2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题25 直线与圆（含解析）

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专题 25 直线与圆

十年大数据*全景展示

年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
文 20
直线与圆
圆的方程的求法，直线与圆的位置关系
2013
卷 2
文 20
直线与圆
圆方程的求法，直线与圆的位置关系
2014
卷 2
文 20
直线与圆
圆方程的求法，圆的几何性质，直线与圆的位置关系


2015
卷 1[来源:
学*科*网]
理 14[来源:学科网]
[来源:Z&xx&k.Com][来源:Zxxk.Com]
圆与椭圆
椭圆的标准方程及其几何性质，过三点圆的方程的求法
文 20
直线与圆
直线与圆的位置关系
卷 2
理 7
直线与圆
三角形外接圆的求法，圆的弦长的计算公式
文 7
点与圆
三角形外接圆的求法，两点间距离公式

2016
卷 1
文 15
直线与圆
直线与圆的位置关系
卷 2
理 4 文 6
直线与圆
圆的方程、点到直线的距离公式
卷 3
文 15
直线与圆
直线与圆的位置关系
2017
卷 3
理 20
直线、圆、抛物线
直线与抛物线的位置关系；圆的方程的求法
文 20
直线与圆
直线与圆的位置关系，圆的几何性质，圆的定值问题的解法
2018
卷 1
文 15
直线与圆
直线与圆的位置关系，圆的弦长计算
卷 3
理 6 文 8
直线与圆
直线与圆位置关系，点到直线的距离公式，三角形的面积公式
2019
卷 3
理 21
直线与圆，直线与
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准





抛物线
方程及其几何性质，抛物线的定点问题
文 21
直线与圆，直线与
抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准
方程及其几何性质，抛物线的定点问题



2020
卷 1
理 11
直线与圆
直线与圆位置关系，圆与圆的位置关系，圆的几何性质
文 6
直线与圆
直线与圆的位置关系，圆的弦的最值问题
卷 2
理 5 文 8
直线与圆
直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，点到直线距离公式
卷 3
理 10
直线与圆
直线与圆相切，直线与曲线相切，导数的几何意义
文 8
直线与圆
点到动直线距离公式的最值问题


大数据分析*预测高考

考点
出现频率
2021 年预测
考点 86 直线方程与圆的方程
37 次考 8 次
命题角度：
( 1)圆的方程；(2)与圆有关的轨迹问题；(3) 与圆有关的最值问题．
考点 87 两直线的位置关系
37 次考 1 次
考点 88 直线与圆、圆与圆的位置关系
37 次考 35 次
十年试题分类*探求规律
考点 86 直线方程与圆的方程


1 ．(2020 全国Ⅲ文 6)在平面内， A , B 是两个定点， C 是动点．若 AC BC 1 ，则点 C 的轨迹为( )
A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．直线
【答案】A
【思路导引】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可．
【解析】设 AB 2a a 0 ，以 AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，


则： A a, 0 , B a, 0 ，设C x, y ，可得： x a, y , x a, y ，
从而： x a x a y2 ，结合题意可得： x a x a y2 1，

整理可得： x2 y2 a2 1 ，即点 C 的轨迹是 以 AB 中点为圆心， 为半径的圆．故选：A．
2 ．(2020 全国Ⅲ文 8)点(0 ， ﹣ 1)到直线 y k x 1 距离的最大值为( )

A ． 1 B ． C ． D ． 2

【答案】B
【解析】由 y k(x 1) 可知直线过定点 P( 1, 0) ，设 A(0, 1) ，当直线y k(x 1) 与 AP 垂直时，点 A到
直线 y k(x 1) 距离最大，即为 | AP | ．
3 ．(2015 北京文)圆心为 ( 1 ，1)且过原点的圆的方程是
A ． (x 1)2 (y 1)2 1 B ． (x 1)2 (y 1)2 1

C ． (x 1)2 (y 1)2 2 D ． (x 1)2 (y 1)2 2
【答案】D 【解析】 由题意可得圆的半径为 r ，则圆的标准方程为 x 1 2 y 1 2 2 ．
4 ．【2018 ·天津文】在平面直角坐标系中，经过三点(0 ，0) ，( 1 ，1) ，(2 ，0)的圆的方程为__________． 【答案】 x2 y2 2x 0

【解析】设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 ，圆经过三点(0 ，0) ，( 1 ，1) ，(2 ，0)，
F 0 D 2
则 1 1 D E F 0 ，解得 E 0 ，则圆的方程为 x2 y2 2x 0 ．
4 0 2D F 0 F 0
5 ．【2017 ·天津文】设抛物线y2 4x 的焦点为 F ，准线为 l ．已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的 正半轴相切于点 A ．若 FAC 120 ，则圆的方程为___________．
【答案】 (x 1)2 (y )2 1
【 解析 】 由题可 设 圆 心坐标为 C( 1, m) ， 则 A(0, m) ， 焦 点 F (1, 0) ， A C ( 1, 0), AF (1, m) ，
cos CAF ，解得m ，由于圆 C 与y 轴得正半轴相切，则m ，
所求圆的圆心为 ( 1, ) ，半径为 1 ，所求圆的方程为 (x 1)2 (y )2 1．
6．【2016 ·浙江文数】已知 a R ，方程 a2 x2 (a 2)y2 4x 8y 5a 0 表示圆，则圆心坐标是_____，

半径是______．
【答案】 ( 2, 4) ；5．
【 解 析 】 由 题 意 a2 a 2 ， a 1或2 ， a 1 时 方 程 为 x2 y2 4x 8y 5 0 ， 即

(x 2)2 (y 4)2 25 ， 圆 心为 ( 2, 4) ， 半径为 5 ， a 2 时方程为 4x2 4y2 4x 8y 10 0 ， (x )2 (y 1)2 不表示圆．
7．【2016 ·天津文数】已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点M(0, ) 在圆 C 上，且圆心到直线 2x y 0 的距离为 ，则圆 C 的方程为__________．
【答案】 (x 2)2 y2 9.

【解析】设 C(a, 0)(a 0) ，则 a 2, r 3 ，故圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 9.
8 ．(2011 辽宁文)已知圆 C 经过 A(5 ，1) ，B( 1 ，3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 ．
【答案】 (x 2)2 y2 10 【解析】 以题意设圆 C 的方程为 (x a)2 y2 r 2 ，把所给的两点坐标代入方
程得 解得 所以圆 C ： (x 2)2 y2 10 ．
考点 87 两直线的位置关系
9 ．【2016 ·上海文科】 已知平行直线 l1 : 2x y 1 0, l2 : 2x y 1 0 ，则 l1 , l2 的距离_______________． 【答案】

【解析】利用两平行线间距离公式得 d
10 ．(2011 浙江文)若直线x 2y 5 0 与直线 2x my 6 0 互相垂直，则实数 m = ．
【答案】1【解析】当 m 0 时，两直线不垂直，故 m 0 ．因为直线 x 2y 5 0 与直线 2x my 6 0
的斜率分别为 和 ，由 ( ) 1 ，故 m 1．
考点 88 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

11 ．(2020 ·新课标Ⅰ文)已知圆x2 y2 6x 0 ，过点(1 ，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )

A ． 1 B ． 2
C ． 3 D ． 4
【答案】B
【解析】圆x2 y2 6x 0 化为 (x 3)2 y2 9 ，所以圆心 C 坐标为C(3, 0) ，半径为 3 ，
设P(1, 2) ，当过点P 的直线和直线 CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为 2 2 2 ．
12 ．(2020·新课标Ⅱ文理 5)若过点 2 , 1 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x y 3 0 的距离为( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】B
【思路导引】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 a, a , a 0 ，可得圆的半径为 a ，写出圆的标 准方程，利用点 2, 1 在圆上，求得实数 a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x y 3 0
的距离．
【解析】由于圆上的点 2, 1 在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题 意， ∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为 a, a ，则圆的半径为 a ，圆的标准方程为
x a 2 y a 2 a2 ．由题意可得 2 a 2 1 a 2 a2 ，可得 a2 6a 5 0 ，解得 a 1 或 a 5 ，

∴圆心的坐标为 1, 1 或 5, 5 ，圆心到直线2x y 3 0 的距离均为 d ，
∴圆心到直线2x y 3 0 的距离为 ．故选 B．
13 ．(2020 全国 Ⅰ理 11】 已知⊙ M : x2 y2 2x 2y 2 0 ，直线l : 2x y 2 0 ， P 为 l 上的动点， 过点 P 作⊙ M 的切线PA , PB ，切点为 A , B ，当 PM AB 最小时，直线 AB 的方程为 ( )
A ． 2x y 1 0 B ． 2x y 1 0 C ． 2x y 1 0 D ． 2x y 1 0
【答案】D
【思路导引】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 A, P, B, M 共圆，且 AB MP ，根据 PM AB 2S△PAM 2 PA 可知，当直线MP l 时， PM AB 最小，求出以MP 为直径的圆的方程， 根据圆系的知识即可求出直线 AB 的方程．

