2023年江苏省盐城市亭湖区、大丰区、阜宁县中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省盐城市亭湖区、大丰区、阜宁县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  使式子有意义，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  为了发扬“中国航天精神”，每年的月日设立为“中国航天日”正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是(    )

A. 航 B. 天 C. 精 D. 神

5.  如图，、、是上的点，，垂足为点，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在三张透明纸上，分别有、直线及直线外一点、两点与，下列操作能通过折叠透明纸实现的有(    )
图，的角平分线；
图，过点垂直于直线的垂线；
图，点与点的对称中心．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  分解因式：          ．

10.  盐城，一座让人打开心扉的城市这里生态环境优美，文化底蕴丰厚，交通便捷，以“东方湿地之都，仙鹤神鹿世界”而闻名盐城湿地面积约公顷，将数字用科学记数法表示为______ ．

11.  从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是，方差分别是，，，你认为最适合参加决赛的选手是______ 填“甲”或“乙”或“丙”．

12.  如图，用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______ ．

13.  中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为______．

14.  如图，中，，绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点恰好在线段上，，则的度数为______ ．

15.  定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”若是“倍角三角形”，，，则的长为______ ．

16.  在中，，，为边上一点，当最大时，连接并延长至点，使，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
年盐城市初中毕业升学体育考试有必考项目立定跳远和一项选考项目，男生选考项目为掷实心球或引体向上，女生选考项目为掷实心球或仰卧起坐．
小明男从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为______ ；
小明男和小红女分别从选考项目中任选一个，求两人都选择掷实心球的概率用树状图或列表法写出分析过程

21.  本小题分
如图，一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系根据图象解决下列问题：
求慢车和快车的速度；
求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

22.  本小题分
如图，为的直径，为的延长线上一点，过点作的切线，切点为点，连接、，过点作交延长线于点．
求证：；
若，，求的半径及的长．

23.  本小题分
某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，从七，八年级中各随机抽取名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据记为，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
八年级课后延时服务家长评分数据的频数分布表如表数据分为组：，，，，：

八年级课后延时服务家长评分在这一组的数据按从小到大的顺序排列，前个数据如下：
，，，，．
七，八年级课后延时服务家长评分的平均数，中位数，众数如表：

根据以上信息，回答下列问题：
表中______，______．
你认为年级的课后延时服务开展得较好，理由是______．
至少从两个不同的角度说明理由
已知该校八年级共有名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于分．

24.  本小题分
年月、日，盐城市亭湖区中小学生篮球赛在先锋实验学校火热上演本次比赛为期天，共有来自全区所中小学代表队，近名运动员参加．
如图，图分别是某款篮球架的实物图与侧面示意图，已知底箱矩形在水平地面上，它的高为，长为，底箱与后拉杆所成的角，后拉杆长为，支撑架的长为，伸臂平行于地面，支撑架与伸臂的夹角，篮筐与伸臂在同一水平线上．
求点到地面的距离；
求篮筐到地面的距离结果精确到，参考数据：，，，

25.  本小题分
比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．
已知：某建筑的高度为，将一个小铁球看成一个点从处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离与运动时间之间的函数表达式是：，在竖直方向物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为以点为坐标原点，水平向右为轴，所在直线为轴，取为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线．
求小铁球从抛出到落地所需的时间；
当时，求小铁球此时的坐标；
求抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
 

26.  本小题分
如图在网格中，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，、、、、、、均为格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并回答问题．

【操作】在图中，
过点画的平行线为格点；
过点画的垂线，交于点，交于点，连接．
【发现】在图中，与的数量关系是______ ；的长度是______ ．
【应用】在图中，点是边上一点，在上找出点，使．

