山西省吕梁市2023届高三下学期二模考试数学试卷（含答案）

山西省吕梁市2023届高三下学期二模考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，, 则 (   )

A.  B.

C.  D.

2、已知命题,, 则p 为真命题的一个充分不必要条件是(   )

A.  B.  C.  D.

3、等比数列 的前n 项和为,,, 则 为(   )

A. 40 或 -36 B. -36 C. 40 D. 32

4、在三棱锥中, 已知 底面ABC，，, 则三棱锥外接球的体积为(   )

A.  B. C. D.

5、(   )

A. B. C. D.

6、已知双曲线 的左、右焦点分别为,, 直线 与C 交于P,Q 两点, , 且 的面积为, 则C 的离心率是(   )

A. B. C. 2 D. 3

7、已知 , 分别是方程 , 的根, 则 的值为(   )

A. B.  C. 10 D. 5

8、已知,,, 则 a,b,c的大小关系为(   )

A. B.  C. D.

二、多项选择题

9、已知i 为虚数单位, 下列关于复数的命题正确的有(   )

A.

B.复数 的虚部为 i

C.若 , 互为共轭复数, 则

D.若复数 为纯虚数, 则

10、若函数 的最小正周期为, 则(   )

A.

B.在 上单调递减

C.在 内有 5 个零点

D.在 上的值域为

11、已知正方体的棱长为 4,E为 上靠近A 的四等分点, F为 上靠近 的四等分点, M为四边形 内一点 (包含边界), 若 平 面BEF, 则下列结论正确的是(   )

A.线段 长度的最小值为

B.三棱锥 的体积为定值

C.平面

D.直线EF 与平面 所成角的正弦值为

12、已知椭圆 ，，分别为其左、右焦点, 椭圆 C的离心率为e, 点 M在椭圆上, 点 在椭圆内部, 则以下说法正确的是(   )

A.离心率e 的取值范围为

B.不存在点M, 使得

C.当 时, 的最大值为

D.的最小值为 1

三、解答题

13、已知向量 , 的夹角为,,, 则_________.

14、某种红糖的袋装质量X 服从正态分布, 随机抽取 5000 袋, 则袋装质量 在区间 的约有________袋. (质量单位：g)

15、现有小赵、小钱、小孙、小李、小刘 5 人去北京、上海、广州三地参加研讨会, 每人 只能去一个城市, 每个城市至少去一人, 则小赵不去北京的概率为_______.

16、若过点 有 3 条直线与函数 的图象相切, 则m 的取值范围 是_______

17、已知正项数列 的前n 项和为, 且满足, 首项,.

(1)求数列 的通项公式;

(2)证明:.

18、如图, 在平面四边形 ABCD中, ,,的平分线交 AD于点E, 且.

(1)求 及BD;

(2)若, 求 周长的最大值.

19、食品安全问题越来越受到人们的重视. 某超市在购进某种水果之前, 要求食品安检部 门对每箱水果进行三轮各项指标的综合检测, 只有三轮检测都合格, 这种水果才能在 该超市销售. 已知每箱这种水果第一轮检测不合格的概率为, 第二轮检测不合格的 概率为, 第三轮检测不合格的概率为, 每轮检测只有合格与不合格两种情况, 且 各轮检测互不影响.

（1）求每箱这种水果能在该超市销售的概率;

（2）若这种水果能在该超市销售, 则每箱可获利 300 元, 若不能在该超市销售, 则每箱亏损 100 元, 现有 4 箱这种水果, 求这 4 箱水果总收益X 的分布列和数学期望.

20、在四棱锥中, 底面ABCD 是矩形, ，E为 AB的中点, 底面 是 PC上的点.

(1) 若 平面DEF, 求 的值;

(2) 若F 是 PC的中点, 且二面角 的余弦值为, 求直线 PD与平面 DEF所成角的正弦值.

21、已知抛物线 过点.

(1)求抛物线C 的方程;

(2) P,Q是抛物线 C上的两个动点, 直线AP 的斜率与直线 AQ的斜率之和为 4 , 证明: 直线 PQ恒过定点.

22、已知函数.

(1) 求曲线 在 处的切线在x 轴上的截距;

(2) 当 时, 证明: 函数 在 上有两个不同的零点,, 且 当 时,,.

参考答案

1、答案：C

解析：

2、答案：A

解析：由题设命题为真, 即 在 上恒成立, 所以, 充分不 必要条件应该是 的一个真子集, 故选 A.

3、答案：C

解析：由题意知: ，，成等比数列,

,

解得: 或，

，

.

4、答案：B

解析：由，, 所以 的外接圆直径, 由于 底面ABC, 所以外接球的直径, 所以外接球的体积.

5、答案：A

解析：由, 得,

即, 又, 所以.

6、答案：B

解析：如图, 若P 在第一象限, 因为, 所以,

由图形的对称性知四边形 为矩形,

因为 的面积为, 所以,

因为, 所以，,

在 中, , 解得.

7、答案：D

解析：在同一平面直角坐标系绘制函数

，，的图象,

由题意可知 ， 的值分别为图中点

，的横坐标, 则 ， 的值分别为图中点 ， 的纵坐标,

因为函数和 互为反函数, 互为反函数的图象关于直线 对称,

设直线 与 的 交点为,

易知, 结合对称性可知.

8、答案：D

解析：，，,

构造函数，，,

令，,

则, 所以 在 上单调递增,

所以, 所以, 所以,

所以. 令，，,

所以 在 上单调递减, 所以,

所以, 所以, 所以, 所以.