【解析】圆的方程可化为 x 1 2 y 1 2 4 ，点M 到直线l 的距离为d 2 ，∴直
线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点 A, P, B, M 四点共圆，且 AB MP ，
∴ PM AB 2S△PAM 2 PA AM 2 PA ，而 PA MP2 4 ，
当直线MP l 时， MP min ， PA min 1 ，此时PM AB 最小．
∴ MP : y 1 x 1 即y x ，由 x0 解得，
∴以MP 为直径的圆的方程为 x 1x 1 y y 1 0 ，即 x2 y2 y 1 0 ，两圆的方程相减可得：
2x y 1 0 ，即为直线 AB 的方程，故选 D．
14 ．(2020· 北京卷)已知半径为 1 的圆经过点(3, 4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7
【答案】A
【解析】设圆心C x, y ，则 x 3 2 y 4 2 1 ，化简得 x 3 2 y 4 2 1，
所以圆心 C 的轨迹是以M(3, 4) 为圆心，1 为半径的圆，

所以| OC | 1 | OM | 5 ，所以| OC | 5 1 4 ，当且仅当 C 在线段 OM 上时取得等号，故
选 A ．
15 ．(2019 北京文 8)如图，A ，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点， APB 是锐角，大小为


(A)4 β+4cosβ (B)4 β+4sin β (C)2 β+2cosβ (D)2 β+2sin β
【答案】B
【解析】由题意和题图可知，当 P 为优弧 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为 O ，
AOB 2 ， BOP AOP 2 2 ．
此时阴影部分面积 S S扇形AOB S△AOP S△BOP 2 22 2 2 sin 4 4sin ．故
选 B ．
16．【2018 ·全国Ⅲ文】直线x y 2 0 分别与x 轴，y 轴交于 A ，B 两点，点P 在圆 (x 2)2 y2 2 上， 则 △ABP面积的取值范围是
A ． 2 ，6 B ． 4 ，8

C ． ，3 D ． 2 ，3
【答案】A
【解析】 直线 x y 2 0 分别与x 轴，y 轴交于 A ，B 两点， A 2, 0 , B 0, 2 ，则 AB 2 ．
点 P 在圆 (x 2)2 y2 2 上， 圆心为(2 ，0) ，则圆心到直线的距离 d1 2 ．
故点 P 到直线x y 2 0 的距离 d2 的范围为 , 3 ，则 S△ABP AB d2 d2 2, 6 ．
故答案为 A．
17 ． 【2018 高考全国 2 理 2】 已知集合 A x , y x 2 y 2 3 , x Z , y Z ，则 A 中元素的个数为 ( )
A ． 9 B ． 8 C ． 5 D ． 4
【答案】A
【解析】试题分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数．

试题解析： x2 y2 3 , x2 3 ，又 x Z , x 1 , 0 , 1 ．当 x 1时， y 1 , 0 , 1 ； 当x 0 时， y 1 , 0 , 1 ；当 x 1时， y 1 , 0 , 1 ；所以共有 9 个，选 A．
【考点】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别．
18 ．【2018 高考全国 3 理 6】直线 x y 2 0 分别与 x 轴y 交于 A , B 两点，点 P 在圆 x 2 2 y2 2 上， 则 △ABP 面积的取值范围是 ( )
A ． 2，6 B ． 4 ，8 C ． ，3 D ． 2 ，3
【答案】A
【解析】 直线 x y 2 0 分别与 x 轴， y 轴交于A , B 两点， A 2 , 0 , B 0 , 2 ，则 AB 2 ．
点 P 在圆 x 2 2 y2 2 上， 圆心为 2 , 0 ，则圆心到直线距离 d1 2 ，故点 P 到直线 x y 2 0 的距离d2 的范围为 , 3 ，则S△ABP AB d2 d2 2 , 6 ，故选 A．
19 ． 【2018 高考北京理 7】在平面直角坐标系中，记 d 为点P cos , sin 到直线 x my 2 0 的距离．当
, m 变化时， d 的最大值为 ( )

A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
【答案】C
【解析】试题分析：P 为单位圆上一点，而直线x my 2 0 过点 A 2 , 0 ，则根据几何意义得 d 的最大
值为 OA 1 ．
试题解析： cos2 sin2 1 , P 为单位圆上一点，而直线 x my 2 0 过点 A 2 , 0 ，所以 d 的最大 值为 OA 1 2 1 3 ，选 C．
【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，
求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
20．(2017新课标Ⅲ理)在矩形 ABCD 中，AB 1，AD 2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若 AP AB AD ，则 的最大值为

A ．3 B ． 2 C ． D ．2
【答案】A 【解析】如图建立直角坐标系，

1 5
4
因为圆M 截直线 x y 0 所得线段的长度是 2 ，所以 =
，解得 a 2 ，圆 N 的
1


则 A(0, 1) ， B(0, 0) ， D(2, 1) ， P(x, y) ，由等面积法可得圆的半径为 ，
所以圆的方程为 (x 2)2 y2 ，
所以 AP (x, y 1) ， AB (0, 1) ， AD (2, 0) ，
由 AP AB AD ，得 所以 = y 1 ，
设 z y 1 ，即 y 1 z 0 ，
x x
2 2
点P(x, y) 在圆上，所以圆心到直线 y 1 z 0 的距离小于半径，
所以 | 2 z | ≤ 2 ，解得1≤ z ≤3 ，所以 z 的最大值为 3，


即 的最大值为 3 ，选 A．
21 ．【2016 · 山东文数】已知圆 M ： x2 + y2 - 2ay = 0(a > 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的长度是 2 ，则圆

M 与圆 N：（x-1）2 + (y - 1)2 = 1 的位置关系是( )
(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离
【答案】B
【解析】由x2 y2 2ay 0 ( a 0 )得x2 y a 2 a2 ( a 0 )，所以圆M 的圆心为 0, a ，半径为 r1 a ，

a2 ( 2 2 )2
2

圆 心 为 1, 1 ， 半径 为 r2 1 ， 所 以 MN 0 1 2 2 1 2 ， r1 r2 3 ， r1 r2 1 ， 因 为

A．
B．
．
．
C
D
r1 r2 MN r1 r2 ，所以圆M 与圆 N 相交，故选 B．

22 ．【2016 ·北京文数】圆 (x 1)2 y2 2 的圆心到直线 y x 3 的距离为( )

A ．1 B ．2 C ． D ．2
【答案】C
【解析】圆心坐标为 ( 1, 0) ，由点到直线的距离公式可知 d ，故选 C．
23 ．【2016 ·新课标 2 文数】圆 x2+y2−2x−8y+ 13=0 的圆心到直线 ax+y− 1=0 的距离为 1 ，则 a=( )
(A)− (B)− (C) (D)2
【答案】A
【 解 析 】 由 x2 y2 2x 8y 13 0 配 方 得 (x 1)2 (y 4)2 4 ， 所 以 圆 心 为 (1, 4) ， 因 为 圆
x2 y2 2x 8y 13 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1 ，所以 1 ，解得 a ，故
选 A ．
24 ．(2015 安徽文)直线 3x 4y b 与圆 x2 y2 2x 2y 1 0 相切，则b 的值是
A ．－2 或 12 B ．2 或－12 C ．－2 或－12 D ．2 或 12
【答案】D
【解析】圆的标准方程为 (x 1)2 (y 1)2 1 ，圆心 (1, 1) 到直线 3x 4y b 的距离 1 ，所以b 2
或b 12 ．
25 ．(2015 新课标 2 文)已知三点 A(1,0) ， B(0, ) ， C(2, ) ，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为




5
3


3


2
3


4
3


【答案】B 【解析】 由题意可得， AB = BC = AC = 2 ， ∴ ΔABC 为等边三角形，故 ΔABC 的外接圆圆心
时 ΔABC 的中心，又等边 ΔABC 的高为 ，故中心为 (1, ) ，故 ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为

1+ ()2 = ．

26 ．(2015 山东理)一条光线从点 ( 2, 3) 射出，经 y 轴反射后与圆 (x 3)2 (y 2)2 1 相切，则反射光线
所在直线的斜率为
A ． 或 B ． 或 C ． 或 D ． 或
【答案】D 【解析】 ( 2, 3) 关于 y 轴对称点的坐标为 (2, 3) ，设反射光线所在直线为
y 3 k(x 2) ，即kxy 2k3 0 ，则 d 1 ，
| 5k 5 | ，解得 k 或 ．
27 ．(2015 广东理)平行于直线 2x y 1 0 且与圆x2 y2 5 相切的直线的方程是

A ． 2x y 5 0 或 2x y 5 0 B ． 2x y 0 或 2x y 0

C ． 2x y 5 0 或 2x y 5 0 D ． 2x y 0 或 2x y 0
【答案】A 【解析】 设所求直线的方程为 2x y c 0 (c 1) ，则 ，所以c ，故
所求直线的方程为 2x y 5 0 或 2x y 5 0 ．
28 ．(2015 新课标 2 理)过三点 A(1, 3) ， B(4, 2) ， C(1, 7) 的圆交于 y 轴于M 、 N 两点，则 MN =