27.  本小题分
定义：平面直角坐标系中有点，若点满足且，则称是的“界密点”．
：点的“界密点”所组成的图形面积是______ ；
反比例函数图象上______ 填“存在”或者“不存在”点的“界密点”．
直线经过点，在其图象上，点的“界密点”组成的线段长为，求的值．
关于的二次函数是常数，将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，若与上都存在的“界密点”，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是天，
故选：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
在中，，
．
故选：．
先根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：观察这个图可知：黑色区域块的面积占总面积块的，
则它最终停留在黑砖上的概率是．
故选：．
根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：将代入方程
得：，解得：．
故选：．
将代入方程得到关于的方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的根的定义，将已知方程的一个根代入方程得到新的方程是解答本题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：经过点进行折叠，使与重合，折痕纪委角平分线，故能通过折叠透明纸实现；
经过点折叠，使折痕两边的直线重合，折痕即为过点垂直于直线的垂线，故能通过折叠透明纸实现；
经过点，折叠，展开，展开，然后再折叠使点，重合，两次折痕的交点即为点，的对称中心，故能通过折叠透明纸实现．
故选：．
由角平分线所在的直线是这个角的对称轴可判断；根据垂直的性质可判断；根据成中心对称的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分可判断．
此题考查了角平分线的对称性，垂线的性质，中心对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
直接运用平方差公式分解因式即可．
本题主要考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
【解答】
解：．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

11.【答案】甲 

【解析】解：甲、乙、丙三人的平均成绩都是，
又方差，
甲的成绩更稳定，所选甲，
故答案为：甲．
两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，据此即可判断．
本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：扇形的弧长，
设圆锥的底面半径为，则，
所以．
故答案为：．
根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

13.【答案】 

【解析】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：．
故答案是：．
直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：中，，绕点顺时针旋转一定的角度得到，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
首先根据旋转的在可以得到，然后利用平行线的性质可以得到旋转角的度数，最后利用等腰三角形的性质即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了平行线的性质及等腰三角形的性质，有一定的综合性．
 

15.【答案】或或 

【解析】解：是“倍角三角形”，
分四种情况：
当时，
，
是等腰直角三角形，
，
当时，同理可得，
当时，
，
，
，
，，
，
，
当时，
，
，
，
，，
，
综上所述：的长为或或．
故答案为：或或．
根据题意可分四种情况：当时；当时；当时；当时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，分四种情况讨论是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：以为圆心，为半径画圆，如图，

由图形可知，当与相切时，最大，此时．
设，则．
过点作于点，
，
．
，，
∽，
，
，
，
，
，
当时，即时，有最大值为．
故答案为：．
以为圆心，为半径画圆，得到当时，最大；设，则，过点作于点，利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质得到与的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用圆的有关性质得到是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
由得，
由得，
故不等式组的解集为． 

【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
本题考查了解一元一次不等式组．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

19.【答案】解：原式


，
当时，原式． 

【解析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
 

20.【答案】 

【解析】解：男生选考项目为掷实心球或引体向上，
小明男从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为．
故答案为：．
设掷实心球记为，引体向上记为，仰卧起坐记为，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两人都选择掷实心球的结果有种，
两人都选择掷实心球的概率为．
直接利用概率公式可得答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及两人都选择掷实心球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：由题意，得
快车与慢车的速度和为：，
慢车的速度为：，
快车的速度为： ．
答：快车的速度为，慢车的速度为；
由题意得，快车走完全程的时间为：，
时时两车之间的距离为：．
则．
设线段的解析式为，由题意，得
，
解得：，
则，自变量的取值范围是． 

【解析】由函数图象的数据，根据速度路程时间就可以得出慢车的速度，由相遇问题求出速度和就可以求出快车的速度进而得出结论；
由快车的速度求出快车走完全程的时间就可以求出点的横坐标，由两车的距离速度和时间就可以求出点的纵坐标，由待定系数法就可以求出结论．
本题考查了行程问题的数量关系路程时间速度的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，相遇问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
即，
为的直径，
，
即，
，
，，
，
，
；
解：设半径为，
则，，
在中，
，
，
解得：，
，，．
，
∽，
，
即，
解得：． 

【解析】如图，连接，根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，则利用等角的余角相等得到，接着证明，然后根据平行线的性质和等量代换得到结论；
设半径为，则，，利用勾股定理得到，解得，所以，，再证明∽，然后利用相似比可计算出的长．
本题考查了切线的性质，掌握垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】    答案不唯一，言之有理即可．
八年级课后延时服务家长评分数据的平均数为分，高于七年级的分，说明八年级家长评分整体高于七年级；
八年级课后延时服务家长评分数据的中位数为，七年级为，说明八年级一半的家长评分高于分，而七年级一半的家长评分仅高于分 

