北师大新版数学八年级下册《第5章+分式与分式方程》单元测试卷）（含详细解析））

这是一份北师大新版数学八年级下册《第5章+分式与分式方程》单元测试卷）（含详细解析）），共14页。
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
1．（3分）下列代数式中，属于分式的是（　　）
A．5x B． C． D．
2．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＝﹣2 D．x≠﹣2
3．（3分）若分式的值是0，则y的值是（　　）
A．﹣3 B．0 C．1 D．1或﹣3
4．（3分）若分式方程的解为x＝﹣，则a等于（　　）
A． B．5 C．﹣ D．﹣5
5．（3分）若关于x的方程有增根，那么增根可能是（　　）
A．a B．b C．a或b D．无法确定
6．（3分）若2x+y＝0，则的值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．1 D．无法确定
7．（3分）低碳生活是一项符合社会潮流的生活方式．小明的妈妈是低碳生活的响应者．他家现在用60m3水的时间和原来用80m3水的时间相同，已知现在每月比原来每月节省2m3的水．设现在小明家每月用水量为x m3，根据题意下面所列方程中正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）2020年新冠肺炎疫情影响全球，某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．则甲、乙两厂房每天各生产的口罩箱数为（　　）
A．1200，600 B．600，1200 C．1600，800 D．800，1600
二、填空题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
9．（3分）化简分式：＝　 　．
10．（3分）在有理式﹣π，中，分式有　 　个．
11．（3分）分式、、、中，最简分式有　 　个．
12．（3分）当x　 　时，分式有意义．
13．（3分）已知＝，则的值为 　 　．
14．（3分）若a＝2b时，则的值为　 　．
15．（3分）在公式中，已知R2和R且RR2≠0，则R1＝　 　．
16．（3分）计算的结果为　 　．
17．（3分）不改变分式的值，把分式中分子和分母各项系数都化为整数，得　 　．
三、解答题（本题共计7小题，共计69分，）
18．化简：．



19． 化简：（1+）÷．



20． 先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x＝3+．



21． 化简：﹣÷，并在﹣3≤x≤2中选取一个你喜欢的整数x的值代入求值．



22． 计算，其中．

23． （1）当m取何值时，方程的解为正数？


（2）先化简代数式，再从﹣2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．



24．拓广探索
请阅读某同学解下面分式方程的具体过程．
解方程．
解：，①
，②
，③
∴x2﹣6x+8＝x2﹣4x+3． ④
∴．
把代入原方程检验知是原方程的解．
请你回答：
（1）得到①式的做法是 　 　；得到②式的具体做法是 　 　；得到③式的具体做法是 　 　；得到④式的根据是 　 　．
（2）上述解答正确吗？如果不正确，从哪一步开始出现错误答：　 　．错误的原因是 　 　．
（3）给出正确答案（不要求重新解答，只需把你认为应改正的加上即可）．
25．小卖部用900元购进一批保温杯，很快售完，老板又用420元购进第二批这种保温杯，进货量是第一次的一半，但进价比第一批每个降低了2元．
（1）这两次共购进这种保温杯多少个？
（2）若第一批保温杯的售价是40元/个，老板想让这两批保温杯售完后的总利润不低于390元，则第二批保温杯每个至少要售多少元．