A ．2 B ．8 C ．4 D ．10

【答案】C 【解析】设过 A, B, C 三点的圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 ，
D 3E F 10 0
则 4D 2E F 20 0 ，解得D 2, E 4, F 20 ，
D 7E F 50 0
所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 20 0 ，令 x = 0 ，得 y2 4y 20 0 ，
设M(0, y1 ) ， N(0, y2 ) ，则 y1 y2 4 ， y1 y2 20 ，
所以| MN | | y1 y2 | (y1 y2 )2 4y1y2 4 ．
29 ．(2015 重庆理)已知直线 l： x ay 1 0(a R) 是圆 C ： x2 y2 4x 2y 1 0 的对称轴，过点 A( 4, a) 作圆 C 的一条切线，切点为 B ，则 AB ＝

A ．2 B ． 4 C ．6 D ． 2
【答案】C 【解析】圆C 标准方程为 (x 2)2 (y 1)2 4 ，圆心为C(2, 1) ，半径为 r 2 ， 因此2 a 1 1 0 ， a 1 ，即 A( 4, 1) ，
AB AC2 r2 (4 2)2 ( 1 1)2 4 6 ．选 C．
30 ．(2014 新课标 2 文理)设点M(x0 , 1) ，若在圆 O : x2 y 2 =1 上存在点 N ，使得 OMN 45° ，则 x0 的取
值范围是
A ． 1, 1 B ． ， C ． , D ． ，
【答案】A 【解析】当点M 的坐标为 (1, 1) 时，圆上存在点 N(1, 0) ，使得 OMN 45 ，所以 x0 1符合 题意，排除 B、D ；当点M 的坐标为 ( , 1) 时，OM ，过点M 作圆 O 的一条切线MN ，连接 ON ，
则在 RtOMN 中， sin OMN ，则 OMN 45 ，故此时在圆 O 上不存在点 N ，使得

OMN 45° ，即 x0 不符合题意，排除 C ，故选 A．
31 ．(2014 福建文)已知直线l 过圆 x2 y 3 2 4 的圆心，且与直线 x y 1 0 垂直，则 l 的方程是
A ． x y 2 0 B ． x y 2 0 C ． x y 3 0 D ． x y 3 0
【答案】D 【解析】直线l 过点 (0, 3) ，斜率为1 ，所以直线l 的方程为 x y 3 0 ．
32 ．(2014 北京文)已知圆 C : x 3 2 y 4 2 1和两点 A m, 0 ，B m, 0 m 0 ，若圆 C 上存在点 P ，使得 APB 90 ，则 m 的最大值为
A ． 7 B ． 6 C ． 5 D ． 4
【答案】B【解析】因为圆 C 的圆心为 (3, 4) ，半径为 1 ， | OC | 5 ，所以以原点为圆心、以 m 为半径与圆
C 有公共点的最大圆的半径为 6 ，所以 m 的最大值为 6 ，故选 B．
33 ．(2014 湖南文)若圆 C1 : x2 y2 1 与圆 C2 : x2 y2 6x 8y m 0 外切，则 m

A ． 21 B ． 19 C ． 9 D ． 11
【答案】C 【解析】 由题意得 C1 (0, 0), C2 (3, 4) ， r1 1, r2 25 m ， | C1C2 | r1 r2 1 25 m 5 ，

所以 m 9 ．
34 ．(2014 安徽文)过点 P（ , 1）的直线l 与圆 x2 y 2 1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是


A ．（0，]

B ．（0，]

C ． [0，]

D ． [0，]

【答案】D 【解析】设直线l 的倾斜角为，由题意可知min 0,max 2 ．
35 ．(2014 浙江文)已知圆 x2 y2 2x 2y a 0 截直线x y 2 0 所得弦的长度为 4 ，则实数 a 的值是

A ． － 2 B ． － 4 C ． － 6 D ． － 8
【答案】B 【解析】圆的标准方程为 (x 1)2 (y 1)2 2 a ，则圆心 C( 1, 1) ，半径 r 满足 r2 2 a ，

，
则圆心 C 到直线 x y 2 0 的距离 d 2 所以 r2 4 2 2 a ，故 a 4 ．

36．(2014 四川文)设 m R ，过定点 A 的动直线x my 0 和过定点B 的动直线 mx y m 3 0 交于点 P(x, y) ，则 | PA | | PB | 的取值范围是
A ． [ 5 , 2 5 ] B ． [ 10 , 2 5 ] C ． [ 10 , 4 5 ] D ． [2 5 , 4 5 ]
【答案】B【解析】易知直线 x my 0 过定点 A(0, 0) ，直线 mx y m 3 0 过定点B(1, 3) ，且两条直 线相互垂直，故点 P 在以 AB 为直径的圆上运动，故
| PA | | PB | | AB | cos PAB | AB | sin PAB sin(PAB ) [ , 2 ] ．故选 B．
37 ．(2014 江西文)在平面直角坐标系中， A, B 分别是x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线


2x y 4 0 相切，则圆 C 面积的最小值为
A ． B ． C ． (6 2 )



D ．

【答案】A 【解析】 由题意可知以线段 AB 为直径的圆C 过原点 O ，要使圆 C 的面积最小，只需圆 C 的半 径或直径最小．又圆 C 与直线 2x y 4 0 相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点0 到直
线2x y 4 0 的距离，此时 2r ，得 r ，圆 C 的面积的最小值为 S r2 ．
38 ．(2014 福建理)已知直线l 过圆 x2 y 3 2 4 的圆心，且与直线 x y 1 0 垂直，则 l 的方程是
A ． x y 2 0 B ． x y 2 0 C ． x y 3 0 D ． x y 3 0
【答案】D 【解析】直线l 过点 (0, 3) ，斜率为1 ，所以直线l 的方程为 x y 3 0 ．

39 ．(2014 北京理)已知圆 C : x 3 2 y 4 2 1和两点 A m, 0 ，B m, 0 m 0 ，若圆 C 上存在点 P ，使得 APB 90 ，则 m 的最大值为
A ． 7 B ． 6 C ． 5 D ． 4
【答案】B【解析】因为圆 C 的圆心为 (3, 4) ，半径为 1 ， | OC | 5 ，所以以原点为圆心、以m 为半径与圆
C 有公共点的最大圆的半径为 6 ，所以 m 的最大值为 6 ，故选 B．
40 ．(2014 湖南理)若圆 C1 : x2 y2 1 与圆 C2 : x2 y2 6x 8y m 0 外切，则 m
A ． 21 B ． 19 C ． 9 D ． 11
【答案】C 【解析】 由题意得 C1 (0, 0), C2 (3, 4) ， r1 1, r2 ，
| C1C2 | r1 r2 1 5 ，所以 m 9 ．
41 ． (2014 安徽理)过点 P（ , 1）的直线l 与圆 x2 y 2 1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是
A ．（0，] B ．（0，] C ． [0，] D ． [0，]
【答案】D 【解析】设直线l 的倾斜角为，由题意可知min 0,max 2 ．
42 ．(2014 浙江理)已知圆 x2 y2 2x 2y a 0 截直线x y 2 0 所得弦的长度为 4 ，则实数 a 的值是

A ．－2 B ． －4 C ．－6 D ．－8
【答案】B 【解析】圆的标准方程为 (x 1)2 (y 1)2 2 a ，则圆心 C( 1, 1) ，半径 r 满足 r2 2 a ，

，
则圆心 C 到直线 x y 2 0 的距离 d 2

所以 r2 4 2 2 a ，故 a 4 ．
43．(2014 四川理)设 m R ，过定点 A 的动直线 x my 0 和过定点 B 的动直线 mx y m 3 0 交于点 P(x, y) ，则 | PA | | PB | 的取值范围是
A ． [ 5 , 2 5 ] B ． [ 10 , 2 5 ] C ． [ 10 , 4 5 ] D ． [2 5 , 4 5 ]
【答案】B【解析】易知直线 x my 0 过定点 A(0, 0) ，直线 mx y m 3 0 过定点B(1, 3) ，且两条直 线相互垂直，故点 P 在以 AB 为直径的圆上运动，
故| PA | | PB | | AB | cos PAB | AB | sin PAB sin(PAB )

[ , 2 ] ．故选 B．

44 ．(2014 江西理)在平面直角坐标系中， A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线


2x y 4 0 相切，则圆 C 面积的最小值为
A ． B ． C ． (6 2 )



D ．

【答案】A 【解析】 由题意可知以线段 AB 为直径的圆C 过原点 O ，要使圆 C 的面积最小，只需圆 C 的半 径或直径最小．又圆 C 与直线2x y 4 0 相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点 O 到直
线2x y 4 0 的距离，此时 2r ，得 r ，圆 C 的面积的最小值为 S r2 ．

