2023年广西南宁市隆安县中考数学一模试卷（含解析）

2023年广西南宁市隆安县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  我国传统文化中的“福禄寿喜”图如图由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  据统计我国每年浪费的粮食约吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  抛物线可由如何平移得到(    )

A. 先向右平移个单位，再向下平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
C. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
D. 先向右平移个单位，再向上平移个单位

5.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列事件中是必然发生的事件是(    )

A. 打开电视机，正播放新闻
B. 通过长期努力学习，你会成为数学家
C. 从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃
D. 某校在同一年出生的有名学生，则至少有两人的生日是同一天

7.  如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列运算中，计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，其余两把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或制盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有张白铁皮，设用张制盒身，张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中符合题意的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  沿着虚线将矩形剪成两部分，既能拼成三角形又能拼成梯形的是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，、两点在双曲线的图象上，分别经过、两点向轴作垂线段，已知，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  要使分式有意义，则应满足的条件是______．

14.  分解因式：______．

15.  若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是______．

16.  如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接若，则的度数是           
 

17.  如图，有一个斜坡长，坡顶离地面的高度为，则的正弦值为______ ．

18.  如图，已知直线：，在直线上取点，过分别向轴，轴作垂线，交轴于，交轴于，使四边形为正方形；在直线上取点，过分别向轴，作垂线，交轴于，交于，使四边形为正方形；按此方法在直线上顺次取点，，，，依次作正方形，，，，则的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简：，并在，，，中选一个合适的数求值．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
画出关于轴的对称图形；
将向右平移个单位再向上平移个单位后得到，画出并写出顶点，的坐标．

22.  本小题分
某校对九年级学生进行了一次防疫知识竞赛，并随机抽取甲、乙两班各名学生的竞赛成绩进行整理，描述分析下面给出部分信息：甲班成绩的频数分布直方图如图所示数据分为组：，，，，，，其中分以及分以上的人为优秀；甲班的成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，，甲、乙两班成级的平均数、中位数、众数和优秀人数如表：

根据以上信息，回答下列问题：
表中的        ；
在此次竞赛中，你认为甲班和乙班中，        班表现的更优异，理由是        ；
如果该校九年级学生有名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？

23.  本小题分
如图，正方形的边长为，点在边上，连接，过点作与的延长线相交于点，连接与边相交于点、与对角线相交于点．
若，求的长；
若，求证：．
拓展：如图，在中，，，，是中线，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿、方向移动，当点到达点时，运动停止，直线分别与、相交于、，则在点、移动过程中，点移动路线的长度为多少？并求出的最小值为多少？直接写答案，不需要过程
 

24.  本小题分
王林在步行街摆摊出售，两款摆件已知款摆件的进价比款摆件多元，元购进的款摆件与元购进的款摆件数量相同．
求，两款摆件每个的进价；
王林计划用元全部购进，两款摆件，且款摆件的购进数量不超过件已知每个款摆件的售价为元，每个款摆件的售价为元若王林全部售出这两款摆件可获利元，则如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？

25.  本小题分
已知：如图，在半径为的中，、是两条直径，为的中点，的延长线交于点，且连接，．

求证：；
求的长；
求的值．

26.  本小题分
如图，二次函数的图象经过点，且与轴交于、两点，与轴交于点，其中点，为抛物线的顶点．
求二次函数的解析式；
求的面积；
在坐标轴上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数即可得出答案．
本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形；
B.是中心对称图形；
C.不是中心对称图形；
D.不是中心对称图形；
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位即可得到抛物线．
故选：．
按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
 

5.【答案】 

【解析】解：不等式，
移项得：，
解得：．
表示在数轴上，如图所示：
．
故选：．
求出不等式的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查的是对必然事件的概念的理解，必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是的事件．
解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
【解答】
解：、、选项可能发生，也可能不发生，是随机事件．
故不符合题意；
D、是必然事件．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：，

，
，
，
，
故选：．
先根据两直线平行的性质，得到，再根据平角的定义，即可得出的度数．
本题主要考查了平行的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，不能合并，
选项的计算结果不正确，不符合题意；
与不是同类项，不能合并，
选项的计算结果不正确，不符合题意；
，
选项的计算结果正确，符合题意；
，
选项的计算结果不正确，不符合题意．
故选：．
利用合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方法则，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：画树状图为：用、表示两把不同的锁，用、、、表示四把钥匙，其中能打开，能打开，

共有种等可能的结果，其中一次打开锁的结果数为，
所以取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率．
故选：．
画树状图用、表示两把不同的锁，用、、、表示四把钥匙，其中能打开，能打开展示所有种等可能的结果，找出一次打开锁的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

10.【答案】 

【解析】解：设用张制作盒身，张制作盒底，
根据题意得．
故选：．
根据本题中的相等关系盒身的个数盒底的个数；制作盒身的白铁皮张数制作盒底的白铁皮张数，列方程组即可．
此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．
 

11.【答案】 

【解析】解：、不能拼成三角形，也不能拼成梯形，故本选项错误；
B、可以拼成三角形，但不能拼成梯形，故本选项错误；
C、可以拼成梯形，但不能拼成三角形，故本选项错误；
D、既能拼成三角形又能拼成梯形，故本选项正确；
故选：．
发挥想象力拼图，或通过实际操作得出答案．
本题锻炼了同学们的拼图能力，即把剪下的图形与剩下的图形拼在一起所构成图形的形状．
 

12.【答案】 

【解析】解：点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于，
．
故选：．
欲求，只要求出过、两点向轴、轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线的系数，由此即可求出．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