【解析】解：，
．
故答案为：，；
八年级的课后延时服务开展得较好，理由如下：答案不唯一，言之有理即可．
八年级课后延时服务家长评分数据的平均数为分，高于七年级的分，说明八年级家长评分整体高于七年级；
八年级课后延时服务家长评分数据的中位数为，七年级为，说明八年级一半的家长评分高于分，而七年级一半的家长评分仅高于分．
名，
答：估计其中大约有名家长的评分不低于分．
根据扇形统计图的意义，各组频数之和为即可求出的值，利用中位数的定义可求出八年级得分的中位数，即的值；
根据平均数、中位数的大小进行判断即可；
求出家长的评分不低于分所占的分率，再乘以即可求解．
本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是解决问题的前提．
 

24.【答案】解：过点作于点，延长交于点，

在中，，
．
，
四边形是矩形，
，
．
答：点到地面的距离约为．
延长，交于点，

，
，
在中，，
，
．
答：篮筐到地面的距离约为． 

【解析】过点作于点，延长交于点，在中，利用，求出的长，证明四边形是矩形，求出，即可得到点到地面的距离；
延长，交于点，在中，利用，求出，即可得到篮筐到地面的距离．
此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握各三角函数的计算公式，构建直角三角形解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】解：根据题意可得，的高度为，且竖直方向物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为，
当时，小铁球落到地面，
，解得：，舍，
答：小铁球从抛出到落地所需的时间为秒；
当时，则，
，
，
小铁球此时的坐标为；
由可知小铁球从抛出到落地所需的时间为秒，
，
，即，
根据题意可得，顶点坐标为，
可设抛物线解析式为：，
将点代入得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为：． 

【解析】根据题意可知，当小铁球落地时，此时下落高度，解出的值即可；
由，分别先算出和的值，则此时点横坐标与的值相同，然后根据的值和的长算出此时的纵坐标，即可求出此时的坐标；
根据中条件求出点的坐标，然后根据顶点坐标设出解析式，再把点代入即可算出答案．
本题主要考查的是二次函数的实际应用，解题关键是求出点的坐标．
 

26.【答案】  

【解析】解：【操作】

如图所示，，，即为所求．
【发现】，，
，
，
，
，
，
，
解得，，
，
，
在中．
故答案为：，．
【应用】

如图所示，点即为所求．
【操作】根据题意作图即可；
【发现】结合可得由可求得，的长，再在中利用勾股定理计算的长度即可；
【应用】利用等腰三角形的对称性及三线合一作图即可．
本题考查作图应用与设计作图，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

27.【答案】  存在 

【解析】解：设点的“界密点”为，
，，
，，
所组成的图形是边长为的正方形，
点的“界密点”所组成的图形面积是，
故答案为：；
设点的“界密点”为，
，，
，，
当，时，在反比例函数图象上，
故答案为：存在；

设点的“界密点”为，
，，
当直线与左边界相交时，
，，
，
解得或，
直线直线不可能和上边界相交，
当直线与下边界相交时，

点，点的坐标为，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
综上所述，的值为或或；
如图，

设点的“界密点”为，
，，
的二次函数是常数，将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，与上都存在的“界密点”，
由图象可知，抛物线的取值在之间时，与都存在的“界密点”，
当抛物线经过点时，有最大值，
图象绕原点逆时针旋转得曲线，
当抛物线经过点时，有最小值，
．
根据“界密点”的定义得到取值范围，根据取值范围得到图象的边长进而得到图形的面积；
根据“界密点”的定义得到取值范围，根据取值和反比例函数的的性质即可得到结论；
根据题意得到点的“界密点”的取值范围分两种情况，再根据一次函数的性质及图象即可得到结论；
根据的“界密点”的取值范围，再根据二次函数的性质及图象即可得到得到结论．
本题是二次函数综合题，考查了新定义“界密点”，反比例函数的性质，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平面内点的坐标特征，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．