45．(2013 山东文)过点(3 ，1)作圆 x 1 2 y2 1 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为( ) A ． 2x y 3 0 B ． 2x y 3 0 C ． 4x y 3 0 D ． 4x y 3 0
【答案】A 【解析】根据平面几何知识，直线 AB 一定与点(3 ，1) ，( 1 ，0)的连线垂直，这两点连线的斜率
为 ，故直线 AB 的斜率一定是–2 ，只有选项 A 中直线的斜率为–2．
46．(2013 重庆文)已知圆C1 : x 2 2 y 3 2 1 ，圆C2 : x 3 2 y 4 2 9 ，M , N 分别是圆 C1 , C2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 PM PN 的最小值为

A ． 5 4 B ． 1 C ． 6 2 D ．
【答案】A 【解析】 圆 C1 ，C2 的圆心分别为 C1 ，C2 ，由题意知|PM|≥|PC1 | －1 ，|PN|≥|PC2 | －3， ∴|PM|＋|PN|≥|PC1 |＋|PC2 | －4 ，故所求值为|PC1 |＋|PC2 | －4 的最小值．
又 C1 关于 x 轴对称的点为 C3(2 ，－3)，
所以|PC1 |＋|PC2 | －4 的最小值为|C3C2 | －4＝ 2 3 2 3 4 2 4 5 4 ，故选 A．

47 ．(2013 安徽文)直线
x 2y 5 5 0 被圆 x2 y2 2x 4y 0 截得的弦长为

A ．1 B ．2 C ．4 D ．
4 6

1+4-5+
d =1 ，半径 r 5 ，所以最后弦长为
5
【答案】C 【解析】圆心(1, 2) ，圆心到直线的距离

2 ( )2 12 4 ．

48 ．(2013 新课标 2 文)已知点 A 1, 0 ； B 1, 0 ； C 0, 1 ，直线 y ax b (a 0) 将△ ABC 分割为面
积相等的两部分，则b 的取值范围是
A ． (0, 1) B ． 1 , 1 C ． 1 , 1 D ． 1 , 1
2 2 2 3 3 2
【答案】B 【解析】( 1)当y ax b 过 A 1, 0 与BC 的中点D 时，符合要求，此b ，
(2)当 y ax b 位于②位置时 A1 , 0 ， D1 , ， 令 SA1BD1 得 a ， ∵ a 0 ， ∴ b
(3) 当 y ax b 位于③位置时 A2 , ， D2 , ，
令 SA2 CD2 ，即 1 b ，化简得 a2 2b2 4b 1 ， ∵ a 0 ，
∴2b2 4b 1 0 ，解得1 b 1 ．


综上： 1 b ，故选 B．

49 ．(2013 陕西文)已知点 M(a ，b)在圆 O : x2 y2 1 外， 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系是

A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定
【答案】B 【解析】点 M(a ， b)在圆 x 2 y 2 1外 a 2 b 2 1 .

.圆 O(0，0)到直线 ax by 1距离 d 1 = 圆的半径，故直线与圆相交，故选 B．

50．(2013 天津文)已知过点 P(2，2) 的直线与圆(x 1)2 y2 5 相切， 且与直线 ax y 1 0 垂直， 则 a
A ． B ．1 C ．2 D ．
【答案】C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为 y 2 k(x 2) ，即kx y 2 2k 0 ，圆心(1, 0) 到

直线的距离 ，即 ，解得k ．因为直线与直线 ax y 1 0 垂直，所以 k ， 即 a 2 ，选 C．
51 ．(2013 广东文)垂直于直线 y x 1 且与圆 x2 y2 1 相切于第一象限的直线方程是

A ． x y 0 B ． x y 1 0

C ． x y 1 0 D ． x y 0

【答案】A【解析】 ∵圆心到直线的距离等于 r 1 ，排除 B 、C；相切于第一象限排除 D ，选 A ．直接法可
设所求的直线方程为： y x k k 0 ，再利用圆心到直线的距离等于 r 1 ，求得k ．
52 ．(2013 新课标 2 文)设抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，直线 l 过 F 且与 C 交于 A ， B 两点 ．若 | AF | 3 | BF | ，则l 的方程为

A ． y x 1 或 y x 1 B ． y (x 1) 或y (x 1)

C ． y (x 1) 或y (x 1) D ． y (x 1) 或y (x 1)

【答案】C【解析】抛物线y2 4x 的焦点坐标为 (1, 0) ，准线方程为 x 1 ，设 A(x1 , y1 ) ，B(x2 , y2 ) ，则
因为|AF|=3|BF| ，所以 x1 1 3(x2 1) ，所以 x1 3x2 2 ，
因为| y1 | =3 | y2 | ， x1 =9 x2 ，所以 x1 =3 ， x2 = ，当 x1 =3 时， y12 12 ，
所以此时 y1 2 ，若 y1 2 ，则 A(3, 2 ), B( , ) ，

此时kAB ，此时直线方程为 y (x 1) ．若 y1 2 ，

C
D
则 A(3, 2 ), B( , ) ，此时kAB ，此时直线方程为 y (x 1) ．

所以l 的方程是 y (x 1) 或 y (x 1) ，选 C．
53 ．(2013 山东理)过点(3 ，1)作圆 x 1 2 y2 1 的两条切线，切点分别为 A ，B ，则直线 AB 的方程为



A ． 2x y 3 0

C ． 4x y 3 0

B ． 2x y 3 0

D ． 4x y 3 0


【答案】A 【解析】根据平面几何知识，直线 AB 一定与点(3 ，1) ，( 1 ，0)的连线垂直，这两点连线的斜率
为 ，故直线 AB 的斜率一定是 2 ，只有选项 A 中直线的斜率为 2 ．
54．(2013 重庆理)已知圆C1 : x 2 2 y 3 2 1 ，圆C2 : x 3 2 y 4 2 9 ，M , N 分别是圆 C1 , C2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 PM PN 的最小值为

A ． 5 4 B ． 1 C ． 6 2 D ．
【答案】A 【解析】圆 C1 ，C2 的圆心分别为 C1 ，C2 ，由题意知|PM|≥|PC1 | －1 ，|PN|≥|PC2 | －3， ∴|PM|＋|PN|≥|PC1 |＋|PC2 | －4 ，故所求值为|PC1 |＋|PC2 | －4 的最小值．
又 C1 关于 x 轴对称的点为 C3(2 ，－3)，
所以|PC1 |＋|PC2 | －4 的最小值为|C3C2 | －4＝ 2 3 2 3 4 2 4 5 4 ，
故选 A．
55 ．(2013 安徽理)直线
x 2y 5 5 0 被圆 x2 y2 2x 4y 0 截得的弦长为

A ．1 B ．2 C ．4 D ．
4 6

1+4-5+
d =1 ，半径 r 5 ，所以最后弦长为
5
【答案】C 【解析】圆心(1, 2) ，圆心到直线的距离

2 ( )2 12 4 ．
56 ．(2013 新
课标 2 理)已知点 A 1, 0 ； B 1, 0 ； C 0, 1 ，直线 y ax b (a 0) 将△ ABC 分割为面
积相等的两部分，则b 的取值范围是

A ． (0, 1) B ．
2 1
1 1

1
．
． ,
,
,
1 2 1
3 2

2 2

2 3

【答案】B 【解析】( 1)当y ax b 过 A 1, 0 与BC 的中点D 时，符合要求，此b ，
(2)当 y ax b 位于②位置时 A1 , 0 ， D1 , ， 令 SA1BD1 得 a ， ∵ a 0 ， ∴ b ．
(3) 当 y ax b 位于③位置时 A2 , ， D2 , ， 令 SA2 CD2 ，即 1 b ，

化简得 a2 2b2 4b 1 ， ∵ a 0 ， ∴2b2 4b 1 0 ，解得1 b 1


综上： 1 b ，故选 B．

57 ．(2013 陕西理)已知点M(a, b) 在圆 O : x2 y2 1 外， 则直线 ax by 1与圆 O 的位置关系是
A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定
【答案】B 【解析】点 M(a ， b)在圆 x2 y2 1外， ∴ a2 b2 1 ．圆 O(0, 0) 到直线 ax by 1距离

d 1 = 圆的半径，故直线与圆相交．所以选 B．
58．(2013 天津理)已知过点 P(2，2) 的直线与圆(x 1)2 y2 5 相切， 且与直线 ax y 1 0 垂直， 则 a
A ． B ．1 C ．2 D ．
【答案】C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为 y 2 k(x 2) ，即 kx y 2 2k 0 ，圆心(1, 0) 到

直线的距离 ，即 ，解得k ．因为直线与直线 ax y 1 0 垂直，所以 k ， 即 a 2 ，选 C．
59 ．(2013 广东理)垂直于直线 y x 1 且与圆 x2 y2 1 相切于第一象限的直线方程是

A ． x y 0 B ． x y 1 0

C ． x y 1 0 D ． x y 0

【答案】A【解析】 ∵圆心到直线的距离等于 r 1 ，排除 B 、C；相切于第一象限排除 D ，选 A ．直接法可
设所求的直线方程为： y x k k 0 ，再利用圆心到直线的距离等于 r 1 ，求得k ．
60 ．(2013 新课标 2 理)设抛物线 C : y2 4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于 A ， B 两点．若 | AF | 3 | BF | ，则l 的方程为

