2023年广东省佛山市南海区狮山镇中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省佛山市南海区狮山镇中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年卡塔尔世界杯是自年以来举办的第届世界杯，历届世界杯可谓各具特色，会徽设计也蕴含了不同的文化．下列世界杯会徽的图案中，属于轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  经文化和旅游部数据中心测算，年春节假期国内旅游出游亿人这里亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图形为一些立体图形的展开图，其中不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  正五边形的每个内角度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  日常生活中，某些技能的训练，新手通常表现不太稳定以下是小李和小林进行射击训练次射击完成之后的成绩统计，请根据图中信息估计谁可能是新手(    )

A. 小李 B. 小林 C. 都可能是新手 D. 无法判定

7.  已知为等腰三角形，若，且，为方程两根，则的值等于(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8.  某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为如图所示，设矩形一边长为，另一边长为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，把绕着点顺时针转，得到，当，点恰好在边上，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，是函数的图象，通过观察图象得出了如下结论：
当时，随的增大而增太；
该函数图象与坐标轴有三个交点；
该函数的最大值是，最小值是；
当时，不等式的解为．
以上结论中正确的有(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是          ．

12.  因式分解：        ．

13.  方程的解为______．

14.  已知一个圆锥的底面半径是厘米，高是厘米，则该圆锥的侧面积是______ 平方厘米结果保留

15.  将正方形与正方形按如图方式放置，点，，在同一直线上连接是的中点，连接，若，，则正方形的边长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  解不等式组：．

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，从，，，中选择一个合适的的值代入求值．

18.  本小题分
如图，在中，．
在上求作点，使，点与点不重合尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
求证：．

19.  本小题分
中华文化源远流长，文学方面，西游记三国演义水浒传红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图请根据以上信息，解决下列问题：

请将条形统计图补充完整，扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为______ 度；
本次调查所得数据的众数是______ ，中位数是______ ；
没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．

20.  本小题分
学校开展大课间活动，某班需要购买毽子和跳绳已知购进个毽子和根跳绳共需元；购进个毽子和根跳绳共需元．
求购进一个毽子和一根跳绳各需多少元；
若班级计划不多于元购买跳绳和毽子共个，则至少需购买毽子多少个？

21.  本小题分
如图，在中，为的直径，点在上，为的中点，连接，并延长交于点连接，在的延长线上取一点，连接，使
求证：为的切线；
若，，求的直径．

22.  本小题分
如图，在矩形中，，，点在射线上运动，将沿翻折，使得点与点重合，连接交于点．
【初步探究】当点落在边上时，求的长；
【深入探究】在点的运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；
【拓展延伸】如图，点为的中点，连接，点在射线上运动过程中，求长的最大值．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线：与轴相交于点，点在点左侧，与轴相交于点．
求出点，的坐标；
已知点；
请求点的坐标满足的函数关系式；
是否存在非零实数，使上述函数的图象与抛物线始终有两个的交点，若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
直接根据绝对值的意义求解．
本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则．
【解答】
解：．
故选A．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】
解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，准确确定、的值是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，选项A是正方体的展开图，选项B是三棱柱的展开图，选项C是圆锥的展开图，选项D不是立体图形的展开图．
故选：．
根据几何体的平面展开图的特征可知：选项A是正方体的展开图，选项B是三棱柱的展开图，选项C是圆锥的展开图．
本题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图的特征是解决此类问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：正五边形的每个外角，
正五边形的每个内角，
故选：．
求出正五边形的每个外角即可解决问题．
本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据图中的信息可知，小李的成绩波动性大，
则这两人中的新手是小李；
故选：．
根据图中的信息找出波动性大的即可．
本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

7.【答案】 

【解析】解：为等腰三角形，
若，且，为方程两根，
则，把代入方程得，
；
，此时方程的判别式为，
，
．
故的值等于或．
故选：．
由于为等腰三角形，若，且，为方程两根，那么有两种情况：，此时直接把代入方程即可求出；，此时方程的判别式为，由此也可以求出的取值范围．
此题主要考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，解题的关键是根据判别式和等腰三角形的性质得到关于的方程解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：木栏总长为，
，
．
故选：．
由木栏的总长，可得出，变形后，即可得出结论．
本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与满足的函数关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：把绕着点顺时针转，得到，
，，，
，
，
，
，
故选：．
根据旋转的性质得出，进而利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质和旋转的性质，关键是根据旋转的性质和两直线平行，同旁内角互补解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，随的增大而增大，故正确；
该函数图象与坐标轴有四个交点，故错误；
函数的取值范围是，当时，；
当时，，该函数的最大值是，最小值是，故正确；
当当时，不等式的解为或，故错误．
综上所述，结论正确的有个，
故选：．
根据图象的性质、特点即可求解．
本题主要考查抛物线与轴的交点，二次函数的最值，二次函数与不等式，根据函数图象的性质和特征，掌握函数的单调性，最值的计算方法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
，
解得，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公司式，必须先提公因式．
 