参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
1．（3分）下列代数式中，属于分式的是（　　）
A．5x B． C． D．
【考点】分式的定义．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，从而得出答案．
【解答】解：根据分式的定义
A．是整式，答案错误；
B．是整式，答案错误；
C．是分式，答案正确；
D．是根式，答案错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＝﹣2 D．x≠﹣2
【考点】分式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
3．（3分）若分式的值是0，则y的值是（　　）
A．﹣3 B．0 C．1 D．1或﹣3
【考点】分式的值为零的条件．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】分式的值为零时，分子等于零，即y﹣1＝0．
【解答】解：依题意得：y﹣1＝0．
解得y＝1．
y+3＝1+3＝4≠0，
所以y＝1符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．（3分）若分式方程的解为x＝﹣，则a等于（　　）
A． B．5 C．﹣ D．﹣5
【考点】分式方程的解．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】把方程的解代入方程，即可求出a的值．
【解答】解：把方程的解代入方程得：＝﹣，
∴，
∴﹣10+50a＝48a，
∴a＝5，
检验：当a＝5，x＝﹣时，a（x﹣1）＝5×（﹣）＝﹣6≠0，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解，把方程的解代入方程，求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值是解题的关键．
5．（3分）若关于x的方程有增根，那么增根可能是（　　）
A．a B．b C．a或b D．无法确定
【考点】分式方程的增根．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（x﹣a）（x﹣b）＝0，可得增根的值．
【解答】解：∵分式方程有增根，
∴最简公分母（x﹣a）（x﹣b）＝0，
解得x＝a或x＝b．故选C．
【点评】判断分式方程的增根，只需让分式方程的最简公分母为0即可求出．
6．（3分）若2x+y＝0，则的值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．1 D．无法确定
【考点】分式的基本性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】由2x+y＝0，得y＝﹣2x，将其代入分式中求解．
【解答】解：∵2x+y＝0，
∴y＝﹣2x，
∴＝＝＝﹣，
故选：B．
【点评】首先根据已知条件求出y与x的关系，即y＝﹣2x，将其代入分式进行化简运算．
7．（3分）低碳生活是一项符合社会潮流的生活方式．小明的妈妈是低碳生活的响应者．他家现在用60m3水的时间和原来用80m3水的时间相同，已知现在每月比原来每月节省2m3的水．设现在小明家每月用水量为x m3，根据题意下面所列方程中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】设现在小明家每月用水量为x立方米，根据他家现在用60m3水的时间和原来用80m3水的时间相同，已知现在每月比原来每月节省2m3的水，可列方程．
【解答】解：设现在小明家每月用水量为x立方米，
＝．
故选：A．
【点评】本题考查理解题意的能力，设出现在每天用水，就能表示出原来的用水，根据80立方米水和60立方米水用时间相等可列方程．
8．（3分）2020年新冠肺炎疫情影响全球，某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．则甲、乙两厂房每天各生产的口罩箱数为（　　）
A．1200，600 B．600，1200 C．1600，800 D．800，1600
【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，根据工作时间＝工作总量÷工作效率得出分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，
依题意，得：﹣＝5，
解得：x＝600，
经检验，x＝600是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝1200．
即甲厂房每天生产1200箱口罩，乙厂房每天生产600箱口罩，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
二、填空题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
9．（3分）化简分式：＝　　．
【考点】约分．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】将分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式即可．
【解答】解：＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了约分的知识，解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解，然后约去公因式，分式的约分是分式运算的基础，应重点掌握．
10．（3分）在有理式﹣π，中，分式有　3　个．
【考点】分式的定义．菁优网版权所有
【答案】3．
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】解：分式有，，，共3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义的内容是解此题的关键，注意：分式的分母中含有字母．
11．（3分）分式、、、中，最简分式有　3　个．
【考点】最简分式．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式，有就不是最简分式，没有就是．
【解答】解：分式＝＝，
因此最简分式只有，，，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
12．（3分）当x　≠1　时，分式有意义．
【考点】分式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】分式有意义，分母不等于零．
【解答】解：当分母1﹣x≠0，即x≠1时，分式有意义．
故答案是：≠1．
【点评】从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
13．（3分）已知＝，则的值为 　　．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】依据比例的性质，即可得到2a＝b，代入分式化简求值即可．
【解答】解：∵＝，
∴2a＝b，
∴＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
14．（3分）若a＝2b时，则的值为　　．
【考点】分式的值．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】把a的值代入所求的代数式，通过约分求值．
【解答】解：依题意，得到：ab≠0，则a≠0、b≠0．
把a＝2b代入，得＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的值．此题在a、b的取值时，需要进一步的强调．
15．（3分）在公式中，已知R2和R且RR2≠0，则R1＝　　．
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】将R2和R看作已知数，表示出R1即可．
【解答】解：+＝，
去分母得：R2R+R1R＝R1R2，
移项合并得：R1（R2﹣R）＝R2R，
解得：R1＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的加减法，解题的关键是将R2和R看作已知数，表示出R1．
16．（3分）计算的结果为　a2﹣a﹣2　．
【考点】分式的乘除法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先把除法统一为乘法，分子分母能分解因式的先分解因式，然后约分化到最简即可．
【解答】解：原式＝＝（a﹣2）（a+1）＝a2﹣a﹣2，故答案为a2﹣a﹣2．
【点评】解答本题的关键就是找到能约分的因式，进行约分．
17．（3分）不改变分式的值，把分式中分子和分母各项系数都化为整数，得　　．
【考点】分式的基本性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：分子分母都乘以2，得
，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数，分式的值不变．
三、解答题（本题共计7小题，共计69分，）
18．化简：．
【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先将括号内的部分通分，再将除式的分子因式分解，然后将除法转化为乘法进行计算．
【解答】解：原式＝（﹣）×
＝×
＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
19．化简：（1+）÷．
【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】本题考查分式的混合运算，要注意运算顺序，有括号先算括号里的，再把除法转化为乘法来做，经过分解因式、约分把结果化为最简．
【解答】解：原式＝（4分）
＝（6分）
＝x+1．（8分）
【点评】括号里的计算注意：当整式与分式相加减时，一般可以把整式看作分母为1的分式，与其它分式进行通分运算．
20．先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x＝3+．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（x+2﹣）
＝
＝
＝
＝，
当x＝3+时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．化简：﹣÷，并在﹣3≤x≤2中选取一个你喜欢的整数x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出，算减法，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝
＝﹣，
∵﹣3≤x≤2，x为整数，
∴取x＝﹣2，原式＝﹣＝1．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22．计算，其中．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入原式进行计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝×
＝，
当x＝2+时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分、约分的灵活运用．
23．（1）当m取何值时，方程的解为正数？
（2）先化简代数式，再从﹣2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
【考点】分式的化简求值；分式方程的解；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【答案】（1）m＜﹣1且m≠﹣9；
（2），2．
【分析】（1）利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式得到答案；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：（1）方程两边同乘（2x+1）（x﹣1），得4x（x﹣1）﹣m＝（2x﹣1）2，
整理得：8x+m+1＝0，
解得：x＝﹣，
由题意得：﹣＞0，﹣≠1，
解得：m＜﹣1且m≠﹣9；
（2）原式＝（﹣）•
＝•
＝，
∵a≠±2，a≠1，
∴a＝0，
∴原式＝＝2．
【点评】本题考查的是分式方程的解法、分式的化简求值，掌握解分式方程的一般步骤、分式的混合运算法则是解题的关键．
24．拓广探索
请阅读某同学解下面分式方程的具体过程．
解方程．
解：，①
，②
，③
∴x2﹣6x+8＝x2﹣4x+3． ④
∴．
把代入原方程检验知是原方程的解．
请你回答：
（1）得到①式的做法是 　移项　；得到②式的具体做法是 　方程两边分别通分　；得到③式的具体做法是 　方程两边同除以（﹣2x+10）　；得到④式的根据是 　分子相等，则分母相等　．
（2）上述解答正确吗？如果不正确，从哪一步开始出现错误答：　有错误．从第③步出现错误　．错误的原因是 　（﹣2x+10）可能为零　．
（3）给出正确答案（不要求重新解答，只需把你认为应改正的加上即可）．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】本题考查解分式方程的能力，应先根据方程特点，进行整理然后去分母，将分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：（1）移项，方程两边分别通分，方程两边同除以（﹣2x+10），分式值相等，分子相等，则分母相等；