9、答案：ACD

解析：因为 ，A正确;

复数 的虚部为 1,B不正确;

令,,,, 所以, 故 C 正确;

若复数 为纯虚数, 则, 且, 即, 故 D 正确.

10、答案：BC

解析：

.

由最小正周期为, 可得, 故,

对于 A, , 故 A 错误;

对于 B, 当 时, ,

此时 单调递减, 故 B 正确;

对于 C, ,

所以,,

当 时, 满足要求的有,,,,, 共有 5 个零点, 故 C 正确;

对于 D, 当 时, , 则, 故, 所以D 错误.

11、答案： BC

解析:如图, 连接,, 由题易得, 且平面 平面,

平面 平面, 取 上靠近 的四等分点G, 连接,,, 则 , 平面 ,平面BEF, 所以 平面BEF.

由题知 平面BEF, 所以点M 的轨迹为线段. 由, 在等腰 中, 当 时线段 的长度最小, 且, 故A 错误;

对于 B, 为定值, M到平面 的距离等于 平面 的距离, 即,

由等体积法,

,

故三棱锥的体积为定值, B 正确;

对于 C, 易得 ，平面 ， 平面, 故 平面 ，C正确;

对于 D, 易得, 点F 到平面 的距离为 4 , 故直线 EF与平面 所成角的正弦值为, D 错误.

12、答案： ABC

解析:对于A, 由已知可得, , 所以, 则,

故 A 正确;

对于 B, 由 可知, 点M 为原点, 显然原点不在椭圆上, 故 B 正确;

对于C, 由已知 时, , 所以,. 又,

则. 根据椭圆的定义可得,

所以, 当且仅当 M,N,三点共线时, 取得等号. 的最大值为, 故 C 正确;

对于 D, 因为. 所以

, 当且仅

当, 即 时, 等号成立. 所以, 的最小值为, 故 D 错误.

13、答案：

解析:,

则, 即.

14、答案： 4093

解析：由题意知, ,

所以，,

得

所以袋装质量在区间 的约有 袋.

15、答案：

解析：①若三地分配人数分别为 1,1,3 时, 共有 种安排方法; 其中小赵去北 京的安排方法有 种;②若三地分配人数分别为1,2,2  时, 共有 种安排方法; 其中小赵去北京的安排方法有 种; 故小赵不去北京的概率为.

16、答案：

解析：由题意可得,

设切点坐标为 , 则切线斜率,

所以切线方程为,

将 代入得.

因为存在三条切线, 即方程 有三个不等实数根,

等价于函数 与 的图象有三个交点,

设, 则,

当 时, ，单调递增;

在 和 上, ，单调递减, ，,

当 或 时, , 要使函数 与 的图象有三个交点, 只需, 即, 即m 的取值范围是.

17、答案： (1)

(2)见解析

解析：(1) 由, 可得,

两式相减可得:,

化简可得,

由正项数列 知, 所以,

又, 解得, 所以 是以 2 为首项， 3 为公差的等差数列, 故.

(2) 证明: 由 (1) 可得,

所以, ,

因此,

18、答案： (1)

(2)

解析：(1) 在 中, 由正弦定理得,

又, 则,

于是,

因为 BE为角平分线, 所以, 所以, 所以,

在 中, 根据余弦定理得

,

.

(2) 令，. 在中,

由余弦定理得,

即有, 即,

,

当且仅当 时, “=”成立.

所以 周长的最大值为

19、答案： (1)

(2)400

解析：(1)设每箱这种水果能在该超市销售为事件A,

则,

即每箱这种水果能在该超市销售的概率为.

(2) X 的所有可能取值为1200,800,400,0,-400.

 因为，，

，，

所以X的分布列为

所以.

20、答案： (1)

(2)

解析：(1)连接AC, 交 DE于点G, 连接FG;

平面 ，平面PAC, 平面 平面,

,

;

，，,

, 即 的值为

(2) 取 CD中点M, 连接EM;

四边形ABCD 为矩形, ，,

以E 为坐标原点, ，，分别为x,y,z 轴,

建立如图所示空间直角坐标系,

，，，

平面 ABCD,平面ABCD，;

，平面 ，，平面PDE;

设,

则，，，，,

，，,

设平面DEF 的法向量,

则, 令, 则，，;

又平面PDE 的一个法向量为,

, 解得:;

，，.

直线PD 与平面 DEF所成角的正弦值为

21、答案： (1)

(2)见解析

解析:(1) A点坐标代入抛物线方程得,,

抛物线方程为.

(2) 证明: 设, 将PQ 的方程与 联立得,

设,, 则,,

所以,

, 同理:,

由题意: ，

,

, 即,

代入直线得,

故直线PQ 恒过定点.

22、答案：(1)

(2)见解析

解析：(1), 又,

所以,

则曲线 在 处的切线l 的方程为,

令 得, 故切线在x 轴上的截距为

(2)要证函数 在 上有两个不同的零点，, 需证方程

在 上有两个不 同的实数解, 即证方程 在 上有两个不同的实数解 .

设, 则 ，

当 时,; 当 时, , 所以 在 上单调递减, 在 上 单调递增,

因为，, 所以存在, 使得;

又，, 所以存在, 使得.

故函数 在 上有两个不同的零点 ， 由上易知，,

两式相加得, 两式相减得,

所以,

则

令, 则,

所以,

设,则,

所以 在上单调递减 上单调递减,

则,

故当 时,，