专题02 数轴上的三种动点问题-初中数学7年级上册同步压轴题（教师版含解析）

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专题02 数轴上的三种动点问题  数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。那么，本专题对其中常考的三种题型(求时间、求距离或者对应点、定值问题)做出详细分析与梳理。【知识点梳理】 1.数轴上两点间的距离数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|； 2.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大(增加)，向左移动数变小(减小)；当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b.类型一、求值(速度、时间、距离)例1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a，b满足＋＝0；(1)点A表示的数为       ；点B表示的数为       ；(2)若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则C点表示的数        ；(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 (忽略球的大小，可看作一点) 以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒)，请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离 (用t表示)．例2．如图，数轴上两个动点A，B起始位置所表示的数分别为，4，A，B两点各自以一定的速度在数轴上运动，已知A点的运动速度为2个单位/秒．(1)若A，B两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B点的运动速度．(2)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8个单位长度？(3)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有，求C点的运动速度．【变式训练1】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？(2)求P、Q两点相遇时，t的值和相遇点M所对应的数．【变式训练2】如图，已知、、是数轴上三点，点表示的数为4，，．(1)点表示的数是______，点表示的数是______．(2)动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点的运动时间为()秒．①用含的代数式表示：点表示的数为______，点表示是数为______；②当时，点、之间的距离为______；③当点在上运动时，用含的代数式表示点、之间的距离；④当点、到点的距离相等时，直接写出的值．【变式训练3】如图，点A、B为数轴上的点(点A在数轴的正半轴)，，N为AB的中点，且点N表示的数为2．(1)点A表示的数为______，点B表示的数为______；(2)点M为数轴上一动点，点C是AM的中点，若，求点M表示的数，并画出点M的位置；(3)点P从点N出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，设运动时间为秒．在运动过程中，点P、Q之间的距离为3时，求运动时间t的值．类型二、定值问题例1．已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：(1)请直接写出a、b、c的值．a＝        ，b＝        ，c＝        ．(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．   ①t秒钟过后，AC的长度为        (用含t的关系式表示)；②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．【变式训练1】如图，已知数轴上点A表示的数为12，B是数轴上一点．且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．  (1)写出数轴上点B表示的数___，点P表示的数___(用含t的代数式表示)；(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q；(3)若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．【变式训练2】如图，已知数轴上点A表示的数为9，B是数轴负方向上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒．(1)数轴上点B表示的数为_____，点P表示的数为________；(用含t的代数式表示)(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问t为何值时，点P追上点Q？此时P点表示的数是多少？(3)若点M是线段的中点，点N是线段的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度； 【变式训练3】点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足．(1)如图1，求线段AB的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值． 类型三、点之间的位置关系问题例1．如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒． (1)解决问题：①当时，写出数轴上点B，P所表示的数；②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系(写出过程)．例2.如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+(c﹣9)2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．(1)a＝　   　，b＝　   　；(2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值．(3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值．【变式训练1】如图，已知A、B、C是数轴上三点，点O为原点，点C表示的数为6，BC＝4， AB＝12．(1)写出数轴上点A、B表示的数；(2)动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，点M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为t(t＞0)秒．①求数轴上点M、N表示的数(用含t的式子表示)；②当M、B、N三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求t的值．【变式训练2】已知，如图1：数轴上有A、B、C三点，点A表示的数为－5， 点B表示的数为13， 点C表示的数为－2，将一条长为9个单位长度的线段MN放在该数轴上(点M在点N的左边)．(1)求线段AB中点表示的数；(2)如图2：若从点M与点A重合开始，将线段MN以0.3个单位长度/秒的速度沿数轴向右移动，经过x秒后，点N恰为线段BC的中点，求x的值；(3)如图3：在(2)的基础上，若线段MN向右移动的同时，动点P从点C开始以0.6个单位长度/秒的速度也沿数轴向右移动，设移动的时间为t秒，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，求t的值．【变式训练3】已知A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是的优点．例如：如图1，A，B为数轴上两点，点A表示的数为－1，点B表示的数为2，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的优点；表示数0的点D到点C的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是的优点．(1)在图1中，点C是的优点，也是(A，_____________)的优点；点D是的优点，也是(B，_____________)的优点；(2)如图2，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为－2，点B所表示的数为4．设数所表示的点是的优点，求的值；(3)如图3，A，B为数轴两点，点A所表的数为－20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁Р从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，设点Р的运动时间为t秒，在点Р运动过程中，是否存在P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点﹖如果存在请求出t的值；如果不存在，说明理由．