2 2 2
p p

p
6

）取最大值
2

1


. 所以 f (x)的最大值为

3


3

2



6





2

= cos 2x + = sin(2x - ) +

当 x = Î[0. ]时，sin（2x- .