13.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
当时，，
是原分式方程的解．
去分母，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后即可得出分式方程的解．
本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，高为，
圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积为，
故答案为：．
利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意运用圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长交于点，如图所示：

在正方形中，，，，
，，
是的中点，
，
≌，
，，
，，
，，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
在正方形中，，
，
故答案为：．
延长交于点，根据正方形的性质，易证≌，可得，在中，根据勾股定理，得，进一步可得的长，根据正方形的性质可得正方形的边长．
本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】本题考查的是解一元一次不等式组．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可．
 

17.【答案】解：原式

，
由分式有意义的条件可知：不能取，，
故，
原式． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：如图，点为所作；

证明：过点作于点，如图，
，
，
，
，
，
即． 

【解析】以点为圆心，为半径画弧交于，则点满足条件；
过点作于点，如图，则根据等腰三角形的性质得到，，然后利用等量减等量差相等得到结论．
本题考查了作图：复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
 

19.【答案】     

【解析】解：本次调查的人数为：人，
读部的学生有：人，
扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为：，
故答案为：；
补全的条形统计图如右图所示：

故本次调查所得数据的众数是部，中位数是部，
故答案为：，；
西游记三国演义水浒传红楼梦分别用字母、、、表示，
树状图如图所示：

一共有种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有种，
故他们恰好选中同一名著的概率是，
即他们恰好选中同一名著的概率是．
根据读部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，总人数减去其他部的人数求得部的人数，可以将条形统计图补充完整，根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角的度数；
根据中所求数据，然后即可得到众数和中位数；
根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到相应的概率．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：设购买一个毽子需要元，购买一根跳绳需要元，
依题意，得：，
解得．
答：购买一个毽子需要元，购买一根跳绳需要元．
设班级购买个毽子，则购买根跳绳，
依题意，得：，
解得：，
为整数，
的最小值为．
答：班级至少需购买毽子个． 

【解析】设购买一个毽子需要元，购买一根跳绳需要元，根据“购买个毽子和根跳绳共需元，购买个毽子和根跳绳共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设班级购买个毽子，则购买根跳绳，根据总价单价数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】证明：如图，连接，
是圆的直径，则，
为的中点，则，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，连接，
是圆的直径，则，
，，
，
又，
∽，
：：，
：：，
，
，则，
的半径为． 

【解析】连接，由圆周角定理可得，由等弧对等角可得，再进行等量代换可得便可证明；
连接，由圆周角定理可得，，于是，由∽可得：：，再代入求值即可．
本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键．
 

22.【答案】解：当点落在边上时，如图，

四边形是矩形，
，，，
由翻折得：，
在中，，
；
如图，以为圆心，长为半径作，

由翻折得：，
点在上运动，
当点在线段上时，最小，此时，，
在中，，
，
故在点的运动过程中，存在最小值，的最小值为；
如图，以为圆心，长为半径作，延长至，使，连接，

，
点是的中点，
点为的中点，
是的中位线，
，
则最大时，最大，
由翻折得：，
点在上运动，
当经过点时，最大，如图，

在中，，
，
，
故点在射线上运动过程中，长的最大值为． 

【解析】由翻折得：，根据勾股定理可得，再由，即可求得答案；
以为圆心，长为半径作，可得点在上运动，当点在线段上时，最小，此时，，由勾股定理可得，即可求得的最小值为；
以为圆心，长为半径作，延长至，使，连接，根据三角形中位线定理可得，则最大时，最大，由于点在上运动，当经过点时，最大，即可求得答案．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，圆的有关性质，点到圆上各点距离的最大值和最小值的应用，解决问题的关键是运用三角形中位线定理和圆中的最值．
 

23.【答案】解：，
点，；
点，
，
点的坐标满足的函数关系式为；
令，整理得，
上述函数的图象与抛物线始终有两个的交点，
，即，
，
，
解得或． 

【解析】化成交点式即可求得点，的坐标；
由点可知点的坐标满足的函数关系式为；
令，整理得，若上述函数的图象与抛物线始终有两个的交点，则，即，解不等式即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，函数与方程的关系，一元二次方程的根的判别式，解题的关键是学会利用参数解决问题．