湖南省岳阳市平江县2023届高三下学期教学质量监测（三）数学试题（含答案）

湖南省岳阳市平江县2023届高三下学期教学质量监测（三）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．设复数满足 ，则复数的虚部是（    ）

A．  B． C．  D．

3．已知平面向量的夹角为，且，则（    ）

A． B． C． D．

4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（    ）

A． B． C． D．

5．某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（    ）

A．18 B．24 C．36 D．60

6．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为 γ ．想在山高的处的山腰建立一个亭子，则此山腰高为（    ）

A． B．

C． D．

7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，， 二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数，若有两个极值点，记过点，的直线的斜率为，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．2022年11月28日，平江-益阳高速公路通车运营，湖南省交通运输厅统计了平益高速2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年12月22日至12月28日比较，得到同比增长率（）数据，绘制了如下统计图，则下列结论正确的是（    ）

A．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的极差为25

B．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的中位数为18

C．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量比2022年12月22日至12月28日高速公路车流量大的有4天

D．2022年12月25日的高速公路车流量小于20万车次

10．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱BC与的中点，则下列选项正确的有（    ）

A．平面

B．与所成的角为30°

C．平面

D．平面截正方体的截面面积为

11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点（其中A在B的左侧），记面积为S，则（    ）

A． B．时，

C．S的最大值为 D．当时，

12．设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（    ）

A． B．数列单调递减

C．当时，取得最小值 D．时，n的最小值为7

三、填空题

13．已知的展开式中含项的系数为1024，则______．

14．写出与圆和都相切的一条直线方程____________．

15．已知函数的部分图象如图，，则____________．

16．若对任意，恒成立，则实数a的取值集合为____________．

四、解答题

17．已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，求数列的前n项和．

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求；

(2)设，当的值最大时，求△ABC的面积．

19．如图，在三棱柱中，D为AC的中点，AB=BC=2，.

(1)证明：；

(2)若，且满足：三棱柱的体积为，二面角的大小为60°，求二面角的正弦值.

20．某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．

(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望．

(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望．

(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．

21．已知点在双曲线的渐近线上，点在上，直线交于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0．

(1)求直线的斜率；

(2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积．

22．已知函数.

(1)若在定义域内单调递增，求a的取值范围；

(2)当时，若存在唯一零点，极值点为，证明：.

参考答案：

1．B

2．D

3．D

4．B

5．C

6．C

7．B

8．A

9．BC

10．ABD

11．ABD

12．AC

13．2

14．或中任何一个答案均可

15．/0.75

16．

17．(1)

(2)

18．(1)

(2)

19．(1)证明见解析

(2)

20．(1)分布列见解析；期望为

(2)分布列见解析；期望为

(3)答案见解析

21．(1)6

(2)4

22．(1)

(2)证明见解析