四川省成都市第十八中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

成都十八中2022-2023学年度下期高一半期考试

数学试卷

考试时间：120分钟    总分：150分    命审人：高一数学组

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 下列几何体中，面的个数最小的是（    ）

A. 四面体 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱台

【答案】A

【解析】

分析】根据棱柱棱锥得结构特征逐一判断即可.

【详解】四面体有个面，

四棱锥有个面，

三棱柱有个面，

三棱台有个面，

所以下列几何体中，面的个数最小的是四面体.

故选：A.

2. 已知，，则的值为 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用二倍角余弦公式可求得的值.

【详解】由题意知，

，

故选：D.

3. 已知平面向量，，且//，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求参数即可.

【详解】由题设，则.

故选：B

4. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：．在中，已知角A、B、C所对边长分别为，其中为方程的两根，，则的面积为（    ）

A. 1 B. 2 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由根与系数关系及三角形面积公式求的面积即可.

【详解】由题意，则.

故选：C

5. 已知曲线，，则下面结论正确的是（    ）

A. 将曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线

B. 把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

C. 把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

D. 将曲线向左平移个单位长度，再把得到曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角函数的变换即可得出答案.

【详解】对于答案：将曲线向左平移个单位长度得，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到，故错误.

对于答案: 把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，故正确.

对于答案: 把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，故错误.

对于答案：将曲线向左平移个单位长度，得到，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到故错误.

故选：B

6. 在达州市北部的凤凰山上有一座标志性建筑—凤凰楼，某同学为测量凤凰楼的高度MN，在凤凰楼的正北方向找到一座建筑物AB，高约为，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，凤凰楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得凤凰楼顶部M的仰角为15°，凤凰楼的高度约为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理求得正确答案.

【详解】在中，，

在中，，，

，

由正弦定理得，

所以在等腰直角三角形中，有.

故选：C

7. 在中，已知角所对边长分别为，且满足，为的中点，，则（    ）

A.  B. 3 C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】在和中，利用余弦定理求出和，再利用建立关系式即可求出结果.

【详解】因为，为的中点，，如图，

中，根据余弦定理可得，，

在中，根据余弦定理可得，，

又因为，所以

故有，得到，即，所以，

故选：C.

8. 已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且，则的最小值是（    ）

A.  B.

C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量共线定理推论可得且，再根据结合基本不等式即可得解.

【详解】由，得，

又因为点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，

所以且，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：B.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 下列叙述中正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 已知非零向量与且//，则与的方向相同或相反

D. 对任一非零向量一个单位向量

【答案】CD

【解析】

【分析】A注意即可判断；B根据向量的性质判断；C由共线向量的定义判断；D由单位向量的定义判断.

【详解】A：若时，不一定有，错误；

B：向量不能比较大小，错误；

C：非零向量与且//，则与的方向相同或相反，正确；

D：非零向量，则是一个单位向量，正确.

故选：CD

10. 已知复数则（    ）

A. 复数在复平面内对应的点在第三象限 B. 复数的实部为

C.  D. 复数的虚部为

【答案】BC

【解析】

【分析】求解复数，根据复数的性质，依次判断各项正误.

【详解】由题意得，

故复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故A选项错误；

易知复数的实部为，故B选项正确；

因为，所以，故C选项正确；

因为，

所以复数的虚部为，故D选项错误．

故选：BC．

11. 下列说法错误的有（    ）

A. 在平面中若有一点满足，则为的垂心．

B. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为

C. 若，则与方向相同的单位向量坐标为

D. 在中，是的充要条件

【答案】AB

【解析】

【分析】对于选项A，结合图形，由三角形重心的性质即可判断；对于选项B，由向量的夹角公式即可解出实数x的取值范围；对于选项C，由向量共线且同向的性质和单位向量的模为即可计算；对于选项D，由正弦定理和三角形边角关系即可判断.

【详解】对于选项A，如图，在中，取的中点，连接.

则，

又因为点满足，所以，即，

所以是线段一个三等分点，，

又因为是的一条中线，所以是的重心．

故选项A错误.

对于选项B，因为，，

又因为与的夹角为锐角，所以解得且，

所以当与的夹角为锐角时，实数x的取值范围为，

故选项B错误.

对于选项C，设与方向相同的单位向量坐标为，

则解得，

所以与方向相同的单位向量坐标为.

故选项C正确.

对于选项D，若在中，，则由正弦定理得， 由三角形大边对大角得；

反之，若在中，，则由三角形大角对大边得，则由正弦定理得，故选项D正确.

故选：AB

12. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C. 若，则的面积是15 D. 若，则外接圆半径是

【答案】AD

【解析】

【分析】设，，，，求出，，，根据正弦定理可判断A正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D正确.

【详解】设，，，，

则，，，

对于A ，，故A正确；

对于B ，，故B不正确；

对于C，若，则，，，

所以，所以，

所以的面积是，故C不正确；

对于D，若，则，则，则，，，

所以，，

所以外接圆半径为.故D正确.