A ． y x 1 或 y x 1 B ． y (x 1) 或y (x 1)

C ． y (x 1) 或y (x 1) D ． y (x 1) 或y (x 1)

【答案】C 【解析】抛物线 y2 4x 的焦点坐标为 (1, 0) ，准线方程为 x 1 ，设 A(x1 , y1 ) ，
B(x2 , y2 ) ，则因为|AF|=3|BF| ，所以 x1 1 3(x2 1) ，所以 x1 3x2 2 ，
因为| y1 | =3 | y2 | ， x1 =9 x2 ，所以 x1 =3 ， x2 = ，当 x1 =3 时， y12 12 ，
所以此时 y1 2 ，若 y1 2 ，则 A(3, 2 ), B( , ) ，

此时kAB ，此时直线方程为 y (x 1) ．若 y1 2 ，

则 A(3, 2 ), B( , ) ，此时kAB ，此时直线方程为 y (x 1) ．

所以l 的方程是 y (x 1) 或 y (x 1) ，选 C．
61 ．(2012 浙江文)设 a R ，则“ a 1 ”是“直线l1 ：ax 2y 1 0 与直线l2 ：x (a 1)y 4 0 平行”

A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】“直线l1 ：ax 2y 1 0 与直线l2 ：x (a 1)y 4 0 平行”的充要条件是 a(a 1) 2 ，
解得， a 1或 a 2 ，所以是充分不必要条件．
62 ．(2012 天津文)设m ，n R ，若直线 (m 1)x+(n 1)y 2=0 与圆 (x 1)2 +(y 1)2 =1相切，则 m+n 的 取值范围是
A ． [ 1 , 1+ ] B ． ( , 1 ] [1+ ,+ )
C ． [2 2 ,2+2 ] D ． ( ,2 2 ] [2+2 ,+ )
【答案】D【解析】 ∵直线 (m 1)x+(n 1)y 2=0 与圆 (x 1)2 +(y 1)2 =1相切， ∴圆心 (1,1) 到直线的距
离为 d= =1 ，所以 mn m n 1 ( )2 ，
设t=m n ，则 t2 t+1 ，解得t ( ,2 2 ] [2+2 ,+ ) ．
63 ．(2012 湖北文)过点P(1, 1) 的直线，将圆形区域 (x, y) | x2 y2 „ 4 分为两部分，使得这两部分的面积
之差最大，则该直线的方程为
A ． x y 2 0 B ． y 1 0 C ． x y 0 D ． x 3y 4 0
【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，
所以需该直线与直线 OP 垂直即可．又已知点 P(1, 1) ，则 kOP 1 ，故所求直线的斜率为– 1 ．又所求直线过 点P(1, 1) ，故由点斜式得，所求直线的方程为 y 1 x 1 ，即 x y 2 0 ．故选 A．
64．(2012 天津文)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x 4y 5 0 与圆x2 y2 4 相交于 A, B 两点，则弦 AB 的长等于( )
(A) 3 (B) 2 (C) (D)

【答案】B【解析】圆 x2 y2 4 的圆心O(0, 0) 到直线3x 4y 5 0 的距离 d 1 ，弦 AB 的长

AB 2 2 ．
65 ．(2012 浙江理)设 a R ，则“ a 1 ”是“直线 l1 ：ax 2y 1 0 与直线l2 ：x (a 1)y 4 0 平行”


D ．
3
3
A ．
5
C
D
的
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】“直线l1 ：ax 2y 1 0 与直线l2 ：x (a 1)y 4 0 平行”的充要条件是 a(a 1) 2 ，
解得， a 1或 a 2 ，所以是充分不必要条件．
66 ．(2012 天津理)设 m ，n R ，若直线 (m 1)x+(n 1)y 2=0 与圆 (x 1)2 +(y 1)2 =1相切，则 m+n 的 取值范围是
[ 1 3, 1+ 3]
A ．
B．
( , 1 3 ] [1+ 3 ,+ )

[2 2 2 ,2+2 2 ]
．
．
( ,2 2 2 ] [2+2 2 ,+ )
【答案】D【解析】 ∵直线 (m 1)x+(n 1)y 2=0 与圆 (x 1)2 +(y 1)2 =1相切， ∴圆心 (1,1) 到直线的距
mn m n 1 ( m n )2 ，
离为
2
d = |(m 1)+(n 1) 2| =1 ，所以
(m 1)2 +(n 1)2
t ( ,2 2 2 ] [2+2 2 ,+ ) ．
设t=m n ，则
t 2 t+1 ， 解得
67 ．(2012 湖北理)过点 P(1, 1) 的直线，将圆形区域 (x, y) | x2 y2 „ 4 分为两部分，使得这两部分的面积
之差最大，则该直线的方程为
A ． x y 2 0 B ． y 1 0 C ． x y 0 D ． x 3y 4 0
【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，
所以需该直线与直线 OP 垂直即可．又已知点 P(1, 1) ，则 kOP 1 ，故所求直线的斜率为 1．又所求直线过
点P(1, 1) ，故由点斜式得，所求直线的方程为
y 1 x 1 ，即 x y 2 0 ．故选 A．

68．(2012 天津理)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x 4y 5 0 与圆 x2 y2 4 相交于 A, B 两点，则弦

AB 的长等于

3 B ． 2 C ．

【答案】B 【解析】圆 x2 y2 4 的圆心O(0, 0) 到直线3x 4y 5 0 的距离
5
d 1

弦 AB 的长AB 2 2 ．
69 ．(2011 北京文)已知点 A(0 ，2) ，B(2 ，0) ．若点 C 在函数 y x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为 2 的点 C 的个数为
A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1
【答案】A【解析】设点 C(t, t2 ) ，直线 AB 的方程是 x y 2 0 ，| AB | 2 ，由于 ABC 的面积为 2，
则这个三角形中 AB 边上的高 h 满足方程 2 h 2 ，即 h ，
由点到直线的距离公式得 ，即| t t2 2 | 2 ，解得有 4 个实根，

故这样的点C 有 4 个．
70 ．(2011 江西文)若曲线 C1 ： x2 y2 2x 0 与曲线 C2 ： y(y mx m) 0 有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是
A ．( ， 文) B ．( ，0) (0 ， )

C ．[ ， ] D ．( ， ) ( ，+ )

【答案】B【解析】 C1 : (x 1)2 y2 1 ， C2 表示两条直线即x 轴和直线l ： y m(x 1) ，显然 x 轴与 C1 有两个交点， 由题意l 与 C2 相交，所以C1 的圆心到l 的距离
d r 1 ，解得 m ( , ) ，又当 m 0 时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，
不符合题意．故选 B．
71 ．(2011 北京理)已知点 A(0 ，2) ，B(2 ，0) ．若点 C 在函数 y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为 2 的点 C 的个数为
A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1
【答案】A【解析】设点 C(t, t2 ) ，直线 AB 的方程是 x y 2 0 ，| AB | 2 ，由于 ABC 的面积为 2， 则这个三角形中 AB 边上的高 h 满足方程 2 h 2 ，即 h ，

由点到直线的距离公式得 ，即| t t2 2 | 2 ，解得有 4 个实根，

故这样的点C 有 4 个．
72 ．(2011 江西理)若曲线 C1 ： x2 y2 2x 0 与曲线 C2 ： y(y mx m) 0 有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是
A ．( ， ) B ．( ，0) (0 ， )

C ．[ ， ] D ．( ， ) ( ，+ )

【答案】B 【解析】 C1 : (x 1)2 y2 1 ， C2 表示两条直线即x 轴和直线l ： y m(x 1) ， 显然 x 轴与 C1 有两个交点， 由题意l 与 C2 相交，所以 C1 的圆心到l 的距离
d r 1 ，解得 m ( , ) ，又当 m 0 时，
直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选 B．
73 ． 【2020 年高考天津卷 12】 已 知直线 x y 8 0 和圆 x2 y2 r2 (r 0) 相交于 A, B 两点．若 | AB | 6 ，则 r 的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心 0, 0 到直线 x y 8 0 的距离d 4 ，由 l 2 可得

6 2 ，解得 r = 5 ．
74 ．【2020 年高考浙江卷 15】设直线l : y kx b(k 0) ，圆 C1 : x2 y 2 1 ，C2 : (x 4)2 y 2 1 ，若直线l 与 C1 ， C2 都相切，则k ； b ．
【答案】 ；

【解析】 由题意可知直线l 是圆 C1 和圆 C 2 的公切线， ∵ k 0 ，为如图所示的切线，
由对称性可知直线l 必过点 2, 0 ，即 2k b 0 ①


b 4k b
并且 1 ， ②
1 k2 1 k2
由①②解得： k ， b ，故答案为： ； ．


75．【2020 年高考江苏卷 14】在平面直角坐标系xOy 中，已知P( , 0) ，A、B 是圆 C ：x2 (y )2 36
上的两个动点，满足PA PB ，则 PAB 面积的最大值是________．
【答案】 10
【解析】如图，作 PC 所在直径 EF ，交 AB 于点D ，则：
∵ PA PB ， CA CB R 6 ， ∴ PC AB ， EF 为垂径．
要使面积 SPAB 最大，则 P、D 位于 C 两侧，并设 CD x ，