13.【答案】 

【解析】解：要使分式有意义，
故，
则应满足的条件是：．
故答案为：．
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

15.【答案】且 

【解析】解：有实数根，
，
解得且，
故答案为且．
根据一元二次方程的定义，首先二次项系数不为，其次有实数根的条件是，列出不等式即可求解．
本题考查一元二次方程根的判别式，熟记一元二次方程有实数根的条件是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质和圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
利用圆的切线的性质得出，推出，再利用圆周角定理即可得出答案．
【解答】
解：是的直径，是的切线，
，
，
，
，
，
故答案为：．  

17.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

18.【答案】 

【解析】解：当，，当时，，，
，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
，，
四边形为正方形，
，
，，
同理可得：是的中点，
，，
，，
，，
故答案为：
先根据直线计算与两坐标轴的交点可得：，因为是等腰直角三角形，所以得是等腰直角三角形，再由正方形的边长相等得：是的中点，同理得：是的中点，是的中点，，所以可得所求各点的坐标．
本题是一次函数和正方形性质的应用，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，做题时要注意数形结合思想的运用，依次找出点的坐标计算规律，利用规律解决问题．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先计算乘方，再计算乘除，后计算加减．
此题考查了有理数混合运算能力，关键是能确定正确的运算顺序并能进行正确的计算．
 

20.【答案】解：原式




；
又分母不能为，
不能取，，，
当时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；，．
 

【解析】根据关于轴对称图形的特点，画出；
根据平移规律，得到．
本题考查了坐标的平移，轴对称图形的画法，根据题意平移的特点和轴对称图形的特点，画出图形．
 

22.【答案】  甲  甲班的平均分中位数、众数比乙班的平均分中位数、众数高 

【解析】解：由题意可知甲班的中位数是从小到大排列后的第个和个数据的平均数，即，
故答案为：；
甲班成绩优异，理由是：甲班的平均分中位数、众数比乙班的平均分中位数、众数高；
故答案为：甲；甲班的平均分中位数、众数比乙班的平均分中位数、众数高．
由题意得：人，
答：该校九年级名学生中成绩优秀的大约有人．
根据甲班的中位数是从小到大排列后的第个和个数据的平均数进行求解即可；
根据各统计量进行分析解答即可；
根据样本估计总体，用该校九年级总人数乘以抽取学生中优秀人数的占比即可求解．
此题考查了频数分别直方图、平均数、中位数、众数、样本估计总体等知识，读懂题意，准确求解是解题的关键．
 

23.【答案】解：四边形是正方形，且，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
则；
证明：在上取一点，使，连接，

由≌得是等腰直角三角形，
，，
≌，
，，
在和中，
，对顶角，
，
，，
，
是等边三角形，
，
；

解：如图，

，，，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
、、、四点共圆，
点的运动轨迹为弧，
，，
，
，
，，
，
，
点的运动轨迹的长为；
当、、共线时，最小，
则的最小值． 

【解析】在正方形中，由与垂直，利用等式的性质得到一对角相等，再由一对直角相等，且，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，进而求解；
在上取一点，使，连接，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到，，进而确定出三角形为等边三角形，利用等边三角形的性质即可得证；
由≌，推出，因为，推出，推出、、、四点共圆，推出点的运动轨迹为弧，进而求解．
本题为四边形综合题，考查等腰直角三角形的性质、轨迹、勾股定理、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确探究点的轨迹，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：设款摆件每个的进价为元，款摆件每个的进价为元，
由题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：款摆件每个的进价为元，款摆件每个的进价为元；
设购买款摆件件，则购买款摆件件，
由题意可得，，
随的增大而增大，
款摆件的购进数量不超过件．
，
当时，取得最大值，此时，此时，
答：当购买款摆件件，款摆件件时，能获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】根据元购进的款摆件与元购进的款摆件数量相同，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意要检验；
根据题意，可以得到利润和购买款摆件数量的函数关系式，然后根据款摆件的购进数量不超过件和一次函数的性质，可以得到利润的最大值．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应分分式方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 

25.【答案】证明：连接、，

，，
∽，
，
；
解：是的直径，
，
，
，，且为正数，
，
为的中点，
，，
，且，
；
解：过点作，垂足为点，

，，
，
，
，
． 

【解析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理，锐角三角函数定义、勾股定理的知识点，本题关键根据已知条件和图形作好辅助线，结论就很容易求证了．
连接、，、点，那么只需要求出和相似，即可求出结论，根据圆周角定理可推出它们的对应角相等，即可得∽；
根据圆周角定理，结合勾股定理，可以推出的长度，根据已知条件推出、的长度，然后结合的结论，很容易就可求出的长度；
过点作，垂足为点，通过作辅助线，解直角三角形，结合已知条件和所求的值，可推出各边的长度，根据锐角三角函数的定义，便可求得的值．
 

26.【答案】解：由题意得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；

由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，
当时，，即点，
过点作轴交于点，

设直线的表达式为：，
则，解得：，
故直线的表达式为：，
当时，，即点，
则，
则的面积；

存在，理由：
如上图，由点、的坐标知，，则，
当为直角时，
，则为等腰直角三角形，
则，
则，即点；
当为直角时，
同理可得，为等腰直角三角形，
则，
即点；
当为直角时，
则点与点重合，
即点；
综上，点的坐标为或或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由的面积，即可求解；
当为直角时，证明为等腰直角三角形，即可求解；当为直角时，同理可得，为等腰直角三角形，即可求解；当为直角时，则点与点重合，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．