（2）有错误．从第③步出现错误，原因：﹣2x+10可能为零；

（3）当﹣2x+10＝0时，即﹣2x＝﹣10，解得x＝5，
经检验知x＝5也是原方程的解，
故原方程的解为．
【点评】解分式方程要根据方程特点选择合适的方法，并且要考虑全面，不能漏解，不能出现增根．
25．小卖部用900元购进一批保温杯，很快售完，老板又用420元购进第二批这种保温杯，进货量是第一次的一半，但进价比第一批每个降低了2元．
（1）这两次共购进这种保温杯多少个？
（2）若第一批保温杯的售价是40元/个，老板想让这两批保温杯售完后的总利润不低于390元，则第二批保温杯每个至少要售多少元．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）这两次共购进这种批保温杯45个；
（2）第二批保温杯每个至少要售34元．
【分析】（1）设小卖部第一批购进这种保温杯x个，则第二批购进这种保温杯x个，利用单价＝总价÷数量，结合第二批的进价比第一批每个降低了2元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入（x+x）中即可求出这两次共购进这种批保温杯的数量；
（2）设第二批保温杯的售价是m元/个，利用总利润＝销售总价﹣进货总价，结合这两批保温杯售完后的总利润不低于390元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出第二批保温杯每个至少要售34元．
【解答】解：（1）设小卖部第一批购进这种保温杯x个，则第二批购进这种保温杯x个，
依题意得：﹣＝2，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴x+x＝x＝×30＝45．
答：这两次共购进这种批保温杯45个．
（2）设第二批保温杯的售价是m元/个，
依题意得：40×30+×30m﹣900﹣420≥390，
解得：m≥34．
答：第二批保温杯每个至少要售34元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
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