计算可知 PC 1 ，故 PD 1 x ， AB 2BD 2 ，
故 SPAB AB PD (1 x) ，令 x 6cos ，
SPAB (1 x) (1 6cos) 6sin 6sin 18sin 2 ， 0 q ，
记函数 f() 6sin 18sin 2，
则 f () 6cos 36cos 2 6(12 cos 2 cos 6) ，
令 f () 6(12 cos2 cos 6) 0 ，解得cos ( cos 0 舍去)
显然，当 0 cos 时， f () 0 ， f() 单调递减；
当 cos 1 时， f () 0 ， f() 单调递增；

结 合 cos 在 (0, ) 递 减 ， 故 cos 时 f() 最 大 ， 此 时 sin ， 故

f()max 6 36
2 10 ，即 PAB 面积的最大值是 10 ．
3
3 3
(注：实际上可设 BCD ，利用直角 BCD 可更快速计算得出该面积表达式)

76 ． 【2019 ·浙江卷】 已知圆 C 的圆心坐标是(0, m) ，半径长是 r ．若直线2x y 3 0 与圆 C 相切于点 A( 2, 1) ，则 m =___________ ， r =___________．
【答案】 2 ，
【解析】由题意可知 kAC AC : y 1 (x 2) ，把(0, m) 代入直线 AC 的方程得m 2 ，此时
r | AC | ．
77 ．【2018 · 全国 I 文】直线 y x 1 与圆 x2 y2 2y 3 0 交于 A，B 两点，则 AB ________．

【答案】 2
【解析】根据题意，圆的方程可化为 x2 y 1 2 4 ，所以圆的圆心为 0, 1 ，且半径是 2，
根据点到直线的距离公式可以求得d ，[来源:学科网 ZXXK]
结合圆中的特殊三角形，可知AB 2 2 ，故答案为 2 ．
78 ．【2018 ·江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l : y 2x 上在第一象限内的点， B(5, 0) ， 以 AB

为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若 AB CD 0 ，则点 A 的横坐标为________．
【答案】3
【解析】设 A a, 2a(a 0) ，则由圆心 C 为 AB 中点得C , a ,
易得C : x 5 x a y y 2a 0 ，与 y 2x 联立解得点D 的横坐标 xD 1, 所以D 1, 2 ．

2
5 a 1 a 5 2a 2 a 0, a2 2a 3 0, a 3 或 a 1 ，因为 a 0 ，所以 a 3.
x1 y1 1



OA

OB

3 3

cos sin 1


x2 y2 1

x1 y1 1
2 2 2
．

2
2
2
所以 AB 5 a, 2a , CD 1 a 5 , 2 a ，由 AB CD 0得



2
79 ．【 2018 高 考 上 海 12 】 已 知 实 数 x1 ,x2 ,y1 ,y2 满 足 ： x1(2) y1(2) 1 , x2(2) y2(2) 1 , x1x2 y1y2 ， 则 1∣ 1∣的最大值为 ．
【答案】
3 2

【解析】试题分析： 由已知可得点 A x1 , y1 , B x2 , y2 在单位圆 x2 y2 1上．又由
x1x2 y1y2 ，
容易想到向量的数量积，从而得 AOB 的大小．而
2
容易想到点 A x1 , y1 到直线 x y 1 0 的

距离，因此问题转化为圆上两点 A x1 , y1 , B x2 , y2 到直线 x y 1 0 距离和的最大值问题，再三角换
元，进而应用三角函数来求最大值．
试题解析： 由已知可得两点 A x1 , y1 , B x2 , y2 在单位圆 x2 y2 1上．


x1x2 y1y2 , cosAOB OA OB , AOB ．

设 A cos , sin , B cos , sin 则


cos sin 1




x1 y1 1


x2 y2 1


取最大值，
已知点 A x1 , y1 , B x2 , y2 在直线 x y 1 0 的下方时，

1 cos sin 1
x1 y1 1



x
2 y2




cos sin 1 cos sin 1







1
2 3 3
1 1 3 1 3















cos sin 1 cos sin sin cos 1








2 2 2 2 2
1 3 cos sin 2

2

3 3
cos sin 1
2 2 2 2














3 3 3


2 2 2 2 2
2

6
sin 2

3 cos


4

4






3 sin 12 2


x1 y1

即 时，
1
1


x2 y2

3 ．
当且仅当
取最大值
2

x1 y1

1 x2 y2 1 2
综上，
的最大值为 3 2 ．


80 ．(2017 江苏理)在平面直角坐标系xOy 中， A( 12, 0) ， B(0, 6) ，点 P 在圆 O ： x2 y2 50 上，若


PA PB ≤ 20 ，则点 P 的横坐标的取值范围是 ．
【答案】 ≤ ，得 2x y 5 ≤ 0 ，
[ 5 2 , 1] 【解析】设 P(x, y) ，由PA PB 20

如图由 2x y 5 ≤ 0 可知， P 在 上， 由 解得M(1, 7) ， N( 5, 5) ，
所以 P 点横坐标的取值范围为[ 5 , 1] ．

81．【2016 ·四川文科】在平面直角坐标系中， 当P(x，y)不是原点时，定义P 的“伴 随点”为P' ( , ) ；

当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：
若点 A 的“伴随 点”是点A' ，则点A ' 的“伴随点”是点 A．
单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
若两点关于 x 轴对称，则他们的“伴随点”关于 y 轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 ．
【答案】②③
【解析】对于① ，若令 P(1, 1) ，则其伴随点为 P( , ) ，而P( , ) 的伴随点为 ( 1, 1) ，而不是 P ， 故①错误；对于② ，令单位圆上点的坐标为 P(cos x, sin x) ，则其伴随点为P(sin x, cos x) ，仍在单位圆 上，故②正确；对于③ ，设曲线 f(x, y) 0 关于x 轴对称，则f(x, y) 0 与曲线 f(x, y) 0 表示同一曲
线，其伴随曲线分别为 f( , ) 0 与 f( , ) 0 ，它们也表示同一曲线，又因 为伴随曲线 f( , ) 0 与 f( , ) 0 关于 y 轴对称，所以③正确；对于④ ，取
直线 y kx b 上一点 P(x ，y) ，则其伴随点 ( , ) ，消参后轨迹是圆，故④错误．所以真命题

为②③．
82 ．[2016 ·新课标Ⅲ文数]已知直线l ： x y 6 0 与圆 x2 y2 12 交于 A, B 两点，过 A, B 分别 作l 的垂线与 x 轴交于 C, D 两点，则| CD | _____________．
【答案】4
【解析】 由x y 6 0 ，得 x y 6 ，代入圆的方程，并整理，得 y2 3 y 6 0 ，解得

y1 2 , y2 ，所以 x1 0, x2 3 ，所以| AB | (x1 y2 )2 (y1 y2 )2 2 ．又直线l 的倾斜角
为30 ，由平面几何知识知在梯形 ABDC 中， | CD | 4 ．
83 ． 【2016 ·新课标 1 文数】设直线 y=x+2a 与圆 C ：x2+y2-2ay-2=0 相交于 A ，B 两点，若 ‏⃞⃞‏ = 2 3， 则圆 C 的面积为 ．

【答案】 4
【解析】圆 C : x2 y2 2ay 2 0 ，即 C : x2 (y a)2 a2 2 ， 圆心为C(0, a) ，由| AB | 2 , 圆心

C 到直线 y x 2a 的距离为 ，所以得 ()2 ()2 a2 2 ，则 a2 2, 所以圆

的面积为 π (a2 2) 4π ．
84 ．(2015 重庆文)若点P(1, 2) 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为________． 【答案】 x 2y 5 0 【解析】 由点 P(1, 2) 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：
x2 y2 5 ，所以该圆在点 P 处的切线方程为1 x 2 y 5 即x 2y 5 0 ．
85 ．(2015 湖南文)若直线 3x 4y 5 0 与圆 x2 y2 r2 r 0 相交于 A, B 两点，且 AOB 120o (O 为坐标原点) ，则 r =_____．
【答案】2 【解析】如图直线 3x 4y 5 0 与圆 x2 y2 r2（r＞0）交于 A, B 两点，O 为坐标原点，且

AOB 120o ，则圆心 (0, 0) 到直线 3x 4y 5 0 的距离为 ， ， ∴ r = 2 ．
86 ．(2015 湖北文)如图，已知圆 C 与x 轴相切于点T(1, 0) ，与 y 轴正半轴交于两点 A, B ( B 在 A 的上方)， 且| AB | 2 ．
( 1)圆 C 的标准方程为 ．
(2)圆 C 在点 B 处的切线在x 轴上的截距为 ．