故选：AD

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题（每小题5分，共20分）

13. 在中，是的中点，点在上，满足，设，则______________（用 表示）．

【答案】

【解析】

【分析】根据向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得结果.

【详解】如下图示，.

故答案为：

14. 如图是函数的部分图象，则______．

【答案】

【解析】

【分析】先根据图象求出函数的周期，即可求得，再利用待定系数法求出，即可得解.

【详解】由图可知，则，所以，

则，

由，且点在减区间上，

得，所以，

又，所以，

所以，

故.

故答案为：.

15. （理）在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标为_____________________．

【答案】

【解析】

【分析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得,再根据||＝2，求t,即得结果.

【详解】由题意可设

所以，

因为||＝2，所以,即的坐标为.

【点睛】与共线的向量为，当时，为同向；当时，为反向；与共线的单位向量为；与垂直的向量为.与平分线共线的向量为.

16. 在中，若，AD是BC边上的高，，则AD的最大值为______．

【答案】

【解析】

【分析】先利用余弦定理求出角，再利用基本不等式结合三角形得面积公式求出三角形面积得最大值，再利用等面积法即可得解.

【详解】因为，

所以，

又，所以，

由，得，

所以，当且仅当时，取等号，

又，

所以，即，

所以AD的最大值为.

故答案为：.

四、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）

17. 已知复数z=m（m+2）+（m2+m-2）i．

（1）若z是纯虚数，求实数m的值；

（2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．

【答案】（1）m=0    （2）（0，1）

【解析】

【分析】（1）根据纯虚数的概念，让实部等于零，虚部不等于零，列方程求解即可；

（2）根据复数z在复平面内对应的点位于第四象限，得到实部大于零，虚部小于零，列不等式求解即可.

【小问1详解】

若复数是纯虚数，则，解得或且，，所以.

【小问2详解】

复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得，故的取值范围为.

18. 已知函数.

（1）求的最小正周期和的单调递减区间；

（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.

【答案】（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为．

【解析】

【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间；

（2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.

【详解】（1），

所以，函数的最小正周期为.

由，可得，

函数的对称中心为；

解不等式，解得.

因此，函数的单调递减区间为；

（2）当时，，

当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．

【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

19. 已知向量,.

（1）当时,求；

（2）当，，求向量与的夹角.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【小问1详解】

向量,，则，.

由,可得即，即，

解得或,当,则,则,所以，

当，， ，综上    .

【小问2详解】

由,,则

由,可得,解得,

所以,,

又,所以.

20. 如图，在中， ， ，点在边上，且， .

（1）求；

（2）求的长.

【答案】（1）；（2）7.

【解析】

【详解】试题分析：（I）在中，利用外角的性质，得即可计算结果；（II）由正弦定理，计算得，在中，由余弦定理，即可计算结果．

试题解析：（I）在中，∵，∴

∴

（II）在中，由正弦定理得：

在中，由余弦定理得：

∴

考点：正弦定理与余弦定理．

21. 已知向量，，设函数的图像关于直线对称，其中，为常数，且，．

（1）求函数的最小正周期；

（2）若的图像经过点，，求函数在区间，上的取值范围．

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】(1)通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式，再利用对称轴求出，求解函数的周期．

(2)通过的范围求出相位的范围，利用三角函数的性质求解函数的最值即可．

【小问1详解】

向量，，，函数，

所以

，

由直线是图像的一条对称轴，可得，

所以，即．

又，，所以时，．

所以的最小正周期是．

【小问2详解】

由(1)可知，

若的图像经过点，，则，解得，

所以，

由，得，

所以，

得，

故函数在区间，上的取值范围为，．

22. 一个，它的内角所对的边分别为.

（1）如果这个三角形为锐角三角形，且满足，求的取值范围；

（2）若内部有一个圆心为P，半径为1的圆，它沿着的边内侧滚动一周，且始终保持与三角形的至少一条边相切.现用21米的材料刚好围成这个三角形，请你设计一种的围成方案，使得P经过的路程最大并求出该最大值.（说明理由）

【答案】（1）   

（2）设计方案答案见解析，路程最大值为，理由见解析

【解析】

【分析】由利用余弦定理消去参数，化简得到，再利用正弦定理把边化成角并化简得到，最后根据角的范围算出的取值范围；（2）数形结合得出P经过的路程并进行三角恒等变化得到：，最后利用基本不等式得出P经过的路程最大

【小问1详解】

由（消也可）

即所以

再由正弦定理，有：

所以

因为三角形为锐角三角形，所以，即

得：

由，则得：

又，得：，因此可得：

所以

故

【小问2详解】

，，，

P的路程L为：

又

所以两边同时除以

可得：

，当且仅当，等号成立.

即

故可得：

故路程最大值为，此时围成的三角形为边长为7的等边三角形.