【答案】(Ⅰ) (x 1)2 (y )2 2 ；(Ⅱ) 1

【解析】(Ⅰ)设点 C 的坐标为(x0 , y0 ) ，则由圆 C 与 x 轴相切于点T(1, 0) 知，点 C 的横坐标为1 ，即 x0 1 ， 半径 r y0 ．又因为 AB 2 ，所以12 12 y0(2) ，即 y0 r ，所 以圆 C 的标准方程为 (x 1)2 (y )2 2 ．

y x ( 1) ，于是令 y 0 可
d
，解之得k 1 ．即圆 C 在点B 处的切线方程为
2


NB
NA



NA


NA
NB


MA
MB


MA
MB

NB
．
2
① ； ② 2 ； ③ 2
x 0 x 0 x 0
(Ⅱ)令 x 0 得： B(0, 1) ．设圆 C 在点B 处的切线方程为y ( 1) kx ，则圆心 C 到其距离为：


k 2 2 1
2

1
k



(x 1)2 (y 2 )2 2 和
1 2 ，故应填
x 2 1 ，即圆 C 在点B 处的切线在 x 轴上的截距为
得


1 2 ．
AB 2 ．
87．(2015 湖北理)如图，圆 C 与 x 轴相切于点T(1, 0) ，与y 轴正半轴交于两点 A, B (B 在A 的上方)，且
(Ⅰ)圆 C 的标准方程为 ；
(Ⅱ)过点 A 任作一条直线与圆 O : x2 y2 1 相交于M, N 两点，下列三个结论：

MA
MB
其中正确结论的序号是
． (写出所有正确结论的序号)


【答案】(Ⅰ) (x 1)2 (y )2 2 ；(Ⅱ)①②③
【解析】(Ⅰ)由题意，设 C(1, r) ( r 为圆 C 的半径) ，因为| AB | 2 ，
所以 r ，所以圆心 C(1, ) ，
故圆 C 的标准方程为 (x 1)2 (y )2 2 ．

(x 1) (y ) 2 y 1 y 1
(Ⅱ)由 2 2 ，解得 或 ，

因为 B 在 A 的上方，所以 A(0, 1) ， B(0, 1) ．
不妨令直线MN 的方程为 x = 0 ， M (0, 1) N(0, 1) ，
所以| MA |= ， | MB | 2 ， | NA | 2 ， | NB | ，
所以 | NA | 2 1 ， | MA | 1 所以 | NA | | MA | ，所以
| NB | | MB | 2 ， | NB | | MB |

( 1) 2 ， ( 1) 2 ，正确结论的序号①②
③．
88 ．(2015 江苏文)在平面直角坐标系xOy 中， 以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx y 2m 1 0 (m R) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．

【答案】(x 1)2 y2 2【解析】因为直线 mx y 2m 1 0(m R) 恒过点 (2, 1) ，所以当点 (2, 1) 为 切点时，半径最大，此时半径 r ，故所求圆的标准方程为 (x 1)2 y2 2 ．
89 ．(2014 江苏文)在平面直角坐标系 xOy 中 ，直线 x 2y 3 0 被圆 (x 2) 2 (y 1) 2 4 截得的弦长 为 ．
【答案】 【解析】圆心 (2, 1) 到直线x 2y 3 0 的距离 d ．

直线 x 2y 3 0 被圆 (x 2) 2 (y 1) 2 4 截得的弦长为 24 ．

90 ．(2014 江苏理)在平面直角坐标系xOy 中，直线 x 2y 3 0 被圆 (x 2) 2 (y 1) 2 4 截得的弦长 为 ．
【答案】 【解析】圆心 (2, 1) 到直线x 2y 3 0 的距离 d ．

直线 x 2y 3 0 被圆 (x 2) 2 (y 1) 2 4 截得的弦长为 24 ．
91 ．(2014 重庆文理)已知直线 ax y 2 0 与圆心为C 的圆 x 12 y a 2 4 相交于 A，B 两点，且 ABC 为等边三角形，则实数 a _________．
【答案】 4 【解析】 由题意知圆心 C(1, a) 到直线 ax y 2 0 的距离等于 ，
即 ，解得 a 4 ．
92．(2014 湖北文理)直线l1 ：y x a 和l2 ：y x b 将单位圆 C : x2 y2 1 分成长度相等的四段弧，则
________
a2 b2 ．

| a |
2 2 2 2
【答案】2【解析】由题意得，直线 l1 截圆所得的劣弧长为 ，则圆心到直线 l1 的距离为 ，即 ，

得 a2 1 ，同理可得b2 1 ，则 a2 b2 2 ．
93．(2014 山东文理)圆心在直线 x 2y 0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截x 轴所得弦的长为 2 ，
则圆 C 的标准方程为 ．
【答案】 (x 2)2 (y 1)2 4 【解析】设圆心为 (2b, b) ，则圆的半径为 2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所
以 2 2 , b 0 ，解得b 1 ，所以圆 C 的标准方程为 (x 2)2 (y 1)2 4 ．
94 ．(2014 陕西文理)若圆 C 的半径为 1 ，其圆心与点 (1,0) 关于直线 y x 对称，则圆 C 的标准方程为____． 【答案】x2 (y 1)2 1【解析】因为点 (1,0) 关于直线 y x 对称的点的坐标为 (0, 1) ，所以所求圆的圆心 为 (0, 1) ，半径为 1 ，于是圆 C 的标准方程为 x2 (y 1)2 1 ．
95．(2014 重庆文理)已知直线x y a 0 与圆心为 C 的圆 x2 y 2 2x 4y 4 0 相交于 A，B 两点，且 AC BC ，则实数 a 的值为_________．
【答案】0 或 6 【解析】圆 C :的标准方程为 (x 1)2 (y 2)2 9 ，所以圆心为 C( 1, 2) ，

半径为 3 ．因为 AC BC ，所以圆心 C 到曲线x y a 0 的距离为 ，

即 ，所以 a 0 或 6．
| 1 2 a | 3
2 2
96 ．(2014 湖北文理)已知圆 O : x2 y2 1 和点 A(2, 0) ，若定点B(b , 0) ( b 2) 和常数 满足：对圆 O 上任 意一点M ，都有 |MB | |MA | ，则
(Ⅰ)b ；
(Ⅱ) ．
【答案】 , 【解析】设M x, y ，则 x2 y2 1, y2 1 x2 ，
2 ，
∵ 为常数， ∴ b2 b 1 0 ，解得b 或b 2 (舍去) ， ∴ 2 ．

2 3 4 3
5
d
解得 或 (舍去)．

97 ．(2013 浙江文理)直线 y 2x 3 被圆 x2 y2 6x 8y 0 所截得的弦长等于______．
【答案】
4 5 【解析】 已知圆心为 3, 4 ，半径为 5 ，圆心到直线 y 2x 3 的距离为



，所以弦长l 2 r2 d2 4 ．

0 ) ．设圆 O 上到直线l 的
98 ．(2013 湖北文理)已知圆 O ： x2 y2 5 ，直 线l ： x cos y sin 1 (
．
距离等于 1 的点的个数为k ，则 k
5 ＞2 ，故圆上有 4 个点到该直线的距离
【答案】4 【解析】 由题意圆心到该直线的距离为 1 ，而圆半径为
为 1 ．
．
99 ．(2012 北京文理)直线 y x 被圆 x2 (y 2)2 4 截得的弦长为


【答案】 2 2 【解析】 圆心(0 ，2)到直线 y=x 的距离为 d=

2 ，圆的半径为 2 ，所以所求弦长为
0 2
2
2 22 ( )2 2 ．
100 ．(2011 浙江理)若直线x 2y 5 0 与直线 2x my 6 0 互相垂直，则实数 m =__．
【答案】1【解析】当 m 0 时，两直线不垂直，故 m 0 ．因为直线 x 2y 5 0 与直线 2x my 6 0
的斜率分别为 和 ，由 ( ) 1 ，故 m 1．
101 ．(2011 辽宁理)已知圆 C 经过 A(5 ，1) ，B( 1 ，3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为__．
【答案】 (x 2)2 y2 10 【解析】 以题意设圆 C 的方程为 (x a)2 y2 r 2 ，把所给的两点坐标代入方
程得 解得 所以圆 C ： (x 2)2 y2 10 ．
102 ．【2019 年高考全国Ⅰ文】已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称， │AB │ =4，⊙M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切．
( 1)若 A 在直线 x+y=0 上，求⊙M 的半径；
(2)是否存在定点 P ，使得当A 运动时， │MA │− │MP │ 为定值？并说明理由． 【答案】( 1) M 的半径r=2或r=6 ；(2)存在，理由见解析．
【解析】(1)因为 M 过点 A, B ，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上．由已知 A 在直线 x+y=0 上，且 A, B

关于坐标原点 O 对称，所以M 在直线y x 上，故可设M(a, a) ．
因为 M 与直线x+2=0相切，所以 M 的半径为 r | a 2 | ．
由已知得|AO|=2 ，又MO A O ，故可得 2a2 4 (a 2)2 ，解得a=0 或a=4 ．
故 M 的半径r=2或r=6 ．
(2)存在定点 P(1, 0) ，使得|MA | | MP | 为定值． 理由如下：
设M(x, y) ，由已知得 M 的半径为 r=|x+2|,|AO|=2 ．
由于MO A O ，故可得 x2 y2 4 (x 2)2 ，化简得M的轨迹方程为 y2 4x ．
因为曲线 C : y2 4x 是以点 P(1, 0) 为焦点， 以直线 x 1为准线的抛物线，所以|MP|=x+ 1． 因为|MA| |MP|=r |MP|=x+2 (x+ 1)=1 ，所以存在满足条件的定点P．
103 ．(2017 新课标Ⅲ文)在直角坐标系xOy 中， 曲线 y x2 mx 2 与 x 轴交于 A ， B 两点，点 C 的坐标 为 (0, 1) ．当 m 变化时，解答下列问题：
( 1)能否出现 AC BC 的情况？说明理由；
(2)证明过 A ， B ， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值． 【解析】( 1)不能出现 AC BC 的情况，理由如下：
设 A(x1 , 0) ， B(x2 , 0) ，则 x1 ， x2 满足 x2 mx 2 0 ，所以 x1x2 2 ．

又 C 的坐标为 (0, 1) ，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 ，
所以不能出现 AC BC 的情况．
(2) BC 的中点坐标为 ( , ) ，可得BC 的中垂线方程为 y x2 (x ) ．
由(1)可得 x1 x2 m ，所以 AB 的中垂线方程为x ．
m m
x x
联立 1 2 x ，又 x2(2) mx2 2 0 ，可得 1(2) ，
y 2 x2 (x 2( 2) ) y 2

所以过 A 、 B 、 C 三点的圆的圆心坐标为 ( , ) ，半径 r ．

故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 3 ，即过 A 、 B 、 C 三点的圆在 y 轴上的截得的弦长为定值．

104．(2016 江苏文)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M : x2 y2 12x 14y 60 0 及其上一点 A(2, 4) ．

( 1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线x 6 上，求圆 N 的标准方程；
(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆M相交于 B, C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；
(3)设点T(t, 0) 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ, 求实数t 的取值范围．

【解析】圆 M 的标准方程为 ，所以圆心 M(6 ，7) ，半径为 5， ( 1)由圆心 N 在直线 x 6 上，可设 ．因为圆 N 与 x 轴相切，与圆M 外切， 所以 ，于是圆 N 的半径为 ，从而 ，解得．
因此，圆 N 的标准方程为．
(2)因为直线OA ，所以直线 l 的斜率为． 设直线 l 的方程为 y 2x m ，即 2x y m 0 ，

则圆心 M 到直线 l 的距离


因为
而 所以 ，解得m 5 或m 15 ．
故直线 l 的方程为 2x y 5 0 或 2x y 15 0 ．

因为 ，所以 … …①
因为点 Q 在圆M 上，所以 … … ．②
将①代入② ，得．
于是点既在圆M 上，又在圆上，
从而圆与圆有公共点，
所以 解得．
因此，实数t 的取值范围是．
105．(2015 新课标 1 文)已知过点 A(0, 1) 且斜率为k 的直线l 与圆 C：(x 2)2 (y 3)2 1 交于M , N 两点．
(Ⅰ)求 k 的取值范围；

(Ⅱ)若 OM ON 12 ，其中 O 为坐标原点，求 MN ．
【解析】(Ⅰ)由题设，可知直线 l 的方程为 y kx 1．
因为 l 与 C 交于两点，所以 1 ．
解得 4 k 4 ．所以 k 的取值范围是 4 , 4 ．
3 3 3 3
(Ⅱ)设M(x1 , y1 ), N(x2 , y2 ) ．
将y kx 1代入方程 x 2 2 y 3 2 1 ，整理得 (1 k2 )x2 4(k 1)x 7 0 ，
所以 x1 x2 ， x1x2 ．
OM ON x1x2 y1y2 1 k2 x1x2 kx1 x2 1 8 ，
由题设可得 8=12 ，解得 k=1 ，所以 l 的方程为 y x 1．
故圆心在直线 l 上，所以 |MN | 2 ．
106．(2014 江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥 BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求： 新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆．且古桥两端 O 和 A 到该 圆上任意一点的距离均不少于 80m ． 经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处， 点 C 位于点O 正东方向

170m 处(OC 为河岸) ， tan BCO ．
(I)求新桥 BC 的长；
(II)当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？

【解析】(I)如图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy．
由条件知 A(0 ， 60) ，C( 170 ， 0)，
直线 BC 的斜率 k BC=－tan∠BCO= － ．
又因为AB⊥BC，
所以直线 AB 的斜率k AB= ．
设点 B 的坐标为(a ，b)，
则 k BC= ,
k AB= ,
解得 a=80 ，b=120．
所以 BC= (170 80)2 (0 120)2 150 ．
因此新桥 BC 的长是 150 m．
(II)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m ，OM=d m ，(0≤d≤60)．
由条件知，直线 BC 的方程为 y (x 170) ，即 4x 3y 680 0
由于圆M 与直线 BC 相切，故点 M(0 ，d)到直线 BC 的距离是 r，
即 r ．
因为 O 和 A 到圆M 上任意一点的距离均不少于 80 m，

所以 即 解得10 ≤d ≤35
故当 d=10 时， r 最大，即圆面积最大．
所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．
解法二: (I)如图，延长 OA ， CB 交于点 F．
因为 tan∠BCO= ．所以 sin ∠FCO= ，cos∠FCO= ．
因为 OA=60 ，OC=170 ，所以 OF=OC tan∠FCO= ．
CF= ，从而 AF OF OA ．
因为 OA⊥OC ，所以 cos∠AFB=sin ∠FCO== ，
又因为 AB⊥BC ，所以 BF=AF cos∠AFB== ，从而 BC=CF －BF=150．
因此新桥 BC 的长是 150 m．
(II)设保护区的边界圆M 与 BC 的切点为 D ，连接 MD ，则 MD⊥BC ，且 MD 是圆 M 的半 径，并设 MD=r m ，OM=d m(0≤d≤60)．
因为 OA⊥OC ，所以 sin ∠CFO =cos∠FCO，
MF OF OM 680 5 , 5
3
故由(1)知，sin ∠CFO = MD MD r 3 所以 r 680 3d ．
d

因为 O 和 A 到圆M 上任意一点的距离均不少于 80 m，
所以 即 解得10 ≤d ≤35
故当 d=10 时， r 最大，即圆面积最大．
所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．
107 ．(2013 江苏文)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A 0,3 ，直线 l：y 2x 4 ．设圆 C 的半径为 1 ，圆心在 l 上．


(I)若圆心 C 也在直线 y x 1 上，过点 A 作圆C 的切线，求切线的方程；
(II)若圆 C 上存在点M ，使MA 2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．
【解析】(I)由题设点 ，又也在直线上，

，由题，过 A 点切线方程可设为 ，

即 ，则 ，解得： ，


∴所求切线为 或

(II)设点 ， ， ， ， ，

，即 ，又点 在圆 上，


，两式相减得 ，由题以上两式有公共点，



，即
，整理得：


，令
，则
，
，解得：

．
，解得：

108 ．(2013 新课标 2 文理)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 P 在x 轴上截得线段长为2 2 ，在 y 轴上截 得线段长为 2 ．

(I)求圆心 P 的轨迹方程；
(II)若 P 点到直线 y x 的距离为 ，求圆 P 的方程．
【解析】(I)设P x, y ，圆 P 的半径为 r ．

由题设y2 2 r2 , x2 3 r3 ，从而 y2 2 x2 3 ，故 P 点的轨迹方程为 y2 x2 1．

(II)设P x0 , y0 ，由已知得 ．
又P 点在双曲线 y2 x2 1上，从而得 x(y) 由 y(x) x(y) 1(1)得 此时，圆 P 的半径 r ，
故圆 P 的方程为 x2 y 1 2 3或x2 y 1 2 3 ．

109 ．(2011 新课标文理)在平面直角坐标系xoy 中， 曲线 y x2 6x 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上．
(I)求圆 C 的方程；
(II)若圆 C 与直线 x y a 0 交于 A ，B 两点，且 OA OB, 求 a 的值．
【解析】(I)曲线 y x 2 6x 1与 y 轴的交点为(0 ，1) ，与x 轴的交点为(3 2 ,0), (3 2 ,0). 故可设 C 的圆心为(3 ，t) ，则有 32 (t 1)2 (2 ) 2 t 2 , 解得 t=1．
则圆 C 的半径为 3. 所以圆 C 的方程为 (x 3)2 (y 1)2 9.
(II)设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 ) ，其坐标满足方程组：
消去 y ，得到方程 2x2 (2a 8)x a 2 2a 1 0. 由已知可得，判别式 56 16a 4a2 0.



因此， x1,2 , 从而 x1 x2 4 a , x1x2
(8 2a) a2 2a 1
4 2
由于 OA⊥OB ，可得x1x2 y1y2 0,


①



又y1 x1 a, y2 x2 a, 所以 2x1x2 a(x1 x2 ) a 2 0.
由① ，②得 a 1 ，满足 0, 故 a 1.

②